3.3 單一參數(shù)的交流電路

由于正弦交流電路穩(wěn)態(tài)工作時的電流、電壓都是隨時間按正弦規(guī)律變化的，因此，正弦交流電路的分析計算不僅與電阻元件R有關(guān)，而且與電容元件C和電感元件L有關(guān)。即在分析計算正弦交流電路時，必須分析R、C、L單一參數(shù)特性及正弦響應(yīng)特點。

3.3.1 電阻元件的正弦響應(yīng)

1.電壓與電流的關(guān)系

在交流電路中，通過線性電阻的電流和電壓，在任一瞬時都遵守歐姆定律。

如圖3.3.1a所示電阻元件R，其電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向，則有

若電流i（t）=I_msinωt，則

式（3.3.2）表明，電阻元件電流及其兩端電壓都是同頻率正弦量。下面分別討論它們之間的數(shù)值及相位關(guān)系。

數(shù)值關(guān)系：由式（3.3.2）可得電壓、電流最大值之間關(guān)系為

U_m=RI_m

有效值之間關(guān)系為

U=RI

相位關(guān)系：電壓u與電流i同相位。波形圖如圖3.3.1b所示。

綜上所述，可得電阻元件電壓、電流之間的相量關(guān)系式為

式（3.3.3）同時表示電壓與電流之間數(shù)值與相位之間的關(guān)系，相應(yīng)相量圖如圖3.3.1c所示。

2.功率

任意時刻的電壓、電流瞬時值的乘積稱為瞬時功率，用p表示。電阻上消耗的瞬時功率為

瞬時功率p的波形圖如圖3.3.1d所示。由于電壓u和電流i同相，即同時為正或同時為負(fù)，因此瞬時功率p總是正值，說明電阻在每一瞬間都從電源吸收電能，電阻是耗能元件。

瞬時功率在一個周期內(nèi)的平均值稱為平均功率，用P表示。有

可見，電阻消耗的平均功率等于電壓和電流有效值的乘積。

3.3.2 電感元件的正弦響應(yīng)

1.電壓與電流的關(guān)系

如圖3.3.2a所示電感元件，其電壓、電流采用關(guān)聯(lián)參考方向，已知其伏安關(guān)系為

假定通過電感元件的電流是正弦電流，即

i（t）=I_msinωt

則電感元件兩端電壓為

由此可見，電感元件的電壓和電流也是同頻率正弦量，下面分別討論它們之間的數(shù)值和相位關(guān)系。

數(shù)值關(guān)系：由式（3.3.5）可得電壓、電流最大值以及有效值之間的關(guān)系分別為

其中，X_L=ωL=2πfL是電感電壓和電流有效值（或最大值）的比值，稱為電感的電抗，簡稱感抗，其單位是歐姆（Ω）。

感抗與電源頻率f成正比，它是表征電感元件對交流電流呈現(xiàn)阻力作用的一個物理量。利用電感線圈在高頻時感抗大的特點，可做成扼流線圈，以阻止高頻電流通過。

對于直流電流，因f=0，其感抗X_L=0，所以在直流穩(wěn)態(tài)時，電感元件相當(dāng)于短路。

相位關(guān)系：電感上電壓與電流之間出現(xiàn)相位差，且電壓超前電流90°，或者說電感電流滯后電壓90°。其波形圖如3.3.2b所示。綜上所述，電感相量式為

相量圖如圖3.3.2c所示。

2.功率

純電感的瞬時功率為

瞬時功率p的波形圖如圖3.3.2d所示。由于電壓u超前電流i相位90°，因此電壓u與電流i的瞬時值在第一個和第三個周期內(nèi)同時為正或同時為負(fù)，瞬時功率p為正值；在第二個和第四個周期內(nèi)不同時為正或不同時為負(fù)，瞬時功率p為負(fù)值。在一個周期內(nèi)，瞬時功率p一半為正、一半為負(fù)，說明電感從電源吸收的電能和向電源回送電能的量相等，電感是儲能元件。顯然，純電感的平均功率為零，即

純電感負(fù)載在交流電路中不消耗能量，只是與電源進(jìn)行能量互換，其互換能量的規(guī)模用無功功率來反映。無功功率等于瞬時功率的幅值，用符號Q表示，單位是乏（var）或千乏（kvar）。即

