第3章 數(shù)字式電能表關(guān)鍵技術(shù)

3.1 數(shù)字式電能表的關(guān)鍵要素分析

3.1.1 數(shù)字化量傳體系中各影響量對(duì)整個(gè)計(jì)量體系準(zhǔn)確性的影響

數(shù)字化計(jì)量系統(tǒng)基于IEC61850標(biāo)準(zhǔn)，從結(jié)構(gòu)上可以分為電子式電流/電壓互感器、合并單元、數(shù)字式電能表三個(gè)部分，規(guī)定各層之間和層內(nèi)部采用高速通信。其系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3-1所示。

電流/電壓互感器負(fù)責(zé)采集電力系統(tǒng)的一次電壓和電流信息，并將其傳送到過程層網(wǎng)絡(luò)，以供計(jì)量、保護(hù)和測(cè)控設(shè)備使用；合并單元用于匯集一次側(cè)的1、2路互感器采樣信號(hào)，將采樣值按照IEC61850-9協(xié)議打包，為二次側(cè)保護(hù)設(shè)備提供同步數(shù)據(jù)；數(shù)字式電能表用于測(cè)量電壓、電流、頻率、功率、功率因數(shù)等電參量。

數(shù)字計(jì)量方式作為新型電能計(jì)量方式，是智能電網(wǎng)和智能變電站的發(fā)展需求。相比于傳統(tǒng)計(jì)量方式，數(shù)字化計(jì)量系統(tǒng)基于IEC61850標(biāo)準(zhǔn)，在近高壓側(cè)實(shí)現(xiàn)了二次電流/電壓的數(shù)字化再傳送，原理和結(jié)構(gòu)上的變化必然會(huì)引入新的誤差因素。

數(shù)字化計(jì)量準(zhǔn)確性的影響量主要包括數(shù)字通信誤差、傳輸誤碼率、系統(tǒng)時(shí)鐘誤差、有限字長(zhǎng)效應(yīng)及高次諧波的失真等，本節(jié)主要介紹數(shù)字通信誤差和系統(tǒng)時(shí)鐘誤差。

1.數(shù)字通信誤差

在電子式互感器的系統(tǒng)中，電子式互感器完成了二次電流、電壓的數(shù)字化，并通過IEC60044-8協(xié)議傳送給合并單元，合并單元把三相的電流和電壓值合并在一起，打包成一個(gè)IEC61850-9-1/2報(bào)文，然后傳送給數(shù)字式電能表。在傳統(tǒng)互感器的系統(tǒng)中，傳統(tǒng)互感器輸出的模擬二次電流、電壓傳送給合并單元，合并單元完成電流、電壓的數(shù)字化和報(bào)文打包，最終也通過IEC61850-9-1/2協(xié)議傳送給數(shù)字式電能表。可見，不管采用哪種形式的數(shù)字電能計(jì)量系統(tǒng)，合并單元和數(shù)字式電能表之間都通過IEC61580-9-1/2協(xié)議傳送采樣值。

在數(shù)字電能質(zhì)量計(jì)量中，二次電流/電壓值在前端完成采樣并通過專門的通信協(xié)議傳輸至電能表，這是數(shù)字電能質(zhì)量計(jì)量的主要特征之一。當(dāng)采樣值傳輸過程發(fā)生異常時(shí)，將對(duì)電能質(zhì)量計(jì)量結(jié)果產(chǎn)生影響。IEC61850-9-1/2定義了兩種特殊通信服務(wù)映射（SCSM），將ACSI采樣值傳輸模型映射到具體的通信網(wǎng)絡(luò)及協(xié)議。就網(wǎng)絡(luò)傳輸而言，IEC61850-9-1和IEC61850-9-2的數(shù)據(jù)幀傳輸方式基本相同，為保證數(shù)據(jù)傳輸?shù)膶?shí)時(shí)、快速的性能要求，省略一般網(wǎng)絡(luò)通信所采用的TCP/IP協(xié)議棧，直接由應(yīng)用層（表示層）映射到數(shù)據(jù)鏈路層。IEC61850-9-1和IEC61850-9-2的通信棧對(duì)比如圖3-2所示。

TCP/IP協(xié)議是保證大量數(shù)據(jù)可靠傳輸?shù)氖走x協(xié)議。IEC61850-9-1/2的通信協(xié)議棧省略了TCP/IP層，避免了TCP/IP協(xié)議造成的延時(shí)，節(jié)省了硬件資源且不需要對(duì)網(wǎng)絡(luò)底層設(shè)備的網(wǎng)絡(luò)驅(qū)動(dòng)進(jìn)行較大開發(fā)，有利于降低成本和程序復(fù)雜度，但是保證不了數(shù)據(jù)幀傳輸?shù)目煽啃浴EC61850-9-1/2的通信協(xié)議棧沒有捕捉通信異常的機(jī)制，檢測(cè)不到數(shù)據(jù)幀的亂序、少傳、多傳、重傳、丟失，更沒法進(jìn)行流量控制。如果采樣值采取組網(wǎng)的模式傳輸，特別是在與GOOSE報(bào)文組網(wǎng)的情況下，IEC61850-9-1/2報(bào)文更有可能丟失。

在采樣值傳輸協(xié)議中，為了保證采樣值傳輸?shù)膶?shí)時(shí)性，減少時(shí)延，協(xié)議棧中省略了會(huì)話層、傳輸層和網(wǎng)絡(luò)層，這就使得以往TCP/IP中的重傳機(jī)制不再有效。而IEC61850中也沒有另外定義采樣值傳輸?shù)闹貍鳈C(jī)制。所以在采樣值報(bào)文發(fā)生丟失或者校驗(yàn)失敗時(shí)，合并單元就不會(huì)重新發(fā)送該采樣值，一組采樣值就會(huì)丟失。

另外，在通信網(wǎng)絡(luò)中還可能出現(xiàn)報(bào)文抖動(dòng)、報(bào)文阻塞、網(wǎng)絡(luò)風(fēng)暴等異常情況。當(dāng)這些異常情況超出了電能表網(wǎng)絡(luò)適配器的處理能力時(shí)，也會(huì)產(chǎn)生采樣值數(shù)據(jù)幀的丟失。

如果采樣值采用點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的方式從合并單元傳輸?shù)綌?shù)字式電能表，正常情況下采樣值丟失的可能性很小。但是在組網(wǎng)的情況下，多組采樣值報(bào)文以及和GOOSE、MMS共用一個(gè)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，某些情況下可能造成采樣值報(bào)文丟失。

數(shù)字式電能表可以通過檢查IEC61850-9-2報(bào)文中采樣值計(jì)數(shù)器smpCnt值是否連續(xù)來(lái)判斷采樣值報(bào)文是否丟失。

另外，通信網(wǎng)絡(luò)異常還可能導(dǎo)致報(bào)文序列異常。報(bào)文序列異常情況包括超時(shí)、丟幀、錯(cuò)序、重復(fù)等。采樣值報(bào)文如果超過發(fā)送的時(shí)間間隔，則采樣值報(bào)文發(fā)送異常，此時(shí)需要將超過發(fā)送時(shí)間間隔的采樣值報(bào)文進(jìn)行記錄。采樣值報(bào)文丟幀時(shí)，釆樣值報(bào)文的幀序號(hào)不連續(xù)，通過檢查采樣值報(bào)文的幀序號(hào)可以進(jìn)行采樣值報(bào)文的丟幀檢查。采樣值報(bào)文錯(cuò)序是指裝置接收的采樣值報(bào)文不是依順序依次到達(dá)，某些釆樣值報(bào)文先到，此時(shí)也是通過檢查采樣值報(bào)文的序號(hào)進(jìn)行釆樣值報(bào)文錯(cuò)序檢査。

