1.6 方程法

前面已經介紹了元件約束和拓撲約束是分析電路的基本依據。利用兩類約束和等效變換可對電路進行分析計算。但是對于一些復雜電路的分析還需要尋求某種系統化的一般方法。這類方法一般不改變電路的結構，其基本思路是選擇一組適當的電路變量（電壓或電流），根據兩類約束建立電路方程來求解這組變量，而后再求其他響應。對于線性電阻電路，其方程是一組線性代數方程，因此這類方程稱為方程法，也叫一般分析法。

1.6.1 支路電流法

支路電流法是以支路電流為變量，先列寫電路的KCL和KVL方程，先求出支路電流，再求解電路中其他未知量的方法，簡稱支路法。

若支路法共有b個支路電流變量，則有b個獨立方程。下面以圖1-45為例進行說明，圖中有3條支路，即有3個支路電流變量。為求出這些電流變量，需要列寫出的獨立方程個數為3個。

1）設支路電流參考方向如圖1-45所示。

2）因為圖1-45有兩個節點，故兩個節點的KCL方程是對偶的關系。只需列寫1個節點的KCL方程，即

i₁+i₂-i₃=0

由電路網絡圖論可知具有n個節點的電路網絡中，獨立的KCL方程個數為n-1個。

3）列寫獨立回路的KVL方程。

除了獨立節點的電流方程外，還需找到兩個獨立的KVL方程才能求出3個支路電流變量。若選擇圖1-45所示電路的兩個網孔列寫回路方程，則有兩個獨立的KVL方程，即

以上兩個方程是獨立的，即其中一個方程不能由另外一個方程來表示。這兩個獨立方程所對應的回路稱為獨立回路。一般選擇網孔作為列方程的回路，能保證列回路電壓方程是獨立的。可以證明，網孔是獨立回路，網孔數也就是獨立回路數。對于一個有n個節點，b條支路的電路來說，獨立的KVL方程個數為b-n+1個。

4）聯立求解獨立的節點電流方程和獨立回路方程，可求得圖1-45中各支路電流。

例1-13 如圖1-46a所示電路，用支路電流法求電路中的電流i₁。

解：該電路含有一個受控源，將其看作獨立源。設各支路電流如圖1-46b所示，電路中節點數為2，支路數為3。

首先列寫a節點的KCL方程：

i₁=i₂+i₃

選擇網孔為獨立回路，列寫2個網孔的KVL方程：

聯立求解方程，得

i₁=0.9 A

1.6.2 網孔電流法

選擇平面電路的網孔電流作為電路變量，利用KVL列寫網孔的電壓方程，先求得網孔電流，再求其他響應的方法，稱為網孔電流法。大多數電路都是平面電路，網孔電流法僅適用于平面電路。所謂平面電路是指除節點外所有支路都沒有交叉的電路，其電路圖是平面的。

網孔電流是一種沿著網孔邊界流動的假想的電流。

在具有n個節點，b條支路的平面電路中，可以證明，網孔數為b-n+1個，因此有b-n+1個網孔電流。如圖1-47所示電路，共有3個網孔，其3個網孔電流為i_a、i_b、i_c，分別沿著acba，abda，bcdb網孔邊界流動。

網孔電流是獨立的變量。根據電流連續性，對于圖1-47中每一個節點，網孔電流流入節點一次，同時又流出該節點一次，因此網孔電流在節點上自動滿足基爾霍夫電流定律。若以網孔電流為變量對節點b列KCL方程，有

i_a-i_a+i_b-i_b+i_c-i_c=0

上式恒等于零。由于各網孔電流相互抵消，各網孔電流不受KCL約束，所以網孔電流具有獨立性。

網孔電流是完備的變量。當電路中某條支路只有一個網孔電流流過時，該支路電流就是網孔電流；當有多個網孔電流同時流過某條支路時，該支路電流等于這些網孔電流的共同作用，即網孔電流的代數和。可見，電路中所有支路電流均可由網孔電流來表示

網孔電流自動滿足KCL，因此只需列寫KVL方程。對于有n個節點，b條支路的電路，其獨立的KVL方程個數為b-n+1個。以網孔電流為變量列寫b-n+1個網孔的KVL方程，該組方程稱為網孔方程，聯立求解可得網孔電流。下面以圖1-47為例，利用式（1.6-1），用網孔電流表示支路電流，取網孔電流方向為繞行方向，列寫各網孔的KVL方程如下。

整理得

式（1.6-3）就是網孔方程，實際上，上述方程可以整理為一般形式：

或寫為矩陣形式為

從上述網孔方程能總結出一些規律，利用這些規律列方程，會簡化網孔電流方程的列寫。

式（1.6-5）中，系數矩陣對角線元素R_kk稱為網孔k的自電阻，它是網孔k中所有電阻之和。例如R₁₁=R₁+R₂+R₃，R₂₂=R₂+R₄+R₅，R₃₃=R₃+R₅+R₆。由于列寫KVL方程時設定了繞行方向為網孔電流方向，因此自電阻上產生的電壓降總是正的，自電阻恒取正號。

