1.3 基爾霍夫定律

在一個電路內(nèi)部，各部分電壓、電流之間相互影響、相互制約，成為一個統(tǒng)一整體。基爾霍夫定理從電路整體和全局上，揭示了電路中各部分電壓、電流之間所必須遵循的規(guī)律。基爾霍夫定理包括基爾霍夫電流定律（KCL）和基爾霍夫電壓定律（KVL）兩部分內(nèi)容。

為了敘述方便，在學(xué)習(xí)基爾霍夫定律之前，先以圖1.3.1所示電路為例，介紹幾個常用的名詞和術(shù)語。

1）支路：電路中的每一個分支稱為一個支路。通常一條支路上的所有元件流過的電流相同。如圖1.3.1所示電路中，ab、ad、aec、bc、bd、cd都是支路，其中aec是由三個電路元件串聯(lián)構(gòu)成的支路，ad是由兩個電路元件串聯(lián)構(gòu)成的支路，其余四個都是由單個電路元件構(gòu)成的支路。含有電源的支路稱為有源支路，不含電源的支路稱為無源支路。

2）結(jié)點：指三個或三個以上支路的連接點。通常電路中一條導(dǎo)線連接的幾個點，它們的電位相等，可看成是同一個結(jié)點，如圖1.3.1中a、b、c、d都是結(jié)點。其中含有兩條線路的連接點可以拉直，沒有約束，可以變成一條線路，因此兩條線路的連接點不叫結(jié)點。

3）路徑：從某結(jié)點到另一結(jié)點之間，由不同支路和不同結(jié)點依次連成的一條通路。

4）回路：電路中任意一個由支路組成的閉合路徑。如圖1.3.1所示電路中，abda、bcdb、abcda、aecda、aecba等都是回路。

5）網(wǎng)孔：內(nèi)部不包含任何支路的回路稱為網(wǎng)孔，或者說未被其他支路分割的單孔回路稱為網(wǎng)孔（不包含其他回路的回路）。網(wǎng)孔一定是回路，但回路不一定是網(wǎng)孔。如圖1.3.1中的回路aecba、abda、bcdb都是網(wǎng)孔，其余的回路則不是網(wǎng)孔。

6）網(wǎng)絡(luò)：通常把包含回路較多的電路稱為網(wǎng)絡(luò)。有時電路與網(wǎng)絡(luò)兩個名詞經(jīng)常通用。

1.3.1 基爾霍夫電流定律

由于電流具有連續(xù)性，電路中任意一個結(jié)點均不能使電荷堆積或消失，因此，在任一瞬間，流入結(jié)點的電流之和必定等于流出該結(jié)點的電流之和。圖1.3.2所示為某電路中的結(jié)點a，連接在結(jié)點a的支路共有5條，在所選定的參考方向下，有

I₁+I₄=I₂+I₃+I₅

基爾霍夫電流定律^[6]：對電路中的任一結(jié)點，在任一瞬間，流出或流入該結(jié)點電流的代數(shù)和恒為零，即

通常把式（1.3.1）稱為結(jié)點電流方程，簡稱KCL方程。在列寫結(jié)點電流方程時，通常規(guī)定，流入結(jié)點電流取正號，流出結(jié)點電流取負(fù)號。也可以按相反方向規(guī)定。

KCL定律不僅適用于電路中結(jié)點，還可以推廣應(yīng)用于電路中的任一假設(shè)封閉面。即在任一瞬間，流出或流入電路中任一假設(shè)封閉面電流的代數(shù)和恒為零。此時，該閉合面稱為廣義結(jié)點。基爾霍夫電流定律體現(xiàn)了電流的連續(xù)性。

如圖1.3.3所示為廣義結(jié)點（圓圈圍攏的封閉面）KCL圖，根據(jù)KCL列出結(jié)點方程

三個式子相加得出

I_A+I_B+I_C=0

上式表明，通過封閉面的電流代數(shù)和確實等于零，即KCL適用于廣義結(jié)點。

如圖1.3.4所示為某電路中的一部分廣義結(jié)點拓展圖，選擇閉合面如圖1.3.4虛線所示，在所選定的參考方向下，有

-I₁+I₂+I₃+I₅-I₆-I₇=0

例1.3.1 如圖1.3.5所示，已知I₁=3A，I₂=5A，I₃=-18A，I₅=9A，試計算電路中的電流I₄及I₆。

解：對結(jié)點a，根據(jù)KCL可得

I₁+I₂-I₃-I₄=0

則

I₄=I₁+I₂-I₃=26A

對結(jié)點b，有

I₄+I₅+I₆=0

則

I₆=-I₄-I₅=-35A

例1.3.2 如圖1.3.6所示，已知I₁=5 A，I₅=9 A，I₆=3 A，I₇=-8 A，試計算電流I₈。

解：在電路中選取一個封閉面，如圖1.3.6中虛線所示，根據(jù)KCL可得

I₁+I₆-I₇+I₈=0

則

I₈=-I₁-I₆+I₇=-16A

例1.3.3 如圖1.3.7所示，試求電流表A的讀數(shù)。

解：根據(jù)KCL適用廣義結(jié)點的結(jié)論，推導(dǎo)出電流表A讀數(shù)為0。

1.3.2 基爾霍夫電壓定律

基爾霍夫電壓定律（KVL）描述電路中任一回路中電壓之間的約束關(guān)系。由于能量守恒，如果從回路中任意一點出發(fā)，沿回路繞行一周，則在此方向上電壓升之和必定等于電壓降之和。圖1.3.8所示為某電路中一個回路ABCDA，各支路電壓參考方向如圖1.3.8所示，在選定的回路“繞行方向”下，有