數(shù)字電能計(jì)量采用了基于IEC61850協(xié)議的通信技術(shù)，其中的IEC61850-9-1/2的通信協(xié)議棧省略了OSI模型中的會(huì)話層、傳輸層和網(wǎng)絡(luò)層。這樣導(dǎo)致在組網(wǎng)運(yùn)行的條件下可能造成采樣值報(bào)文的丟幀問題。本部分對(duì)幾種常見的丟幀處理算法進(jìn)行了仿真分析，包括對(duì)丟失點(diǎn)填零、用上一個(gè)點(diǎn)代替丟失點(diǎn)和對(duì)丟失點(diǎn)進(jìn)行插值三種方法。仿真結(jié)果表明，前兩種方法引入的誤差較大，最后一種方法引入的誤差較小。在采用較復(fù)雜算法時(shí)，誤差可以忽略不計(jì)。其中，從性能和復(fù)雜度綜合考慮，拉格朗日三次內(nèi)插算法是推薦算法。

在采樣值丟幀發(fā)生時(shí)，電能表會(huì)采用各種方法進(jìn)行處理。由于得不到原始真值，各種處理方法都會(huì)帶來(lái)計(jì)量值的誤差。由于無(wú)功功率的計(jì)算方法很多，而且無(wú)功功率的準(zhǔn)確度等級(jí)要求一般較低，這里只分析對(duì)電流、電壓有效值以及有功功率的影響。為了便于分析，假設(shè)電流、電壓有效值以及有功功率都采用以下的公式計(jì)算，平均的時(shí)間長(zhǎng)度為一個(gè)周期，每個(gè)周期采樣點(diǎn)數(shù)為80。同時(shí)，將研究一個(gè)周期內(nèi)丟一個(gè)點(diǎn)以及連續(xù)丟多個(gè)點(diǎn)的情況。

式中，I、U、P為電流有效值、電壓有效值和有功功率；i（k）、u（k）為電流、電壓的采樣值；N為一個(gè)周期的采樣點(diǎn)數(shù)，這里取80。

（1）對(duì)丟失點(diǎn)填零 一種最簡(jiǎn)單的丟幀處理辦法就是對(duì)丟失的點(diǎn)用零代替。該方法的好處是不增加任何的計(jì)算處理開銷，壞處是必然帶來(lái)計(jì)量值的誤差。仿真結(jié)果表明，它帶來(lái)的計(jì)量誤差的大小與丟失點(diǎn)對(duì)應(yīng)的電流、電壓相位有關(guān)，同時(shí)與功率因數(shù)（Power Factor，PF）有關(guān)。由圖3-3可以看出誤差大小與丟失點(diǎn)對(duì)應(yīng)相位以及功率因數(shù)的關(guān)系。表3-1列出了這種處理方法的誤差的仿真計(jì)算結(jié)果的一些典型值。可以看出，對(duì)丟失點(diǎn)直接填零的方法帶來(lái)的誤差很大。

（2）用上一個(gè)點(diǎn)代替丟失點(diǎn) 另一種丟幀處理的簡(jiǎn)單方法是用上一個(gè)有效的采樣值來(lái)替代丟失的采樣值。該方法的好處也是不增加任何計(jì)算處理開銷。由于上一個(gè)有效的采樣值與真實(shí)值總會(huì)存在差異，所以它也會(huì)引入計(jì)量誤差。表3-2列出了這種處理方法的誤差的仿真計(jì)算結(jié)果的一些典型值。可見，這種方法帶來(lái)的誤差相比對(duì)丟失點(diǎn)填零的方法有很大改善，但誤差值仍然較大。

（3）對(duì)丟失點(diǎn)進(jìn)行插值 相對(duì)復(fù)雜的采樣值丟幀處理方法是對(duì)丟失點(diǎn)進(jìn)行插值，用數(shù)值分析的方法恢復(fù)出丟失點(diǎn)。這里討論兩種常用的插值方法：拉格朗日插值和三次樣條插值。

拉格朗日插值法是以法國(guó)18世紀(jì)數(shù)學(xué)家約瑟夫·拉格朗日命名的一種多項(xiàng)式插值方法。其理論定義如下：

對(duì)于給定的n+1個(gè)點(diǎn)（x₀，y₀），（x₁，y₁），…，（x_n，y_n），對(duì)應(yīng)于它們的次數(shù)不超過n的拉格朗日多項(xiàng)式L只有一個(gè)。如果計(jì)入次數(shù)更高的多項(xiàng)式，則有無(wú)窮個(gè)，因?yàn)樗信cL相差λ（x-x₀）（x-x₁）…（x-x_n）的多項(xiàng)式都滿足條件。

對(duì)某個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，已知有給定的k+1個(gè)取值點(diǎn)：（x₀，y₀），（x₁，y₁），…，（x_n，y_n），其中，x_j對(duì)應(yīng)著自變量的位置，而y_j對(duì)應(yīng)著函數(shù)在這個(gè)位置的取值。

假設(shè)任意兩個(gè)不同的x_j都互不相同，那么應(yīng)用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項(xiàng)式為

其中每個(gè)l_j（x）為拉格朗日基本多項(xiàng)式（或稱插值基函數(shù)），其表達(dá)式為

拉格朗日基本多項(xiàng)式l_j（x）的特點(diǎn)是在x_j上取值為1，在其他的點(diǎn)x_i（i≠j）上取值為0。

拉格朗日插值是構(gòu)造一個(gè)插值多項(xiàng)式，保證已知的點(diǎn)都在滿足此多項(xiàng)式，然后用該多項(xiàng)式去計(jì)算未知的點(diǎn)。根據(jù)插值多項(xiàng)式的次數(shù)，拉格朗日插值又分為一次（又稱為線性插值）、二次、三次拉格朗日插值等。拉格朗日插值又可以分為內(nèi)插和前插。內(nèi)插是指用丟失點(diǎn)的前后點(diǎn)去計(jì)算插值多項(xiàng)式，前插是指用丟失點(diǎn)之前的點(diǎn)去計(jì)算插值多項(xiàng)式系數(shù)。在使用拉格朗日內(nèi)插算法的時(shí)候，要求對(duì)采樣值整體進(jìn)行延時(shí)，在出現(xiàn)丟幀后等到下一個(gè)有效采樣點(diǎn)到達(dá)后再進(jìn)行插值運(yùn)算。

三次樣條插值在每?jī)蓚€(gè)節(jié)點(diǎn)之間構(gòu)造一個(gè)三次多項(xiàng)式，整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)是二階可導(dǎo)的。三次樣條插值只能進(jìn)行內(nèi)插。一般認(rèn)為，拉格朗日插值的階次越高，插值光滑性越好，計(jì)算也越復(fù)雜。三次樣條插值有很好的光滑性，但計(jì)算開銷也最大。

圖3-4是幾種插值算法的結(jié)果對(duì)比圖（拉格朗日插值均為內(nèi)插）。圖中以理想正弦波作為被采樣信號(hào)，假設(shè)第22個(gè)采樣點(diǎn)丟失，用各種插值算法恢復(fù)出丟失的采樣點(diǎn)。可見，除了拉格朗日一次插值與理想采樣點(diǎn)有明顯差別以外，其他算法的插值點(diǎn)與理想采樣點(diǎn)非常接近。

表3-3列出了在各種插值算法下計(jì)量值的誤差情況。可以看出，拉格朗日插值算法的內(nèi)插比前插誤差小。在使用拉格朗日插值三次內(nèi)插和三次樣條插值時(shí)，誤差能降低到一個(gè)很低的可以忽略的水平。如果不考慮連續(xù)4個(gè)點(diǎn)丟失的情況，拉格朗日一次內(nèi)插也能達(dá)到很低的誤差水平。

上述三種常見的采樣值丟幀處理方法中，對(duì)丟失點(diǎn)填零和用上一個(gè)點(diǎn)代替丟失點(diǎn)的方法最為簡(jiǎn)單，但帶來(lái)的誤差也較大，已經(jīng)超出了一般安裝式電能表0.02S的準(zhǔn)確度等級(jí)（允許誤差0.2%）。對(duì)丟失點(diǎn)進(jìn)行插值的處理方法計(jì)算量較大，但帶來(lái)的誤差很小。在采用較復(fù)雜的計(jì)算方法時(shí)，帶來(lái)的誤差可以降低到可以忽略的水平。拉格朗日三次內(nèi)插法較三次樣條插值計(jì)算量小，而且可以將誤差降低到很小，是一個(gè)相對(duì)合理的選擇。經(jīng)過調(diào)研知，已經(jīng)有廠家采用了拉格朗日四次插值算法來(lái)處理采樣值丟幀。所以，目前的硬件能力是能支持拉格朗日四次插值算法的。

