1.5 電路的等效變換

在電路理論中，等效分析法是一個重要方法。利用等效，可簡化電路的分析和計算。

1.5.1 電路等效的概念

1.二端網絡的概念

在電路分析中，若把一組相互連接的元件看成是一個整體，這個整體對外部電路而言只有兩個端子與之相連，并且從一個端子流入的電流等于從另一個端子流出的電流，則稱這個整體為二端網絡，也稱一端口網絡。電阻、電壓源、電流源等理想電路元件可看成是二端網絡的特例，此網絡內部只含有一個元件。一個二端網絡N通常用圖1-24來表示。

二端網絡端口的電壓和電流的關系稱為該二端網絡的端口伏安關系，可用數學表達式描述為

二端網絡的伏安關系由其內部的結構和參數決定，與外電路無關。

2.等效的概念

如果兩個結構、參數完全不同的二端網絡的端口伏安關系完全相同，則稱這兩個二端網絡是等效的，或稱這兩個二端網絡互為等效電路。

如圖1-25所示的兩個二端網絡N₁和N₂，其內部結構可能不同，但只要它們的端口伏安關系完全相同，則N₁和N₂是等效的。也就是說兩個二端網絡N₁和N₂在電路中可以互相替換。只要N₁和N₂的端口伏安關系完全相同，則兩個網絡端口以外的變量u、i即相同，或者說，兩個網絡互相替代以后，端口以外的電路變量不受影響。

如圖1-26所示，若兩個二端網絡N₁和N₂等效，則兩個二端網絡分別連接到同一個任意的二端網絡M時，不會影響到M內的電壓和電流值。也就是說二端網絡N₁和N₂對外電路M的作用完全相同，所以等效又為“對外等效”。

利用等效的概念，可用簡單的二端網絡去等效原來復雜的二端網絡，從而實現化簡電路的目的。若要求解某一支路的響應（電壓或電流）時，可先把該支路以外的電路先進行化簡等效，再用簡單的二端網絡去代替原來復雜的網絡，這樣求解就大大簡化了。

例1-5 利用等效定義，求圖1-27a所示電路中的電流i。

解：如圖1-27b所示，先斷開待求支路即4Ω電阻，設端口電壓為U，電流為I。求該圖的最簡等效電路，列寫方程得端口伏安關系為

U=2×（1+I）+10=2I+12^[1]

由此伏安關系式，可畫出最簡等效電路如圖1-27c所示。將待求支路接上，如圖1-27d所示電路，于是求得

以上利用等效定義先求出二端網絡端口伏安關系，然后根據端口伏安關系得到簡化的電路，再求待求支路響應的方法，稱為端口伏安關系法。該方法適用于任何二端網絡的等效化簡。需要注意的是，兩個互為等效電路的二端網絡N₁和N₂，它們的內部結構和元件參數可能完全不相同，然而對外電路來說，N₁和N₂是等效的。而由于兩個網絡內部完全不同，所以其功率也不一樣，對兩個網絡自身來說是不等效的，即“對內不等效”。

1.5.2 電阻的等效

本節利用等效的方法研究電阻串聯、并聯、星形和三角形聯結電路的化簡。

1.電阻串聯的等效變換

電阻R₁、R₂依次首尾相連，串行連接，如圖1-28a所示，稱為電阻的串聯。串聯電阻的電流是同一電流。

圖1-28a中，根據歐姆定律和基爾霍夫電壓定律，可得

令

則式（1.5-2）可寫為

由式（1.5-4）畫出圖1-28b所示電路。因為圖1-28a、b所示的端口伏安關系相同，所以電阻的串聯組合可以等效為一個電阻。由式（1.5-3）可知電阻串聯的等效電阻等于每一個串聯電阻的阻值之和。用R代替兩個串聯電阻后，對外電路來說其作用不變。圖1-28a中每個電阻的電壓由下式求得：

式（1.5-5）稱為分壓公式，也就是說串聯電阻電路中的電阻越大，分得的電壓越多。每個電阻的分壓與其在串聯總電阻中所占比例成正比。

電阻串聯等效還可推廣到n個電阻的串聯。

式（1.5-6）為串聯電阻等效公式。可以推出，串聯電阻越多，總電阻越大。

2.電阻并聯的等效變換

如圖1-29a所示，電阻R₁和R₂有兩個公共的連接點，稱為電阻的并聯。

根據歐姆定律和基爾霍夫電流定律，得

令

則上式可寫為

由式（1.5-9）可畫出圖1-29b所示電路。因為圖1-29a、b的伏安關系完全相同，所以圖1-29a和圖1-29b互為等效電路。兩個電阻并聯等效時，由式（1.5-8）可得等效電阻為

