1.4 基爾霍夫定律
前面討論了單個元件的伏安關系，即元件本身的電壓與電流的約束關系，稱為元件約束或特性約束。由一些元件相互連接組成一定幾何結構形式的電路后，各支路的電壓和電流之間也受到約束，稱為拓撲約束或結構約束，基爾霍夫定律即闡述了這種約束。元件約束和拓撲約束，一起成為分析集總參數電路的基本依據。
基爾霍夫定律是由德國物理學家基爾霍夫提出的關于穩恒電路網絡中電流、電壓關系的兩條電路定律，即著名的基爾霍夫電流定律（Kirchhoff' s Current Law，KCL）和基爾霍夫電壓定律（Kirchhoff' s Voltage Law，KVL）。基爾霍夫定律是分析一切集總參數電路的根本依據，一些重要的定理、電路分析方法，都是以基爾霍夫定律為“源”推導、證明、歸納、總結得出的。在了解基爾霍夫定律之前，必須先熟悉幾個有關的名詞。
支路：一個二端元件或若干個二端元件的串聯構成的每一分支。為了分析和計算方便，把電路中通過同一個電流的每個分支叫支路。在圖1-18中，流過6 V電壓源和6Ω電阻的電流為同一個電流，可看成一個支路。圖1-18中，共有6條支路：ab，bc，cd，da，ac，bd。
圖1-18 電路圖
節點：支路與支路的連接點。在圖1-18中，共有4個節點：a，b，c，d。
回路：電路中的任何一個閉合路徑。圖1-18中，有7個回路：abcda，abca，abda，cbdc，abdca，cbdac，adca。
網孔：內部不另含支路的回路。網孔一定是回路，但回路不一定是網孔。圖1-18中，有3個網孔：abda，cbdc，adca。
1.4.1 基爾霍夫電流定律
基爾霍夫電流定律（KCL）：在集總參數電路中，任意時刻，流出或流入任一節點的所有支路電流的代數和等于零，即
式（1.4-1）為基爾霍夫電流定律的代數表達式，簡稱KCL方程。式中，n為連接到節點的電流總數，ik（t）表示第k條支路電流，k=1，2，…，n。此式說明，將連接到節點的所有電流都看成是流出（或者流入）節點的話，那么這些支路電流的代數和等于零。既然是電流的代數和，那么需要先確定電流ik（t）前面的正負號。如果設定流入節點的電流前面取“+”號，則流出節點的電流前面取“-”號。當然也可設定相反的參考方向，即電流流入節點取“-”號，電流流出節點取“+”號。無論流出還是流入節點，式中的正、負號由參考方向來確定，與電流的實際方向無關。在建立KCL方程時，先要設定每一條支路的電流參考方向，然后依據參考方向來取號，電流流出或者流入節點可取正號或負號，但列寫同一個KCL方程時取號規則應一致。
如圖1-19所示，設節點a為集總參數電路中的某一節點，連接到節點上的電流共有4條，各電流的參考方向已指定。根據基爾霍夫電流定律，設流出節點的電流為“+”，列寫KCL方程為
將該KCL方程改寫為
由式（1.4-3）可得KCL的另一種敘述方式：在集總參數電路中，任意時刻流出任一節點的電流之和等于流入該節點的電流之和。即
KCL不僅適用于節點，還適用于電路中任意假設的封閉面（即廣義節點）。如圖1-20所示電路中虛線包圍區域S，設流入封閉面的電流取“+”，則有i1+i2+i3=0。
圖1-19 KCL用于節點
圖1-20 KCL用于廣義節點
基爾霍夫電流定律是電荷守恒定律和電流連續性在集總參數電路中任意節點處的具體反映，即對集總參數電路中的任何一個節點上，流入的電荷必須等于流出的電荷。電荷既不能產生，也不能消失。
基爾霍夫電流定律是對連接在節點上的各支路電流的一種約束，這種約束關系僅由元件相互間的連接方式所決定，與連接什么元件無關。
例1-3 求圖1-21所示電路中的電流I1和I2。
解：設流出節點的電流為正，先列節點a的KCL方程為
3+8+I1=0
得
I1=-11 A
再列節點b的KCL方程為
-5-I1-I2+（-3）=0
得
I2=3 A
若作一個封閉面（廣義節點）如圖1-21虛線所示，電流I2可由廣義節點的KCL直接求得
圖1-21 例1-3用圖
I2=-3+3+8-5=3 A
1.4.2 基爾霍夫電壓定律
基爾霍夫電壓定律（KVL）：在集總參數電路中，任意時刻，沿任一回路繞行一周的所有支路電壓的代數和等于零，即
式（1.4-5）為基爾霍夫電壓定律的代數表達式，簡稱KVL方程。其中，n表示回路中出現的電壓總段數，uk（t）表示第k段電壓，k=1，2，…，n。此式說明，把回路中沿繞行方向的支路電壓都看成是電壓降（或電壓升）的話，這些支路電壓的代數和等于零。在建立KVL方程時，需要指定一個回路繞行方向。通常規定，電壓參考方向與繞行方向一致的電壓（即電壓降）取“+”號，電壓參考方向與繞行方向相反的電壓（即電壓升）取“-”號。
如圖1-22所示，回路中共有6個元件電壓，設回路的繞行方向為順時針方向，根據已給出的參考方向，其KVL方程為
圖1-22 KVL應用
該KVL方程可改寫為
由式（1.4-7）可得KVL的另一種敘述方式：在集總參數電路中，沿任一回路繞行一周的電壓降的和等于電壓升的和。即
與KCL類似，KVL也可推廣到電路中任意假想的回路（廣義回路）。如圖1-22所示，ac之間沒有直接的支路，但回路abca和acda是兩個廣義回路。設a、c兩點之間電壓為uac，沿順時針方向繞行，則可列廣義回路的KVL方程為
u1+u2-u3=uac
uac=u4-u5+u6
整理式（1.4-6），有
式（1.4-9）表明，方程等號的左邊和右邊分別是圖1-22中a點到c點兩條路徑（路徑abc和路徑adc）所經過的各元件電壓降的代數和。可見，不論沿哪條路徑繞行，兩點之間的電壓都相等。即在集總參數電路中，任意兩點a、b之間的電壓，等于自a點出發，沿任意路徑繞行到b點的所有電壓降的代數和。
KVL的實質反映了集總參數電路遵從能量守恒定律。若單位正電荷從a點出發沿著閉合回路移動，最后回到a點，則其電壓為uaa，顯然uaa=0。即該正電荷既沒有得到能量也沒有失去能量。
與KCL類似，KVL規定了電路中任一回路內各元件電壓的約束關系，這種約束關系僅與元件間的連接方式有關，與元件本身無關。
與一個節點相連的各支路，其電流必然受到KCL的約束；與一個回路相聯系的各支路，其電壓必然受到KVL的約束。
例1-4 如圖1-23所示電路，已知I1=2 A，I2=1 A，U1=2 V，U3=3 V，U4=2 V，求電阻R2、R5的功率。
圖1-23 例1-4用圖
解：設流出節點a的電流取“+”號，列KCL方程為
I1-I2+I3=0
即
I3=1A-2A=-1A
列寫兩個網孔的KVL方程有
-U1+U2-U3=0
U3+U4+U5=0
解得
U2=5 V，U5=-5 V
電阻R2吸收的功率為
P2=U3I2=3×1 W=3 W
電阻R5吸收的功率為
P5=U5I3=-5×（-1）W=5 W