值得一提的是，上述仿真的結(jié)果都是基于一個(gè)周期內(nèi)計(jì)算結(jié)果來(lái)計(jì)算誤差，在實(shí)際的電能表試驗(yàn)中可以取多個(gè)周期來(lái)計(jì)算，這樣誤差可以進(jìn)一步減小。同時(shí)，電能表檢測(cè)是使用電能脈沖來(lái)檢測(cè)電能誤差的。電能脈沖是一段時(shí)間電能累計(jì)的結(jié)果，所以即使個(gè)別采樣值丟幀帶來(lái)了誤差，但這個(gè)誤差也會(huì)被平均化掉，能檢測(cè)到的誤差會(huì)很小。但上報(bào)的瞬時(shí)功率值和電流、電壓有效值能體現(xiàn)出不同處理方法的差異。

2.系統(tǒng)時(shí)鐘誤差

電能計(jì)量的關(guān)鍵參數(shù)之一是時(shí)間。在智能變電站系統(tǒng)中，數(shù)字互感器、合并單元、數(shù)字式電能表中時(shí)間需要保持一致。電能表的內(nèi)置晶振和電能計(jì)量系統(tǒng)中的對(duì)時(shí)系統(tǒng)都是影響系統(tǒng)時(shí)鐘準(zhǔn)確性的重要因素。

晶振是一種利用壓電效應(yīng)制成的諧振器件。在極窄的范圍內(nèi)，晶振可以等效為電感，同外部的電容一起組成并聯(lián)或串聯(lián)諧振回路，作為計(jì)時(shí)回路的基準(zhǔn)。理想情況下，系統(tǒng)基準(zhǔn)時(shí)間與標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間的關(guān)系是一條斜率為1的直線。在精度范圍內(nèi)可能有微小的均勻分布隨機(jī)誤差，若由于晶振老化、損壞等問題，使系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間曲線產(chǎn)生偏離，則將對(duì)系統(tǒng)同步精度和穩(wěn)定性產(chǎn)生較大影響，產(chǎn)生誤差源。

設(shè)電網(wǎng)額定頻率為f₀，系統(tǒng)時(shí)鐘偏差頻率波動(dòng)為Δf₀。周期信號(hào)f（x）的平均值由下式計(jì)算：

在同步采樣情況下，積分計(jì)算的時(shí)間是信號(hào)周期的整數(shù)倍，計(jì)算結(jié)果沒有誤差。而非同步采樣情況下，積分計(jì)算的時(shí)間不是信號(hào)周期的整數(shù)倍，則

Δ為積分時(shí)間偏差，。

設(shè)電壓為，電流為，則由非同步采樣引起的有功功率相對(duì)誤差為

可見，相對(duì)誤差會(huì)隨初始相位x₀做周期為π的余弦變化，如圖3-5所示。

由于Δ很小，經(jīng)推導(dǎo)，得ε_r隨初始相位變化的最大值為

可見，最大相對(duì)誤差與頻率偏差成正比，與功率因數(shù)成反比。圖3-6所示為頻率波動(dòng)與相對(duì)誤差的關(guān)系。

類似地，可推出電流與電壓有效值相對(duì)誤差和隨初始相位變化的最大值分別為

可見，頻率偏差越大，最大相對(duì)誤差也就越大。

當(dāng)系統(tǒng)時(shí)鐘晶振的準(zhǔn)確程度不等于電能基頻的整數(shù)倍時(shí)，還可能造成采樣的非整周期截?cái)啵瑥亩餏FT頻譜泄漏誤差。

對(duì)于一個(gè)周期為T₀的信號(hào)，在[0，T]內(nèi)等間距采樣，設(shè)采樣時(shí)間為

式中，f₀為信號(hào)基頻，m為整周期數(shù)。若|n|→∞則為整周期采樣，f（t）的n倍頻分量對(duì)應(yīng)第n×m條譜線（n為正整數(shù)），不存在泄漏誤差；若n為有限值時(shí)則為非整周期采樣，存在泄漏誤差，此時(shí)第m條譜線f_m與f（t）的基頻分量f₀最接近。

給定波形信號(hào)：

式中，f₀=50Hz為電網(wǎng)基頻信號(hào)。

根據(jù)采樣定理，設(shè)置采樣信號(hào)的頻率8倍于基頻，即每秒采樣400個(gè)數(shù)據(jù)。國(guó)標(biāo)波動(dòng)等級(jí)規(guī)定如下：

頻率等級(jí)A級(jí)≤±0.05Hz、B級(jí)≤±0.5Hz、C級(jí)≤±1Hz，分別測(cè)試電網(wǎng)信號(hào)在50.05Hz、50.50Hz和51.00Hz下，分別采樣2個(gè)信號(hào)周期，與50.00Hz標(biāo)準(zhǔn)基頻比較，評(píng)估由于量化誤差引起的測(cè)試誤差。圖3-7所示為某時(shí)間段信號(hào)的時(shí)域波形。

圖3-8～圖3-11所示分別為各頻率信號(hào)的FFT變換結(jié)果。

可見，頻率波動(dòng)產(chǎn)生泄漏誤差，分別討論電網(wǎng)基頻波動(dòng)對(duì)檢測(cè)基頻和檢測(cè)基頻幅值的影響，規(guī)律如圖3-12和圖3-13所示。

可見，在非整周期采樣情況下，泄漏誤差的影響是隨電網(wǎng)頻率波動(dòng)周期性變化的。

3.電能表的誤差補(bǔ)償

當(dāng)電能表由電流互感器、電壓互感器或者A-D采樣引入一個(gè)相位誤差ξ時(shí)，此時(shí)計(jì)算電能值變成

電能表誤差用δ表示，則

式中，?為電壓、電流相位；ξ為附加相位差。

一般情況下，既有相位誤差又有幅值誤差，這時(shí)

相對(duì)誤差：

式中，U′和I′分別表示實(shí)際電壓、電流幅值；U和I分別表示理論點(diǎn)電壓、電流幅值。

此處令，則有

任何一只電子式電能表經(jīng)PT、CT變換，再經(jīng)A-D的前置運(yùn)算放大，A-D采樣所得到的電壓、電流之間都存在一個(gè)相位誤差ξ和一個(gè)UI乘積的幅值誤差r。對(duì)誤差進(jìn)行補(bǔ)償有硬件補(bǔ)償和軟件補(bǔ)償兩種方式，硬件補(bǔ)償方式主要是在電能計(jì)量模塊的輸入端對(duì)被測(cè)電壓取樣的分壓器設(shè)有可以調(diào)整的電阻，用于在出廠前調(diào)整電能表的準(zhǔn)確度和線性。這些電阻在出廠時(shí)一經(jīng)調(diào)好，用戶在校驗(yàn)時(shí)就不用打開內(nèi)部電路進(jìn)行調(diào)整。

軟件補(bǔ)償方式就是找到一個(gè)ξ、r的函數(shù)f（ξ，r），使得按式（3-16）算出的電能值乘以f（ξ，r）近似等于真實(shí)的電能值，即W≈W′·f（ξ，r），流程示意圖如圖3-14所示。

比較軟件補(bǔ)償和硬件補(bǔ)償，可以知道軟件補(bǔ)償有以下幾個(gè)好處：

1）軟件補(bǔ)償法減少了補(bǔ)償電路，對(duì)PT、CT和運(yùn)算放大器一致性要求降低。

2）軟件可以多點(diǎn)補(bǔ)償，能使補(bǔ)償后的誤差曲線趨向平直。

3）由于補(bǔ)償軟件可以用計(jì)算機(jī)自動(dòng)調(diào)整，把煩瑣的調(diào)表工作變成計(jì)算機(jī)控制自動(dòng)進(jìn)行，提高了精度，節(jié)約了校表時(shí)間。

