2.3　幾何方程

現在，來導出應變分量與位移分量之間的關系式，即平面問題的幾何方程。經過彈性體內的任意一點P，沿x軸和y軸的正方向取兩個微段PA和PB，平面問題的微段如圖2-6所示。假定彈性體受力以后，P、A、B三點分別移動到P′、A′、B′。

首先，來求出線段PA和PB的正應變。P點在x方向的位移分量是u（x，y）。A點相較于P點，在x方向的增量為dx，即PA=dx。因此，A點在x方向的位移分量，可用泰勒級數表示為

略去高階微量，簡化為 。

線段PA的正應變近似為

最終，得出

同理，可以得出PB的正應變：

求切應變γxy，即求線段PA與PB之間直角的改變量。由圖2-6可見，這個切應變是由α和β兩部分組成的。設P點在y方向的位移為v（x，y），則A點在y方向的位移分量為

則轉角α近似為

化簡后得出 。

同理，。

因此，切應變為

式（2-4）、式（2-5）和式（2-6）即為平面問題的幾何方程。