通常記為R=R₁//R₂。

當電阻并聯時，圖1-29a中每個電阻的電流為

式（1.5-11）稱為分流公式，即并聯支路的電阻越大，并聯支路的電流越小，即電流總是尋找電阻最小的通路。

電阻并聯的等效還可推廣到n個電阻的并聯，即

由于，上式還可寫成電導的形式，即

由此可推出，電阻并聯的等效電阻，比最小的電阻還小。

3.電阻混聯電路的等效變換

在電路中，若既有電阻串聯又有電阻并聯時，稱為電阻的混聯。在電阻混聯的情況下，一般根據電路結構對其進行適當的化簡：首先根據電阻串、并聯的基本特征對其連接方式進行判斷，然后根據電阻串聯和并聯的等效規律從局部到端口，逐級進行化簡計算。

例1-6 求圖1-30a所示ab端口的等效電阻，設電阻均為6Ω。

解：采用“縮節點，畫等效電路”的方法，如圖1-30b所示，其等效電阻為

R_ab=R₁//R₂//R₃=2Ω

例1-7 求圖1-31a所示端口的等效電阻。

解：如圖1-31b所示，按從局部到端口的順序，從電路圖右側往左側方向，利用電阻串、并聯等效方進行逐級化簡可得

R=10Ω//10Ω=5Ω

4.電阻星形和三角形聯結的等效變換

在電路中常出現一些電阻既不是串聯也不是并聯的情況，如圖1-32所示電路，是橋式電路，ab端口以右的電阻連接方式既非串聯，也非并聯。對于橋式電路可利用等效變換的方法。將1、2、3節點連接（星形聯結）的電阻（如圖1-33a所示），變換為三角形聯結（如圖1-33b所示）。變換后的電路會出現電阻串聯和并聯形式，此時問題轉化為一般電阻混聯電路的化簡。

電阻星形聯結（形聯結）和三角形聯結（△形聯結）都是通過3個端子與外電路相連，可看成是典型的兩個具有公共端子的二端口電路。根據電路等效的定義，若圖1-33a和圖1-33b等效，則要求兩電路端口伏安關系完全相同。具體來說，兩個電路等效的條件是

式（1.5-14）是從形聯結到△形聯結的計算公式。

式（1.5-15）是從△形聯結到形聯結的計算公式。

為便于記憶，以上等效變換公式可歸納為

若三角形（或星形）連接的3個電阻相等，則變換后的星形（三角形）的3個電阻也相等。且有

式中R_△是三角形聯結電阻，是星形聯結電阻。電阻形和△形聯結的等效變換在三相電路分析中是很有用的。

例1-8 求圖1-34a中所示橋式電路的電阻R₁₂。

解：先將圖1-34a中節點1、3、4所連的△形聯結的電阻等效為形聯結，如圖1-34b所示。將圖1-34b改畫為如圖1-34c所示，用串、并聯方法求出R₁₂，如圖1-34d所示，為

R₁₂=5Ω

1.5.3 含受控源電路的等效變換

含受控源電路的等效變換，可通過求其端口的伏安關系來得到等效電路，該方法即端口伏安關系法。

例1-9 求圖1-35a所示電路的等效電阻R_ab。

解：為求出ab端口伏安關系，在端口施加一獨立電壓源（電壓為U），如圖1-35b所示，應用兩類約束，求出端口電壓U作用下的端口電流I。這種方法稱為加壓求流法。列寫圖1-35b的方程為

解得

U=6I

等效電阻為

R=6Ω

由此例可推廣得到一個重要的結論：任何一個不含獨立源（可含有受控源）的無源二端網絡，均可等效為一個電阻。由于電路的性質（即端口伏安關系）只與電路的內部結構及元件參數有關，與外加激勵無關，因此還可在端口施加一獨立電流源I，來求端口電壓與電流的關系，這種方法稱為加流求壓法。無論是加壓求流還是加流求壓，都能求出等效電阻。