3.1.2 數(shù)字化量傳體系在時(shí)域上的變化對(duì)整個(gè)計(jì)量體系的影響

在數(shù)字化量傳體系中，數(shù)據(jù)會(huì)從連續(xù)的時(shí)間域變換到離散的時(shí)間域。這一過程需要通過采樣、量化、截?cái)嗟确绞剑瑢⒃斎肽M信號(hào)轉(zhuǎn)換為時(shí)間離散、數(shù)值離散的有限長(zhǎng)數(shù)字信號(hào)來(lái)實(shí)現(xiàn)。在實(shí)際的數(shù)字化量傳體系中，由于存在著無(wú)法精準(zhǔn)的整周期采樣、設(shè)備存儲(chǔ)器位數(shù)有限、數(shù)據(jù)需要進(jìn)行截?cái)嗵幚淼仍驎?huì)產(chǎn)生相應(yīng)的誤差。本節(jié)研究了從連續(xù)的時(shí)間域變換到離散的時(shí)間域所產(chǎn)生的誤差，主要從以下三個(gè)方面著手進(jìn)行討論：

1）離散化過程中產(chǎn)生的截?cái)嗾`差的形成機(jī)理以及估計(jì)方法。

2）量化誤差形成機(jī)理分析及估計(jì)。

3）非整周期采樣過程信號(hào)產(chǎn)生的頻譜泄漏與柵欄效應(yīng)的解決方法。

1.截?cái)嗾`差

（1）截?cái)嗾`差的定義 香農(nóng)采樣定理表明，如果一個(gè)信號(hào)f（t）在頻率范圍[-σ，σ]內(nèi)帶限，即F（ω）=0（|ω|≥σ），那么該信號(hào)可以被采樣頻率為2σ的一系列的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)。重構(gòu)所用的內(nèi)插公式為

其中

然而實(shí)際應(yīng)用中只能使用某一時(shí)間段內(nèi)的采樣序列進(jìn)行內(nèi)插重構(gòu)。若使用時(shí)間段t∈[-N/2σ，N/2σ]中的2N+1個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，則此時(shí)的內(nèi)插公式為

則可以定義截?cái)嗾`差為

上式中的截?cái)嗾`差也可以寫成曲線積分的形式：

其中曲線C包含z=t_-N，t_-N+1，…，t_N的所有采樣點(diǎn)。

（2）截?cái)嗾`差的點(diǎn)態(tài)估計(jì) 截?cái)嗾`差的大小與輸入信號(hào)有關(guān)。考慮到電力系統(tǒng)中的電壓、電流信號(hào)近似為正弦信號(hào)，我們假設(shè)輸入信號(hào)為f（t）=Msin（2πft），則截?cái)嗾`差可以表示為

曲線C分為四個(gè)部分，如圖3-15所示。

曲線C上的積分只需考慮C₁以及C₂兩部分的積分和。記f=rσ，則

設(shè)原函數(shù)為50Hz標(biāo)準(zhǔn)正弦波。對(duì)該信號(hào)進(jìn)行每周期16個(gè)點(diǎn)的采樣，即采樣頻率設(shè)為800Hz。利用香農(nóng)采樣重構(gòu)公式選取L=2N+1個(gè)點(diǎn)進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，重構(gòu)公式如下：

當(dāng)L=17時(shí)，即利用17個(gè)點(diǎn)（整采樣一個(gè)周期）進(jìn)行重構(gòu)。故在采樣時(shí)間范圍內(nèi)將恢復(fù)的波形與原波形作差值，即得到截?cái)嗾`差的實(shí)際值。與此同時(shí)，利用式（3-25）中的估計(jì)公式，可以得出截?cái)嗾`差的估計(jì)值。將兩者進(jìn)行比較，結(jié)果如圖3-16所示。同理，當(dāng)L=21時(shí)，將截?cái)嗾`差的估計(jì)值與實(shí)際值進(jìn)行比較，結(jié)果如圖3-17所示。

比較圖3-16與圖3-17可以發(fā)現(xiàn)，截?cái)嗾`差的實(shí)際值在采樣點(diǎn)處的大小為0，而在兩個(gè)采樣點(diǎn)之間的截?cái)嗾`差值則先增大后減小，在兩個(gè)采樣點(diǎn)中間處達(dá)到最大值。在整個(gè)采樣時(shí)間內(nèi)，在采樣邊緣處的誤差大于中間位置的誤差。

隨著L的增加，中點(diǎn)部分?jǐn)?shù)據(jù)的截?cái)嗾`差值的趨勢(shì)是振蕩衰減的。同時(shí)，在整周期采樣條件下（L=17，33，…），中點(diǎn)部分?jǐn)?shù)據(jù)的截?cái)嗾`差值等于其區(qū)間最小值。而在非整周期采樣下的中點(diǎn)部分?jǐn)?shù)據(jù)的截?cái)嗾`差值要大于其區(qū)間最小值，非整周期采樣條件越糟糕，其偏離度越大。截?cái)嗾`差在區(qū)間兩端點(diǎn)處的值是其區(qū)間最大值，且并不隨L的變化而明顯變化，同時(shí)兩端的誤差要明顯高于中點(diǎn)位置的誤差。

（3）截?cái)嗾`差的一致估計(jì) 由于截?cái)嗾`差兩端的誤差要明顯高于中間位置的誤差。所以在實(shí)際應(yīng)用中，實(shí)際都是采用中間位置的值使用，所以現(xiàn)在采用中間段的值進(jìn)行一致估計(jì)。由式（3-24），在中間位置時(shí)N₁=N₂=L/2，此時(shí)式（3-24）變?yōu)?/p>

在式（3-26）中，，這是由于我們所要處理的信號(hào)是不具有衰減性的正弦信號(hào)，所以一致估計(jì)的收斂性相對(duì)于其他信號(hào)來(lái)說，其收斂性比較差。

（4）截?cái)嗾`差的積分估計(jì) 觀察式（3-21）可以發(fā)現(xiàn)，構(gòu)成一組標(biāo)準(zhǔn)的正交基。所以根據(jù)帕斯瓦爾定理，可以得到

令，這樣可以反映截?cái)嗾`差的某種平均性。同樣根據(jù)帕斯瓦爾定理，可以進(jìn)一步寫為

利用帕斯瓦爾定理可得到

2.量化誤差

在數(shù)字化量傳體系中，不論是用硬件還是軟件來(lái)處理數(shù)字信號(hào)，都只能采用有限位數(shù)來(lái)表示信號(hào)、系統(tǒng)參數(shù)、運(yùn)算中間量和運(yùn)算結(jié)果等。這樣就使得實(shí)際值與理想值之間存在誤差，這種由于有限字長(zhǎng)而產(chǎn)生的誤差叫作量化誤差。

（1）二進(jìn)制數(shù)碼表示 模擬量采樣量化為數(shù)字量時(shí)，以二進(jìn)制編碼的形式存儲(chǔ)在寄存器當(dāng)中。常用的表示方法有定點(diǎn)制和浮點(diǎn)制兩種，編碼有原碼、補(bǔ)碼、反碼三種。在對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行截尾或舍入的量化處理時(shí)，儲(chǔ)存數(shù)據(jù)的類型會(huì)對(duì)量化造成影響。

假設(shè)一個(gè)二進(jìn)制數(shù)的字長(zhǎng)為b+1位，最高位為符號(hào)位，它最小可以表示的數(shù)為2^-b，也稱為其量化階，記為q。表3-4給出了b+1位的定點(diǎn)數(shù)的誤差范圍。

浮點(diǎn)數(shù)的量化只在尾數(shù)上進(jìn)行，由于浮點(diǎn)數(shù)還有階碼，通常用相對(duì)誤差衡量產(chǎn)生的量化誤差。表3-5給出了浮點(diǎn)數(shù)的誤差范圍。