式（1.6-5）中，非對角線元素，例如R₁₂是網孔a和網孔b公共支路上的電阻，稱為互電阻。互電阻上的電壓降可能為正，也可能為負，這取決于流經互電阻的網孔電流的參考方向。當互電阻上的兩個網孔電流方向相同時，互電阻取正號；當互電阻上兩個網孔電流參考方向相反時，互電阻取負號。網孔a和網孔b的網孔電流方向相反，故R₁₂的符號取負號。如果各網孔電流參考方向設為一致，即同為順時針方向，或同為逆時針方向，則各互電阻上相鄰電流方向一定相反，互電阻符號均為負號。

式（1.6-5）中，等號右端的元素u_Snk表示網孔k中所有電壓源電壓升的代數和，例如回路a中電壓源的電壓升為-u_S1，回路c中電壓源的電壓升為u_S2。

總而言之，以網孔電流參考方向作為繞行方向，網孔方程的左端為（電阻的）電壓降的代數和，方程的右端為電壓源電壓升的代數和。

按總結出來的規律，從電路直接列寫網孔電流方程的通式為

自電阻×本網孔電流+∑互電阻×相鄰網孔電流=本網孔所含電壓源電壓升的代數和網孔分析法的解題步驟歸納如下。

1）設定網孔電流參考方向（通常同取順時針或逆時針方向），繞行方向與參考方向一致。

2）列網孔方程組，聯立求解，解出網孔電流。

3）由網孔電流求電路其他待求量。

網孔法的實質是網孔的KVL方程。若網孔含有電流源，由于電流源的電壓要由外電路確定而不能直接用網孔電流來表示，故一般采用以下方法來處理。

1）若存在電流源并聯電阻的有伴電流源，則將其并聯組合等效為電壓源串聯電阻模型。

2）若某個無伴電流源所在支路單獨屬于某一個網孔，則與其關聯的網孔電流為已知，該網孔電流方程可省去，其他網孔電流方程正常列寫。

3）若某個無伴電流源為兩個網孔所共有，可將電流源兩端電壓作為未知變量，從而增補一個輔助方程，使電流源電流與網孔電流相聯系。

例1-14 如圖1-48a所示，試用網孔分析法求電流i和電壓u。

解：設網孔電流參考方向如圖1-48b所示。圖中10 A電流源是無伴電流源，該網孔電流i₂即等于10 A電流源。將20 A電流源和2Ω電阻并聯的有伴電源模型，等效為電壓源串聯電阻的模型，等效后的u應為串聯支路的支路電壓；5A電流源為兩個網孔所共有，故增設其兩端電壓變量u_x，如圖1-48b所示，列寫網孔電流方程：

網孔1：

（10+2）i₁-2i₂=20+u_x

網孔2：

i₂=10 A

網孔3：

（2+10）i₃-2i₂=10-40-u_x

輔助方程：

i₁ -i₃=5

聯立求解該方程組，可得

i₁=3.75 A，i₃=-1.25 A，i=i₂-i₁=6.25 A

u=2（i₂-i₃）-40=-17.5 V

當電路中含有受控電源，可將受控源按獨立源一樣對待，列寫網孔方程，增設一個輔助方程，即找出控制量與網孔電流的關系方程，下面通過例子來說明。

例1-15 如圖1-49a所示電路，求各網孔電流及受控源吸收的功率。

解：設網孔電流如圖1-49b所示，列寫網孔電流方程：

聯立求解得

i₁=-1 A，i₂=3 A

受控源的吸收的功率為

P=8i_x（i₁-i₂）=8×3×（-1-3）W=-96 W

1.6.3 節點電壓法

在電路中任意選擇一個節點為參考節點，假設其電位為零，電路中其他各節點到參考節點的電壓稱為節點電壓（位）。如圖1-50所示，選擇節點d為參考點，則節點電壓為u_a，u_b，u_c。

以節點電壓為電路變量，直接列寫獨立節點的KCL方程，先求得節點電壓進而求響應的方法，稱為節點電壓法，簡稱節點法。節點法以n-1個獨立節點電壓為變量，根據KCL列出方程求解。