例1-10 利用等效定義，求圖1-36a所示電路中的電流I。

解：先斷開待求支路，如圖1-36b所示。設端口電壓為U，電流為I，列寫KCL、KVL方程為：

消去i，可得圖1-36b的端口伏安關系如下：

U=10.8-1.4I

由此伏安關系，可畫出等效電路如圖1-36c所示。將待求支路接上，如圖1-36d所示電路，于是求得

1.5.4 電源的等效變換

1.理想電壓源的串聯

理想電壓源在電路中可以串聯。如圖1-37所示，當n個理想電壓源串聯時，可以等效為一個電壓源，且該電壓源的電壓等于該串聯支路所有電壓源電壓的代數和，即

將多個電壓源串聯，可以提高或降低總電壓。

2.理想電流源的并聯

理想電流源在電路中可以并聯。如圖1-38所示，當n個理想電流源并聯時，可以等效為一個電流源，等效電流源的電流等于并聯支路上所有電流源電流的代數和，即

將多個電流源并聯，可以提高或者降低總電流。

3.理想電壓源與多余元件的并聯

只有極性一致、電壓值相等的電壓源才允許并聯，否則違背KVL。如圖1-39a所示，一個與電壓源u_S的極性和大小不一致的元件N與該電壓源u_S并聯，稱N為多余元件，等效時可斷開該元件，等效電路如圖1-39b所示。

4.理想電流源與多余元件的串聯

只有方向相同、電流值的大小相等的電流源才允許串聯，否則違背KCL。如圖1-40a所示，一個與電流源i_S的電流方向和大小不一致的元件N與該電流源i_S串聯，稱N為多余元件，等效時可將該元件短路，等效電路如圖1-40b。

注意，電壓源不能短路，電流源不能開路。

5.實際電源的模型及其等效變換

在現實中理想電源是不存在的，因為實際電源內部都有一定的內阻R_S，存在能量消耗。圖1-41a所示是一個實際電源外接一個電阻。實際電源的外部特性如圖1-41b實線所示，一般可近似為一條直線，如圖1-41c所示。其中u_S是電源的輸出電流為零時的電壓值，即開路電壓u_OC，i_S是電源的輸出電壓為零時的電流值。

根據圖1-41c的直線可寫出其方程，其端口伏安關系為

上式可以改寫為

式（1.5-21）中R_S=u_S/i_S。由上述兩個伏安關系式可知，一個實際電源有兩種不同的等效模型：一是電壓源串聯電阻（實際電壓源模型）；二是電流源并聯電阻（實際電流源模型），如圖1-42所示。電壓源串聯電阻的組合與電流源并聯電阻的組合具有相同的伏安關系，所以這兩種模型可以相互等效，變換時要注意u_S和i_S的參考方向。兩個模型等效互換的條件是R_S=u_S/i_S。通常將與電阻串聯的電壓源稱為有伴電壓源，將與電阻并聯的電流源稱為有伴電流源，將單獨的理想電壓源或理想電流源稱為無伴電源。

實際電源的兩種模型在電路分析中可以相互等效變換，這種方法又稱電源模型互換法，簡稱模型互換法。受控電壓源與電阻的串聯組合和受控電流源與電阻的并聯組合也可進行模型互換。此時把受控源當作獨立源來處理。不過應特別注意變換過程中受控源的控制量（或控制支路）必須保證不被改變，而受控源控制系數及其量綱則隨著等效變換有所變化。

例1-11 分別作出圖1-43a、b所示電路的等效電路。

解：對圖1-43a，電路對外提供一個恒定的6 V電壓，與電流源無關，所以端口電壓方程為U=6 V，其等效電路為6 V的電壓源，如圖1-43c所示。

對圖1-43b，電路對外提供一個恒定的5 A電流，與電壓源無關，所以端口電流方程為I=5 A，其等效電路為5 A的電流源，如圖1-43d所示。

例1-12 求圖1-44a所示電路的等效電路。

解：對圖1-44a所示電路，由左側向右側逐步等效化簡。

首先將圖1-44a左側的6 V電壓源與3Ω電阻串聯的部分等效為2 A電流源與3Ω電阻的并聯，如圖1-44b所示。再由電流源并聯等效得圖1-44c，進一步將電路化簡為圖1-44d，最后利用電壓源串聯等效得到圖1-44e。