由表3-4和表3-5可知，量化誤差的范圍與其量化階q有關(guān)，量化階越小誤差的范圍越小，可以通過增加字長(zhǎng)的方式來(lái)減小量化階，從而減小量化誤差。

下面考慮在整個(gè)系統(tǒng)中的狀況，數(shù)字系統(tǒng)有限字長(zhǎng)效應(yīng)引起的量化誤差主要表現(xiàn)在下面三個(gè)方面：A-D轉(zhuǎn)換中的量化效應(yīng)、系數(shù)的量化效應(yīng)、運(yùn)算的有限字長(zhǎng)效應(yīng)。

（2）A-D轉(zhuǎn)換的量化誤差 在輸入信號(hào)較復(fù)雜的情況下，可以利用統(tǒng)計(jì)模型分析A-D轉(zhuǎn)換器的量化誤差。這個(gè)模型把A-D轉(zhuǎn)換器看作一個(gè)具有加性內(nèi)部噪聲e（n）的線性系統(tǒng)，可以用下式表示：

一般作如下的假設(shè)：e（n）是一個(gè)白噪聲過程，與x（n）無(wú)關(guān)；e（n）是平穩(wěn)隨機(jī)過程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)；誤差均勻分布。

通常輸入足夠復(fù)雜，有限量化位數(shù)不低于8位，量化間隔足夠小時(shí)可以做上述簡(jiǎn)化。由于原碼和反碼的截尾誤差與信號(hào)的極性相反，故不滿足上述條件。圖3-18給出了舍入和補(bǔ)碼截尾量化誤差的概率密度。

在舍入情況下，量化誤差的均值與方差為

補(bǔ)碼的截尾誤差的均值和方差為

信噪比用分貝表示有

由式（3-35）可知，字長(zhǎng)每增加1位，SNR約增加6dB。我們可以粗略地得出一個(gè)結(jié)論，字長(zhǎng)越長(zhǎng)，量化噪聲越小。我們?cè)谳斎胄盘?hào)時(shí)，常對(duì)信號(hào)進(jìn)行縮放，使得信號(hào)在A-D轉(zhuǎn)換的量化范圍內(nèi)。設(shè)縮放因子為A，A＞0。縮放后輸入信號(hào)Ax[n]的方差為，代入式（3-35）有

A＞1可以提高信噪比，但也增加了輸入信號(hào)超過量化范圍的可能。A＜1可以壓縮信號(hào)的幅度，使得信號(hào)不超過量化范圍，但相應(yīng)地也降低了信噪比。

在A-D轉(zhuǎn)換的量化過程中，可以通過增加字長(zhǎng)來(lái)減小量化誤差，但實(shí)際上字長(zhǎng)并不是可以無(wú)限增加的，在智能變電站IEC61850協(xié)議中對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行了16bit的規(guī)約化。相較于截尾誤差的單極性分布，舍入誤差是對(duì)稱分布的，誤差擁有更小的均值，影響較小，因而應(yīng)用較多。在對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行縮放時(shí)，會(huì)改變信噪比，因此可以在不超過量化范圍的基礎(chǔ)上追求更好的信噪比。

（3）系數(shù)的量化誤差 在數(shù)字濾波器中，通過軟件或者硬件實(shí)現(xiàn)的數(shù)字濾波器實(shí)際傳遞函數(shù)與理想值H（z）并不相同。因此系數(shù)的量化誤差直接導(dǎo)致了極點(diǎn)和零點(diǎn)的偏移，這就使得實(shí)際的頻率響應(yīng)和理想頻率響應(yīng)H（e^jω）并不符合，嚴(yán)重時(shí)有可能發(fā)生極點(diǎn)移動(dòng)到單位圓外導(dǎo)致濾波器不穩(wěn)定的情況。

系數(shù)量化效應(yīng)對(duì)數(shù)字濾波器的影響常用極零點(diǎn)相對(duì)原始位置的偏移來(lái)衡量。我們可以通過如下推導(dǎo)，得到極零點(diǎn)的偏移量。

假設(shè)B（z）是一個(gè)具有單根的N次多項(xiàng)式：，其中b_N=1，B（z）的根為。

Δθ_k和Δr_k分別表示由于系數(shù)量化效應(yīng)，第k個(gè)根在模和角度上的變化。

經(jīng)過運(yùn)算可得

其中

靈敏度向量和與ΔB無(wú)關(guān)，只依賴于B（z）。因此只要計(jì)算出這個(gè)向量，對(duì)任一組ΔB，極零點(diǎn)的偏移值都可以用式（3-37）和式（3-38）快速算出。ΔB中的元素是直接型實(shí)現(xiàn)中的乘法器的系數(shù)變化。

系數(shù)的量化誤差可能會(huì)造成零極點(diǎn)的偏移，零極點(diǎn)的偏移量不僅與具體系數(shù)的量化誤差有關(guān)，還與理想的傳遞函數(shù)有關(guān)。在用濾波器實(shí)現(xiàn)具體的傳輸函數(shù)時(shí)，直接型受量化誤差的影響比級(jí)聯(lián)型大。實(shí)際上一般來(lái)說，一個(gè)較高階的傳遞函數(shù)不用單個(gè)直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，通常采用一二階系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)，以降低系數(shù)量化誤差的影響。

（4）運(yùn)算中的量化效應(yīng) 在數(shù)字信號(hào)處理的過程中，可能出現(xiàn)尾數(shù)超過寄存器長(zhǎng)度的情況，這時(shí)就要對(duì)尾數(shù)進(jìn)行處理，會(huì)產(chǎn)生運(yùn)算量化誤差。

由于采樣起點(diǎn)是隨機(jī)的，我們可以把這種運(yùn)算量化誤差同樣當(dāng)作是隨機(jī)的，需要進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。為了簡(jiǎn)化分析，做如下假設(shè)：噪聲源是和信號(hào)源不相關(guān)的、服從均勻分布的白噪聲，且網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)噪聲源之間互不相關(guān)。

下面以的實(shí)際傳遞函數(shù)為例考慮通過直接型、級(jí)聯(lián)型和并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)時(shí)運(yùn)算量化誤差的影響，具體見表3-6。

同一傳遞函數(shù)通過不同方式實(shí)現(xiàn)時(shí)，輸出噪聲也是不同的。對(duì)比本例的幾種情況可知，直接型誤差最大，級(jí)聯(lián)型次之，并聯(lián)型最小。通過統(tǒng)計(jì)模型可以看出，直接型中有兩個(gè)噪聲源通過整個(gè)系統(tǒng)，兩個(gè)反饋回路嵌套在一起使得噪聲積累嚴(yán)重，在越高階的系統(tǒng)中這種積累更加嚴(yán)重；級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)只有一個(gè)噪聲源會(huì)通過整個(gè)系統(tǒng)，積累作用較小；并聯(lián)型實(shí)現(xiàn)中噪聲通過兩個(gè)一階系統(tǒng)分別輸出，沒有噪聲通過整個(gè)系統(tǒng)，噪聲最小。

運(yùn)算過程中乘法的量化誤差不僅與量化的位數(shù)有關(guān)，還與傳遞函數(shù)以及傳遞函數(shù)的實(shí)現(xiàn)形式有關(guān)。在高階系統(tǒng)中為了減小運(yùn)算中的量化誤差，不應(yīng)使用直接型實(shí)現(xiàn)，而應(yīng)該盡量通過并聯(lián)和級(jí)聯(lián)的方式來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

3.非同步采樣誤差

在數(shù)字計(jì)量體系結(jié)構(gòu)中，數(shù)字式電能表都是接收來(lái)自合并單元的采樣值，采樣值的時(shí)鐘信號(hào)都是來(lái)自對(duì)MU接收的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)鐘信號(hào)的倍頻。也就是說，ADC的采樣頻率是固定的，按照相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)被設(shè)定為工頻的固定倍數(shù)。按照IEC61850-9-2規(guī)定，采樣率為4000S/s或者12800S/s（對(duì)應(yīng)一個(gè)基波周期80個(gè)和256個(gè)采樣點(diǎn)）。這樣，在電網(wǎng)頻率發(fā)生波動(dòng)時(shí)，采樣頻率不會(huì)隨著波動(dòng)，就會(huì)使一個(gè)基波周期對(duì)應(yīng)非整數(shù)個(gè)采樣點(diǎn)，即產(chǎn)生非同步采樣問題。由于采樣率固定無(wú)法改變，非同步采樣的誤差只能通過電能表內(nèi)部的算法來(lái)補(bǔ)償。

