第五節 經濟增長率與各要素投入增長率關系公式

在本章第二節的分析中已經看到，生產方面決定的經濟增長率（總產出增長率）可以表示為總投入增長率與全要素生產率增長率之和。然而，總投入是由各類具體的要素投入構成的，到目前如何計算總投入增長率尚未論及。于是，現在的問題歸結為：如何利用已知的各具體的要素投入來計算總投入的增長率。

這一問題等同于探尋總投入增長率與各要素投入增長率的關系。顯然，如果總投入是由單一要素投入構成的，那么此種情況下的總投入增長率計算是相對容易的，因為這種情況下的總投入增長率即為單一變量的增長率。然而，現實經濟中的總投入通常是由多要素投入構成的，因此如何計算由多要素投入構成的總投入的增長率才是常見的情況。例如，資本投入和勞動投入通常是構成總投入的兩大類基本要素投入。為此，下面首先討論總投入只含有資本與勞動兩類要素投入的情況。對含有n類要素投入的總投入增長率計算，將在后面有關部分再討論。

現假設總投入Z是由資本投入K和勞動投入L構成的，亦即總投入Z是關于K和L的函數，由此可用下面的函數形式表示：

現需要提醒注意的是，這里的Z=Z（K,L）不是生產函數，其計算結果是度量總投入的指數?；蛘哒f，這里的Z=Z（K,L）所表現的函數關系不是有關生產的技術關系，而是決定K和L如何進行“匯總”的“核算”關系。即，Z=Z（K,L）決定了要素投入K和L如何“匯總”成總投入Z。然而，Z可以理解成是關于K和L的函數，因為只要K和L既定，則Z=Z（K,L）既定。因此，從函數的角度看，稱Z=Z（K,L）為總投入函數。

進一步假設總投入函數Z=Z（K,L）的對數關于K和L的對數是可導的，同時假設K和L隨時間T變化，并且K和L的對數分別關于時間的對數T也是可導的。綜合起來，將前面所列或已有假設的方程歸并在一起，得到如下的方程組：

現對（2-15）式兩邊取對數，并求關于時間T的導數得到下面的關系式：

分析（2-17）式中項的含義。在數學上是總投入Z的對數關于時間T的偏導數，即當其他變量不變的情況下總投入Z的對數關于時間T的導數。由于總投入指數本質上是度量總體投入水平的一種算法，這意味著在既定的算法下總投入指數Z不會因為時間T變動而變動?；蛘哒f，如果各要素投入既定，則總投入指數的計算結果，不會因為計算總投入指數的時間不同而不同。其意義是（2-17）式中的。

于是，（2-17）式實際為下面的表達式：

由于Y=AZ，因此有下面的關系式：

對（2-19）方程兩邊求關于lnK的偏導數，得到下面關系式：

由（2-20）式得：

同樣，再對（2-19）方程兩邊求關于 lnL的偏導數，得到下面關系式：

由（2-22）式得：

將（2-20）式和（2-23）式分別代入（2-18）式得：

展開整理得：

即

（2-24）式即總投入指數增長率分解為由各要素投入增長率表示的公式。這里需要注意到，在（2-24）式的右端表達式中，已經沒有關于Z的表達式。其意義是，總投入增長率的結果可以表示為由產出、要素投入和全要素生產率決定的關系。

同時還需要注意到，在（2-24）式中的表達式即為AKL，因此（2-24）式可以表示為：

而在前面的論述中已知，AKL體現的是技術因素影響要素投入規模變動進而對全要素生產率增長率的影響效應。顯而易見，為資本產出彈性系數，為勞動產出彈性系數，因此（2-25）式表明，總投入增長率等于要素投入增長率的加權和減去技術規模變動率。

由于為技術資本彈性系數γK,為技術勞動彈性系數γL，因此（2-24）式的經濟含義是：

因此，根據（2-19）式，經濟增長率（總產出增長率）為下面的表達式：

即

（2-27）式的經濟含義是：

請注意，（2-28）式中含有全要素生產率A的項合并在一起為“全要素生產率增長率-資本全要素生產率彈性系數×資本投入增長率-勞動全要素生產率彈性系數×勞動投入增長率”。在下一節的分析可以看到，這些項的合并結果是純技術進步率。