節點電壓是相互獨立的變量。因為各節點電壓變量不可能處于同一個回路內，所以不能通過KVL方程把各個節點電壓聯系起來，即它們相互間不受KVL約束，具有獨立性。

對圖1-50中節點a、b、c分別列出KCL方程如下。

由于電路中任一條支路都與兩個節點相連，因此支路之間的電壓等于兩個節點之間的電壓之差。將上式支路電流用節點電壓表示，有

從式（1.6-7）可知，全部支路電流均可由節點電壓表示，即節點電壓是完備的變量。若設法先求出節點電壓，那么電路中其余變量均可由節點電壓求得。

將式（1.6-7）代入式（1.6-6）中，整理后有

寫為一般形式為

寫成矩陣的形式為

從節點方程能總結出一些規律，利用這些規律列方程，會簡化節點電壓方程的列寫。

式（1.6-10）中，G_kk稱為節點k的自電導，它是連接到節點k的所有支路的電導之和，恒取“+”號。例如連接到節點a的電導G₁+G₄+G₆，是節點a的自電導。

G_kj（k≠j）稱為節點k與節點j的互電導，它是連接到節點k和節點j之間共有支路電導之和。恒取“-”號。例如G₁₂=G₂₁=-G₄。

等式右邊列的元素i_Snk為流入節點k的電流源電流的代數和。流入節點的電流源電流取“+”號，否則取“-”號。

式（1.6-9）等號左邊表示從電阻支路流出節點的電流，等號右邊表示從電流源支路流入節點的電流，該式滿足基爾霍夫電流定律。按總結出來的規律，從電路直接列寫節點電壓方程的通式為

自電導×本節點電壓+∑互電導×相鄰節點電壓=流入本節點電流源電流的代數和節點電壓法的解題步驟歸納如下。

1）選取參考節點（設參考點電位為零），確定其余各節點電壓變量。

2）列節點電壓方程組，聯立求解，求得各節點電壓。

3）由各節點電壓求其他變量。

節點方程的實質，是用節點電壓表示各支路電流，從而列寫各節點的KCL方程。若支路中含有電壓源，由于電壓源的電流由外電路確定而不能直接用節點電壓表示，故一般采用以下方法處理。

1）若存在電壓源串聯電阻的有伴電壓源，則將其串聯組合等效為電流源并聯電阻的組合。

2）若存在只含一個獨立電壓源（無伴電壓源）的支路，取電壓源支路的一端作為參考點，這時該支路另一端連接的節點電壓為已知量，且等于該電壓源電壓。

3）若存在兩個或兩個以上無伴電壓源支路，可對其中一個無伴電壓源按上述第2種方法處理，將其余無伴電壓源支路的電流作為未知量列入節點方程中，并增設輔助方程，將該電壓源與節點電壓相聯系。

例1-16 對圖1-51a列寫節點電壓方程。

解：圖1-51a中電路含有無伴電壓源u_S支路，選擇該電壓源負極為參考點，如圖1-51b所示。設節點電壓為u_a、u_b、u_c，其中b點電壓為已知量，即u_b=u_S。u_a和u_c為未知量，列寫節點a和c的節點方程：

將u_b=u_S代入以上兩個方程中，聯立求解即可求出u_a、u_c。

上題若選擇a點或c點為參考點，則需要列寫3個方程；若選擇電壓源負極為參考點，則只需列兩個方程。從上題求解過程可以看出，對于只含有一個獨立電壓源的支路，如果能夠選取合適的參考點，可以減少需要列寫的方程數目，簡化求解過程。

例1-17 如圖1-52a所示電路，用節點法求電流I。

解：【解法一】 圖1-52a中含有無伴電壓源支路，選擇該2V電壓源的負極為參考點，則u_a=2 V。設其余各節點電壓為u_b、u_c；圖中1 V電壓源與2Ω電阻串聯，將其串聯組合等效為電流源并聯電阻的模型，如圖1-52b所示。

列寫各節點的節點方程為

聯立求解得

u_b=-4 V，u_c=0 V

則

【解法二】 選擇c點為參考點，設其余各節點電壓為u_a、u_b、u_d，圖中1 V電壓源與2Ω電阻串聯，將其串聯組合等效為電流源并聯電阻的模型，如圖1-52c所示。節點電壓法列寫的是節點的電流方程，由于2 V電壓源支路電流未知，故設該支路電流為I_X。列寫各節點方程為

節點a：

u_a=3-I_X

節點d：

節點b：

輔助方程為

u_a -u_d=2

聯立求解得

u_a=0，u_b=-6 V，u_d=-2 V

則

以上討論的電路只含有獨立源，如果電路中含有受控源，先將受控源按照獨立源一樣地對待，列寫節點方程，再增加輔助方程，將受控源的控制量用節點電壓來表示。

例1-18 如圖1-53a所示電路，求電壓u和電流i。

解：圖1-53a中節點c和d之間含有一個無伴電壓源，選擇該電壓源的負極（節點d）為參考點，設其余各節點電壓為u_a、u_b、u_c，其中u_c=10 V，如圖1-53b所示。列寫節點a和節點b的節點方程為

聯立求解得

u_a=u=7 V，u_b=2 V，i=2（u-10）=-6 A

前面介紹了電路分析的幾種方法，對于有n個節點，b條支路的電路而言，因為支路電流法、網孔電流法和節點電壓法選擇的變量不同，所以方程個數也不同，見表1-1。支路電流法所需的方程數目較多，但應用比較靈活。節點法適用于支路數多，節點數少的電路。選取何種分析方法，關鍵在于采用選定的方法得到的聯立方程個數更少。

節點法的優點是選取獨立節點電壓比較容易。網孔法也容易選定網孔，但網孔法不像節點法那樣通用，網孔法僅適用于平面電路。節點法適用于平面電路和非平面電路。目前，在計算機輔助網絡分析中，節點法被廣泛應用。