（1）非同步采樣誤差分析 在數(shù)字式電能表中，對(duì)電能的計(jì)算是一個(gè)累積過程，因而非同步采樣對(duì)其影響不大。而電流/電壓有效值、有功無(wú)功功率是周期信號(hào)的平均值，會(huì)受到非同步采樣的影響。

對(duì)于周期性連續(xù)信號(hào)，平均值為

式中，f（x）是周期為2π的周期信號(hào)；是信號(hào)的平均值。

在對(duì)離散采樣值進(jìn)行計(jì)算時(shí)，是用離散數(shù)值積分代替連續(xù)積分的。同步采樣時(shí)，采樣頻率是被采樣信號(hào)頻率的整數(shù)倍，因此積分時(shí)間也為信號(hào)周期的整數(shù)倍。當(dāng)發(fā)生非同步采樣時(shí)，積分時(shí)間發(fā)生微小改變，不再是信號(hào)周期的整數(shù)倍，此時(shí)實(shí)際計(jì)算公式為

式中，Δ是由于非同步采樣引起的積分時(shí)間偏差。在數(shù)字電能質(zhì)量具體測(cè)量中，設(shè)電網(wǎng)額定頻率為f₀，采樣頻率為N·f₀，計(jì)算時(shí)對(duì)N個(gè)采樣值求平均，則積分周期為1/f₀，對(duì)應(yīng)式（3-40）中的2π。電網(wǎng)頻率波動(dòng)為Δf，則實(shí)際的信號(hào)周期為1/（f₀+Δf），對(duì)應(yīng)式（3-40）中的2π+Δ。則Δ、f₀、Δf有以下關(guān)系

設(shè)電壓為，電流為，則實(shí)際計(jì)算誤差為

計(jì)算可得

由以上推導(dǎo)可知，積分計(jì)算的初始相位x₀會(huì)引起相對(duì)誤差呈余弦函數(shù)變化，變化周期為π。由于x₀取值隨機(jī)，因此可得ε_r隨初始相位變化的最大值，同時(shí)考慮到Δ很小，可得

可見，最大相對(duì)誤差大致與頻率偏差成正比，與功率因數(shù)成反比。

類似地，可推出非同步采樣引起的電流/電壓有效值的相對(duì)誤差為

隨初始相位變化的最大值為

（2）非同步采樣異常處理 為抑制非同步采樣引起的誤差，人們提出了多種算法，其中最常用的是準(zhǔn)同步算法。準(zhǔn)同步算法的基本思路是通過迭代運(yùn)算，逼近周期信號(hào)的平均值。其運(yùn)用的迭代公式為

式中，f（x_i）是原始的采樣值；N是額定頻率下一個(gè)周期對(duì)應(yīng)的采樣值的個(gè)數(shù)；ρ_i是跟數(shù)字積分相關(guān)的權(quán)重系數(shù)；F^k是迭代計(jì)算的結(jié)果。可以證明，在頻率偏差很小的情況下，有

在設(shè)定一個(gè)周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)為80，信號(hào)標(biāo)準(zhǔn)頻率為50Hz，信號(hào)頻率發(fā)生變化的情況下，不使用補(bǔ)償方法和采用準(zhǔn)同步采樣方法產(chǎn)生的最大相對(duì)測(cè)量誤差見表3-7。可見，隨著頻率偏差的增大，計(jì)算誤差也越來(lái)越大，相對(duì)于不采用補(bǔ)償方法，采用準(zhǔn)同步采樣算法可顯著降低誤差。

準(zhǔn)同步算法對(duì)于一般的頻率偏差（±1%）具有相當(dāng)好的補(bǔ)償效果。對(duì)于頻率偏差較大的場(chǎng)合，可以考慮對(duì)準(zhǔn)同步算法進(jìn)行一下優(yōu)化。

對(duì)以上算法進(jìn)行優(yōu)化，可考慮實(shí)現(xiàn)同步算法的參數(shù)隨信號(hào)的情況實(shí)時(shí)變化，以達(dá)到更高的誤差補(bǔ)償效果。

3.1.3 數(shù)字化量傳體系中的算法

1.頻率測(cè)量算法

頻率測(cè)量算法主要分為時(shí)域分析算法和頻域分析算法。

時(shí)域分析算法有過零點(diǎn)檢測(cè)法、函數(shù)逼近法等。過零點(diǎn)檢測(cè)法是通過波形相繼過零點(diǎn)來(lái)計(jì)算信號(hào)的頻率。這種方法計(jì)算過程簡(jiǎn)單明了，運(yùn)算速度快，但是存在的缺點(diǎn)是抗噪、抗干擾能力不強(qiáng)。函數(shù)逼近法的核心在于對(duì)物理系統(tǒng)分析，提取系統(tǒng)的模型，建立方程組，聯(lián)合多個(gè)方程組計(jì)算未知數(shù)，運(yùn)算量較大但精度比較高。

頻域分析算法包含傅里葉變換法（DFT/FFT）、小波變換法、譜估計(jì)法等。傅里葉變換的實(shí)質(zhì)是利用傅里葉變換將信號(hào)從時(shí)域變換到頻域進(jìn)行分析，是目前使用最廣泛的一種算法。小波變換可以同時(shí)定位時(shí)域和頻域，通過小波變換可以確定信號(hào)在任一時(shí)間區(qū)的頻率特征。譜估計(jì)法是對(duì)于一個(gè)有限長(zhǎng)平穩(wěn)序列，估計(jì)其在整個(gè)頻率域內(nèi)的功率分布。

（1）基于函數(shù)逼近的頻率算法 令基波的理想頻率為f₀=50Hz，實(shí)際頻率應(yīng)為：f=f₀+Δf，則輸入信號(hào)可以表示為

式中，U_m為輸入電壓最大值；α₀為輸入電壓初始相位。

由于頻率波動(dòng)一般不大，所以我們用理想角頻率來(lái)近似實(shí)際角頻率，則近似的傅里葉變換為

進(jìn)一步展開，可以分別計(jì)算得正弦項(xiàng)和余弦項(xiàng)：

同理，第二個(gè)周期也可采用近似傅里葉變換：

聯(lián)立上述方程可以得到頻率測(cè)量的基本公式：

由于式（3-55）并不需要計(jì)算相鄰2個(gè)周期的相位以得到準(zhǔn)確的相位差值，故無(wú)須根據(jù)頻率偏差值對(duì)算法進(jìn)行迭代修正，即可求得系統(tǒng)的真實(shí)頻率f，顯然優(yōu)于根據(jù)相角變化值求頻率的方法。

（2）基于DFT校正的頻率測(cè)量算法 在不考慮諧波分量的情況下，以單頻信號(hào)為例：

設(shè)f₁在兩根相鄰FFT譜線之間，設(shè)f₁距第k根譜線的頻率kΔf最近，即

其中，Δf=f_s/N為頻率分辨率，f_s為采樣頻率，N為x（n）的長(zhǎng)度，λ₁為信號(hào)基波頻率校正量。取時(shí)間窗T_w=mT_e，其中m為正整數(shù)；T_e為工頻周期（0.02s），此時(shí)DFT分析的頻率分辨率Δf=1/mT_e=f_e/m。若在T_w內(nèi)采樣點(diǎn)數(shù)為N，則采樣周期T_s=mT_e/N。以這一采樣周期對(duì)信號(hào)采樣N+1點(diǎn)，取前N點(diǎn)構(gòu)成時(shí)域序列x₁（n），取后N點(diǎn)構(gòu)成時(shí)域序列x₂（n）。序列x₂（n）比x₁（n）滯后1點(diǎn)，即在時(shí)域上滯后Δt=lT_s。若用DFT對(duì)序列x₁（n）和x₂（n）做譜分析，得到離散譜分別為X₁（k）和X₂（k），那么，序列x₂（n）對(duì)應(yīng)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)的初相角?₂與序列x₁（n）對(duì)應(yīng)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)的初相角?₁分別與X₂（k）和X₁（k）有以下關(guān)系：