u₁+u₂-u₃-u₄=0

基爾霍夫電壓定律^[7]：對電路中的任一回路，在任一瞬間，沿回路繞行方向，各段電壓降的代數(shù)和恒為零，即

通常把式（1.3.2）稱為回路電壓方程，簡稱KVL方程。基爾霍夫電壓定律描述了一個回路中各支路電壓之間的約束關(guān)系。

在列寫回路電壓方程時，首先要對回路選取一個回路“繞行方向”。通常規(guī)定，對參考方向與回路“繞行方向”相同的電壓取正號，對參考方向與回路“繞行方向”相反的電壓取負(fù)號。即電壓降低為正號，升高為負(fù)號。回路“繞行方向”是任意選定的，通常在回路中以箭頭繞行方向表示，如圖1.3.9所示。

abcd回路以順時針方向為繞行方向，運用KVL有

整理為∑U=∑IR，該式表明，在任一回路內(nèi)，電阻上電壓降的代數(shù)和等于電動勢的代數(shù)和。

KVL不僅適用于電路中的具體回路，還可以推廣應(yīng)用于電路中的任一假想廣義回路，如圖1.3.10所示。即在任一瞬間，沿回路繞行方向，電路中假想廣義回路中各段電壓降的代數(shù)和恒為零。

對廣義回路由KVL有U_S=IR_S+U_ab，由此式可求得電源的端電壓，即U_ab=U_S-IR_S，用這種方法可求得一段電路的電壓U_ab。

如圖1.3.11所示為某電路中的一部分，路徑a、f、c、b并未構(gòu)成回路，選定圖1.3.11中所示的回路“繞行方向”，對假想廣義回路afcba列寫KVL方程有-u₄+u₅-u_ab=0，則u_ab=-u₄+u₅。

由此可見，電路中a、b兩點電壓u_ab等于以a為出發(fā)點、以b為終點繞行方向上任一路徑上各段電壓代數(shù)和。其中，a、b可以是某一元件或一條支路兩端，也可以是電路中任意兩點。今后若要計算電路中任意兩點間電壓，可以直接利用這一推論。

例1.3.4 試求如圖1.3.12所示電路中元件3、4、5、6兩端的電壓。

解：在回路cdec中，有u₅=u_cd+u_de=［-（-5）-1］V=4V。

在回路bedcb中，有u₃=u_be+u_ed+u_dc=（3+1-5）V=-1V。

在回路debad中，有u₆=u_de+u_eb+u_ba=（-1-3-4）V=-8V。

在回路abea中，有u₄=u_ab+u_be=（4+3）V=7V。

特別提示

在應(yīng)用KCL分析電路時，一定要先在電路圖中標(biāo)出各支路電流的參考方向，并且在分析過程中參考方向不得變動，直至分析結(jié)束。

在應(yīng)用KVL分析電路時，一定要先在電路圖中標(biāo)出各支路電壓的參考方向，選取回路并標(biāo)明繞行方向，且在分析過程中參考方向不得變動，直至分析結(jié)束。

例1.3.5 在如圖1.3.13所示電路中，（1）求各理想電流源的端電壓，并判斷其是電源還是負(fù)載？（2）求電源和負(fù)載的功率，并驗證功率平衡關(guān)系。

解：根據(jù)KVL得I₃=I₂-I₁=（2-1）A=1A。

電流源I₁的U₁=R₁I₃=20×1V=20V，因I₁從U₁的+端流入，所以電流源I₁為負(fù)載。

電流源I₂的U₂=R₁I₃+R₂I₂=（20×1+10×2）V=40V，因電流源I₂從U₂的+端流出，所以電流源I₂為電源。

電源功率P₂=-U₂I₂=-40×2W=-80W，發(fā)出功率。

負(fù)載功率P₁=I₁U₁+=（1×20+1²×20+2²×10）V=80 W，吸收功率，發(fā)出功率和吸收功率相等，功率平衡。

【練習(xí)與思考】

1）什么叫結(jié)點、支路和回路？什么叫網(wǎng)孔？

2）基爾霍夫電流定律的內(nèi)容是什么？它的適用范圍如何？

3）基爾霍夫電壓定律的內(nèi)容是什么？它的適用范圍如何？

4）基爾霍夫定律能適用于非線性電路嗎？