Q=UI=X_LI²

與無功功率相對應(yīng)，平均功率一般稱為有功功率。

3.3.3 電容元件的正弦響應(yīng)

1.電壓與電流的關(guān)系

圖3.3.3a所示為電容元件，在電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向時，其伏安關(guān)系式為

若電容兩端接入正弦電壓u（t）=U_msinωt，則通過電容元件的電流為

由式（3.3.9）可見，電容元件的電壓和電流是同頻率正弦量。它們的數(shù)值關(guān)系和相位關(guān)系如下。

數(shù)值關(guān)系：由式（3.3.9）可得

用有效值表示為

式中，X_C=是電容電壓與電流有效值（或最大值）的比值，稱為電容電抗，簡稱容抗，其單位是歐姆（Ω）。

容抗與電容C、頻率f成反比，是表征電容元件對交流電呈現(xiàn)阻力作用的物理量。電容元件對于高頻電流呈現(xiàn)的容抗較小，使較高頻率電流易于通過。對于直流電流，其頻率f=0，所呈現(xiàn)的容抗X_C=∞，可視為開路。因此，電容元件具有隔斷直流的作用，這種“隔直作用”在電子電路中經(jīng)常用到。

相位關(guān)系：電容電流超前電壓90°，或稱電容電壓滯后電流90°，波形如圖3.3.3b所示。綜上所述，可得出如下相量式：

式（3.3.12）表示電容電流與電壓有效值之間及相位之間的關(guān)系，其相量圖如圖3.3.3c所示。

2.功率

純電容的瞬時功率為

瞬時功率p的波形圖如圖3.3.3d所示。由于電流i超前電壓u相位90°，因此電流i與u電壓瞬時值在第一個和第三個周期內(nèi)同時為正或同時為負(fù)，瞬時功率p為正值；在第二個和第四個周期內(nèi)不同時為正或不同時為負(fù)，瞬時功率p為負(fù)值。在一個周期內(nèi)，瞬時功率p一半為正、一半為負(fù)，說明電容從電源吸收的電能和向電源回送電能的量相等，電容是儲能元件。顯然，純電容的平均功率為零，即

純電容負(fù)載在交流電路中不消耗能量，只是與電源進(jìn)行能量互換，其互換能量的規(guī)模用無功功率來反映，即

Q=-UI=-X_CI²

即電容性無功功率取負(fù)值，電感性無功功率取正值，以資區(qū)別。

例3.3.1 電路如圖3.3.4a所示，已知R=3Ω，L=2 H，i_S=sin2t，試求電壓u₁、u₂、u及其有效值相量。

解：根據(jù)圖3.3.4a，可畫出圖3.3.4b所示相量模型。

已知==1∠0°，則

相應(yīng)電壓的瞬時值表達(dá)式為

特別提示

電阻元件上的電壓和電流頻率相同、相位相同，電壓與電流的最大值與有效值之間的關(guān)系為U_m=RI_m或U=RI。電感元件上的電壓和電流頻率相同、電壓相位超前電流90°，電壓與電流的最大值與有效值之間的關(guān)系為U_m=ωLI_m或U=ωLI。電容元件上的電壓和電流頻率相同、電流相位超前電壓90°，電壓與電流的最大值與有效值之間的關(guān)系為I_m=ωCU_m或I=ωCU。

【練習(xí)與思考】

1）在正弦電流電路中，如果選取關(guān)聯(lián)參考方向，則下列u、R、i表達(dá)式中哪些正確，哪些錯誤，并改正。

① i=；② I=；③ i=；④ i=；⑤ I·=

2）在正弦電流電路中，如果選取關(guān)聯(lián)參考方向，則下列u、L、i表達(dá)式中哪些正確，哪些錯誤，并改正。

① i=L；② i=；③ I=；④ I=；⑤；⑥

3）在正弦電流電路中，如果選取關(guān)聯(lián)參考方向，則下列u、C、i表達(dá)式中哪些正確，哪些錯誤，并改正。

① i=；② I=；③ I=ωCU；④；⑤；⑥ i=；⑦ i=