則相位差為

進(jìn)而可以得到校正量

其中，，f₁=（k+λ₁）Δf。即可求得電氣基波信號(hào)的頻率f₁。

算法的性能與時(shí)間窗T_w的長(zhǎng)度密切相關(guān)。時(shí)間窗短，反應(yīng)速度快，計(jì)算量小，但頻率分辨率Δf大，不同頻率間信號(hào)干擾大，計(jì)算精度相對(duì)較低；時(shí)間窗長(zhǎng)，雖然精度比較高，但也導(dǎo)致了計(jì)算實(shí)時(shí)性較差。T_w應(yīng)根據(jù)工程實(shí)際適當(dāng)選擇，并配合與之相適應(yīng)的窗函數(shù)。

用MATLAB對(duì)以上算法進(jìn)行驗(yàn)證，令

設(shè)T_w=T，即時(shí)間窗為一個(gè)工頻周期，由采樣定理，令采樣頻率f_s為500Hz，當(dāng)信號(hào)頻率ω從49～51變化時(shí)，測(cè)得的頻率誤差曲線如圖3-19所示，可以看出，所測(cè)真實(shí)頻率值存在一定誤差，在頻率為50Hz時(shí)誤差為0，而其他頻率點(diǎn)由于采樣不同步造成了頻譜泄漏，隨著頻率與工頻的偏差增加，該誤差越大。

加窗是改善DFT分析的一種重要手段，選擇合適的窗能夠有效抑制頻譜泄漏，提高精度。使用Hanning（漢寧）窗以及Blackman窗進(jìn)行加窗之后，頻率測(cè)量誤差如圖3-20所示。

由圖3-20可知，加Hanning窗之后誤差減小到了0.03%以下，Blackman窗進(jìn)一步提升測(cè)量精度，達(dá)到了10^-6數(shù)量級(jí)，與圖3-19相比，說明加窗函數(shù)有效抑制了旁瓣干擾，有效降低了測(cè)量誤差。

2.諧波測(cè)量算法

電力諧波的檢測(cè)是分離畸變電壓、電流信號(hào)中不同頻率成分的過程。隨著電子技術(shù)和數(shù)字信號(hào)處理技術(shù)的發(fā)展，產(chǎn)生了頻域、時(shí)域、時(shí)頻分析等多種諧波檢測(cè)方法，根據(jù)測(cè)量原理的不同，主要有以下幾類：①基于模擬濾波器的諧波檢測(cè)方法；②基于瞬時(shí)無(wú)功功率理論的諧波檢測(cè)方法；③基于小波變換的諧波檢測(cè)方法；④基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的諧波檢測(cè)方法；⑤基于支持向量機(jī)的諧波檢測(cè)方法；⑥基于現(xiàn)代譜估計(jì)的諧波檢測(cè)方法；⑦基于傅里葉變換的諧波檢測(cè)方法。

上述方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，電力諧波檢測(cè)的影響因素復(fù)雜，而小波變換、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)、現(xiàn)代譜分析等方法目前無(wú)法在嵌入式系統(tǒng)中大規(guī)模實(shí)現(xiàn)，均不能滿足實(shí)時(shí)電力諧波檢測(cè)的要求。因此，基于傅里葉變換的諧波分析方法仍然是電力諧波實(shí)時(shí)、準(zhǔn)確檢測(cè)的有效實(shí)現(xiàn)途徑。

然而基于傅里葉變換的諧波測(cè)量方法在非整周采樣時(shí)，受頻譜泄漏和柵欄效應(yīng)的影響，將引入非整周期采樣誤差。此時(shí)輸入信號(hào)所有頻率分量均不落在FFT計(jì)算點(diǎn)上，且各頻率分量測(cè)量結(jié)果為被測(cè)頻率分量與其他頻率分量旁瓣之和。若不計(jì)諧波的影響，輸入信號(hào)為單頻正弦信號(hào)時(shí)，設(shè)輸入信號(hào)的數(shù)字角頻率為ω₀，使用數(shù)字角頻率為ω的FFT計(jì)算點(diǎn)X（K）近似計(jì)算原信號(hào)幅值，則相對(duì)誤差E為

在上式模值中第一項(xiàng)來(lái)自于輸入信號(hào)正頻率分量，其引入的誤差來(lái)自柵欄效應(yīng)；第二項(xiàng)來(lái)自輸入信號(hào)負(fù)頻率分量旁瓣。當(dāng)整周期采樣時(shí)第一項(xiàng)為1，第二項(xiàng)為0，E為0，沒有誤差。當(dāng)ω偏離ω₀較小時(shí)，誤差受旁瓣影響比較明顯；當(dāng)ω偏離ω₀較大時(shí)，誤差主要由柵欄效應(yīng)引起。

電力系統(tǒng)中的非整周期采樣主要是由電網(wǎng)頻率在50Hz左右微弱波動(dòng)引起的。通常計(jì)量?jī)x器中的FFT算法默認(rèn)電網(wǎng)信號(hào)基頻為工頻并以此設(shè)置相關(guān)參數(shù)。當(dāng)電網(wǎng)頻率偏移工頻時(shí)，使用常規(guī)FFT算法將出現(xiàn)非整周期采樣誤差。設(shè)電壓信號(hào)為正弦信號(hào)，且初相位為0。設(shè)采樣點(diǎn)數(shù)為32點(diǎn)，采樣頻率為1600Hz，則當(dāng)頻率在49Hz到51Hz偏移時(shí)，其相對(duì)誤差如圖3-21所示。圖3-21中，圖a為柵欄效應(yīng)引入的相對(duì)誤差；圖b為歸一化后的旁瓣幅值；圖c中的曲線為根據(jù)式（3-63）計(jì)算所得的理論誤差曲線，所描的點(diǎn)為在不同頻率時(shí)使用FFT算法計(jì)算的實(shí)際誤差。通過圖3-21可以看出：

a）使用FFT算法的實(shí)際誤差與理論誤差曲線重合，由此可證明式（3-63）的正確性。

b）由于電網(wǎng)頻率偏移較少，最終的誤差主要由頻譜泄漏造成的旁瓣譜間干擾引入。

c）由于電網(wǎng)頻率偏移較少，故非整周期采樣誤差對(duì)于基波測(cè)量的影響較小。但當(dāng)存在諧波信號(hào)時(shí)，因?yàn)橹C波信號(hào)本身幅值相對(duì)基波較小，故受基波旁瓣影響較大；且當(dāng)電網(wǎng)頻率偏移fHz時(shí)，K次諧波頻率偏移KfHz，故受柵欄效應(yīng)影響較大。因此高次諧波的測(cè)量受非整周期采樣誤差的影響較大。

加窗插值算法是常用的非整周期采樣誤差消除方法。該算法通過加窗來(lái)抑制由旁瓣造成的譜間干擾；通過插值算法來(lái)計(jì)算被測(cè)信號(hào)在FFT計(jì)算點(diǎn)X（K）、X（K+1）之間的頻率分量，從而解決柵欄效應(yīng)。余弦窗是常用的窗函數(shù)，其表達(dá)式如下式所示：

其中，k為項(xiàng)數(shù)，當(dāng)k=1時(shí)，即為矩形窗；當(dāng)k=2，a_i=0.5時(shí)，為Han-ning窗；當(dāng)k=3，a₀=0.42，a₁=0.5，a₂=0.08時(shí)，為Blackman窗。通常余弦窗項(xiàng)數(shù)越多旁瓣抑制能力越強(qiáng)，主瓣越寬。

