3.2 正弦量的相量表示法

在3.1節中看到正弦量可以用瞬時表達式（三角函數式）來表示，如U=U_msin（ωt+φ_u）、i=I_msin（ωt+φ_i），也可以用波形圖表示，如圖3.1.1所示。但是在正弦電路分析計算中，經常需要將幾個同頻率正弦量進行加減、乘除及微分和積分等運算。用上述兩種方法描述正弦量并進行這些運算十分煩瑣，很不方便。為了簡化計算，在電路理論中，通常用相量來表示正弦量。相量表示法就是用復數來表示正弦量。

3.2.1 復數及其運算

1.復數及其表示形式

一個復數A由實部和虛部組成，即

這是復數代數形式，式中j=稱為虛數單位，在數學中通常是用小寫字母i來表示，但是在電路理論中，為了避免與電流符號混淆，改用j來表示。

通常用直角坐標系中的橫軸表示復數實部，簡稱為實軸，以+1作為單位；縱軸表示復數虛部，簡稱虛軸，以+j為單位。實軸和虛軸構成復數坐標平面，簡稱復平面。于是任意一個復數都可以用復平面上一個確定的點來表示。例如，式（3.2.1）表示的復數與A（a，b）點相對應，如圖3.2.1所示。用有向線段連接坐標原點O和A點，在線段末端帶有箭頭符號，成為一個矢量，該矢量就與復數A對應，這種表示稱為復數矢量。

圖3.2.1中矢量A的模是

矢量與實軸的夾角θ稱為幅角，即

復數實部a與虛部b，分別是復數矢量在實軸和虛軸上的投影，即

把式（3.2.2）代入式（3.2.1），就得到復數三角函數形式為

根據歐拉公式有

可以得出復數的指數形式為

在電路計算中，為簡化書寫，常將復數的指數形式寫成

式（3.2.5）稱為復數的極坐標形式。

因此，一個復數可用代數式、指數式或極坐標式來表示，不同形式可以相互轉換。在復數的上述表示形式中，代數式和極坐標式應用最多，且經常需要在代數式和極坐標式之間進行相互轉換。例如，復數加減運算用代數形式，復數乘除運算用指數式或極坐標式。

實數和虛數可以看成復數的特例：實數是虛部為零、幅角為零或180°的復數，虛數是實部為零、幅角為90°或-90°的復數。

實部相等、虛部大小相等而符號相反的兩個復數稱為共軛復數。用A^?表示A的共軛復數，即

2.復數運算

設有兩個復數

（1）加、減運算

復數加、減運算使用代數形式比較方便，即將各復數實部和虛部分別相加或相減，即

A₁±A₂=（a₁±a₂）+j（b₁±b₂）

對于復數A₁和A₂的加減運算，可在復平面上用作圖法進行，如圖3.2.2a所示。首先畫出A₁、A₂對應的復數矢量，然后按照平行四邊形法則畫出對角線，即得到一個新的復數矢量A，該復數矢量A就是和矢量（A₁+A₂）。顯然，該矢量A在實軸上的投影是（a₁+a₂），在虛軸上的投影是（b₁+b₂）。減法運算亦可以用平行四邊形法則進行，因為A₁+A₂=A₁+（-A₂），把矢量A₁和-A₂用平行四邊形法則相加，所得的矢量即為A₁-A₂，如圖3.2.2b所示。

（2）乘、除運算

兩個復數進行乘、除運算時，采用極坐標形式較為方便。乘法運算法則是模相乘、幅角相加，除法運算法則是模相除、幅角相減，即

一個復數乘以+j或-j是復數乘法的一個特例。

+j和-j可以寫成下面的形式：

任意復數A乘以+j，有

A·（+j）=|A|∠（φ+90°）

上式表明，任意一個復數矢量乘以+j，該矢量的模不變，幅角增加90°，相當于矢量逆時針方向旋轉90°。同理，任意一個復數矢量乘以-j，該矢量的模不變，幅角減小90°，相當于矢量順時針方向旋轉90°。因此，j稱為旋轉90°的旋轉因子。

3.2.2 正弦量的相量表示

1.相量法

在正弦交流電路中，用復數表示正弦量，用于正弦交流電路分析計算的方法稱為相量法。

設有一個正弦電壓u=U_msin（ωt+φ），其波形如圖3.2.3b所示。圖3.2.3a所示是一條旋轉有向線段，該有向線段的長度為正弦量的振幅U_m，它的初始位置（t=0時位置）與橫軸正方向之間的夾角等于正弦量初相位φ，有向線段以ω角速度繞坐標原點逆時針旋轉。可以看出，有向線段在縱軸上的投影就是正弦電壓u。同時，該有向線段具有正弦量的三個要素，故可用來表示正弦量。正弦量可用旋轉有向線段表示，而有向線段可用復數表示，所以正弦量也可用復數來表示。如果用復數來表示正弦量，則復數的模即為正弦量幅值或有效值，復數的幅角即為正弦量的初相位。

2.正弦量相量表示法

為了與一般復數相區別，把表示正弦量的復數稱為相量，并用大寫的字母上加“·”表示，于是表示正弦電壓u=U_msin（ωt+φ）的相量為

或

以上兩式中，是電壓的幅值相量，是電壓的有效值相量。

注意：相量只是用來表示正弦量，而不等于正弦量。

相量在復平面上的幾何表示稱為相量圖。在相量圖上能形象地看出各個正弦量的大小和相互之間的相位關系。

已知正弦電壓u=100（ωt+60°），則相應電壓相量為=100∠60°，正弦電流i=，則相應電流相量為=10∠-45°，它們相量圖如圖3.2.4所示。

只有正弦量才能用相量表示，相量不能表示非正弦周期量。只有同頻率正弦量才能畫在同一相量圖上，不同頻率的正弦量不能畫在同一相量圖上，否則無法比較和計算。

例3.2.1 分別寫出u_A=（314t）V，u_B=（314t-120°）V，u_C=220（314t+120°）V的相量，并畫出相量圖。

解：一般用有效值相量表示如下，相量圖如圖3.2.5所示。

例3.2.2 已知i_A=（314t+53.13°）A，i_B=（314t-36.87°），求i=i_A+i_B，并繪出相量圖。

解：把i_A、i_B用對應的相量表示，即

設i對應的相量為，則有

可得

相量圖如圖3.2.6所示。

特別提示

正弦量的相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。因為相量中只含有有效值和初相位兩個要素，不含頻率這個要素。正弦量的相量一般指其有效值相量，用大寫字母上加“·”來表示；有時也用其最大值相量表示，即或。只有同一頻率的正弦量才可以在同一個相量圖中加以表示，也只有相同頻率的正弦量之間才可以進行比較、計算。

【練習與思考】

1）寫出下列相量所代表的正弦信號，已知角頻率為ω。

① =（3+j4）A；②=8∠-45° V

2）指出下列各式的錯誤。

① i=6V∠45°A；② U=6sin（314t+60°）V