假設(shè)輸入信號(hào)的某個(gè)頻率分量的頻譜在FFT計(jì)算點(diǎn)X（L）、X（L+1）之間。設(shè)f=（L+r）F，其中F是FFT算法頻率間隔，L為正整數(shù)，0≤r＜1。通過計(jì)算窗函數(shù)的頻率響應(yīng)表達(dá)式可以得到如下方程：

其中，|X（L）|、|X（L+1）|可以通過DFT計(jì)算得到，f₁（r）、f₂（r）為關(guān)于r的函數(shù)。故可以先解出r，再將r代入式（3-65）解出|A|，從而得到該頻率分量的頻率與幅值。為了增強(qiáng)窗函數(shù)的旁瓣抑制能力從而提高計(jì)算精度，人們有時(shí)運(yùn)用高項(xiàng)數(shù)的余弦窗。此時(shí)式（3-66）是高階方程，難以獲得解析解。故文獻(xiàn)中多通過多項(xiàng)式擬合的方法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

通常插值算法所用余弦窗項(xiàng)數(shù)越多則精度越高。然而項(xiàng)數(shù)增加的同時(shí)，采樣周期數(shù)也將增加，致使計(jì)算量增大，并影響實(shí)時(shí)性。此外對(duì)于整個(gè)計(jì)量系統(tǒng)，算法的精度應(yīng)與電子式互感器等其他環(huán)節(jié)的精度相匹配，無(wú)限提高算法精度并沒有太大的實(shí)際工程意義。

現(xiàn)使用MATLAB對(duì)比不同加窗插值算法的精度。設(shè)輸入信號(hào)頻率為50.5Hz，其各次諧波幅值、相位見表3-8。采樣頻率為1600Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為256點(diǎn)，使用普通FFT算法及各種插值算法計(jì)算輸入信號(hào)幅值、相位。計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差見表3-9和表3-10，可見加窗插值算法可以有效抑制非整周采樣誤差，且窗項(xiàng)數(shù)越高，抑制效果越好。基于五項(xiàng)余弦窗的插值算法有較高精度，其計(jì)算相對(duì)誤差在10^-8左右。

幅值及相位相對(duì)誤差圖如圖3-22所示。

3.有功功率測(cè)量算法

有功功率（功率）P是衡量用戶、企業(yè)對(duì)于電能量消耗的一個(gè)重要指標(biāo)。有功功率是保持用電設(shè)備正常運(yùn)行所需要的電功率，即將電能轉(zhuǎn)換為其他形式能量的電功率。有功功率的測(cè)量可以從時(shí)域角度來(lái)計(jì)算，也可以從頻域角度來(lái)計(jì)算：

多數(shù)諧波電能表均是采用Budeanu功率定義，其測(cè)量算法一般分為三類：

第一類是基于頻域分析。先計(jì)算電壓和電流中基波及各次倍頻諧波的幅值和相位，然后計(jì)算出各頻率分量單獨(dú)產(chǎn)生的有功功率、無(wú)功功率，最后利用疊加定理得到負(fù)載總的有功功率、無(wú)功功率。

第二類是基于時(shí)域積分算法。有功功率通過對(duì)電壓與電流的瞬時(shí)值乘積序列在整周期內(nèi)求積分獲得。

對(duì)于某復(fù)合電壓信號(hào)：

其經(jīng)過用戶負(fù)載后的響應(yīng)電流I_x（t）以間隔的采樣頻率離散采樣所得數(shù)據(jù)為：u_x（t）i_x（t），由有功功率定義有：

根據(jù)式（3-69）可以看出，從任意的某一時(shí)刻開始，對(duì)于采樣到的一個(gè)基波周期T內(nèi)的N個(gè)離散點(diǎn)值數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算可以得到有功功率。但如果由于基頻變化導(dǎo)致離散采樣不能夠準(zhǔn)確捕捉到完整周期的信號(hào)（即一周期內(nèi)采樣的首尾點(diǎn)能重合）時(shí)，這種非整數(shù)周期采樣將導(dǎo)致有功功率計(jì)量誤差。

第三類是利用小波變換的時(shí)域-頻域分析技術(shù)測(cè)量功率。由于小波變換可以作為時(shí)域-頻域分析的一種技術(shù)，通過小波變換后的信號(hào)具有時(shí)域和頻域信息，且對(duì)時(shí)域分析具有高效、準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)，所以小波變換被用于電網(wǎng)有功功率和無(wú)功功率的測(cè)量。

4.無(wú)功功率測(cè)量算法

（1）Budeanu無(wú)功功率的定義 無(wú)功功率的定義方法很多，一般采用的是Budeanu的定義法。Budeanu無(wú)功功率定義被IEEE 1459-2000標(biāo)準(zhǔn)采用，其無(wú)功功率定義為

式中，u（t-T/4）表示u（t）各次諧波電壓分別平移1/4周期后的電壓；U_k、I_k為第k次諧波電壓、電流；?_k為第k次諧波電壓、電流的相位差。

（2）常見的幾種離散化無(wú)功功率測(cè)量算法

1）移相算法。根據(jù)移相法的實(shí)現(xiàn)方法不同，可以分為電子移相法（模擬移相法）和數(shù)字移相法，常用的是數(shù)字移相法。

①電子移相法。電子移相法有-90°和±45°兩種移相法，所謂的-90°移相法是將輸入電壓通過移相器后再與輸入電流同時(shí)進(jìn)行采樣，然后進(jìn)行數(shù)字乘法得到：

式中，為移相后的采樣值，該方法在理想移相器下具有與有功功率和視在功率相同的精度，要提高測(cè)量精度，關(guān)鍵在于提高移相器的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。

為避免移相器的不穩(wěn)定性帶來(lái)的誤差，采用±45°移相法，其本質(zhì)是使輸入電壓進(jìn)行-45°移相，輸入電流進(jìn)行+45°移相后，再對(duì)電壓、電流采樣，無(wú)功功率為

式中，為輸入電壓經(jīng)過-45°移相后的等間隔采樣值；為輸入電流經(jīng)過+45°移相后的等間隔采樣值。

②數(shù)字移相法。是將電流的第k次采樣值與滯后90°電壓的采樣值相乘：

該方法要求一個(gè)周期內(nèi)的采樣點(diǎn)N的取值必須是4的整數(shù)倍，對(duì)硬件的要求高，當(dāng)電路中諧波成分較大時(shí)，對(duì)測(cè)量結(jié)果的精度難以保證。

2）均方根算法。該算法考慮了諧波分量，延續(xù)了功率三角法計(jì)算無(wú)功功率的概念，電壓有效值、電流有效值、有功功率、無(wú)功功率、視在功率的計(jì)算公式分別如下：

對(duì)于均方根算法，似乎只要知道了U、I以及功率因子，就會(huì)較容易地求出無(wú)功功率，然而在實(shí)際的應(yīng)用中卻不是這樣。由于在測(cè)量中要想準(zhǔn)確地獲得這些參數(shù)較難，主要是因?yàn)殡妷汉碗娏鞔嬖谥C波成分，而且測(cè)量電路本身也是用數(shù)字逼近法，會(huì)給測(cè)量結(jié)果造成較大的誤差。

①傅里葉算法。先對(duì)電壓、電流信號(hào)分別進(jìn)行FFT計(jì)算，計(jì)算得到各次諧波電壓、諧波電流的幅值、相角，再使用Budeanu定義計(jì)算無(wú)功功率：

②Hilbert算法。離散時(shí)間信號(hào)的Hilbert變換定義為

由上可知，對(duì)采集的離散電壓信號(hào)u（n），若采用離散Hilbert變換，可得u′（n），即為電壓移相-90°后的序列，所以無(wú)功功率為

輸入信號(hào)的離散Hilbert變換可通過Hilbert數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)。基于IIR型Hilbert數(shù)字濾波器的無(wú)功功率測(cè)量系統(tǒng)和基于FIR型Hilbert數(shù)字濾波器的無(wú)功功率測(cè)量系統(tǒng)分別如圖3-23、圖3-24所示。

基于IIR型Hilbert數(shù)字濾波器的無(wú)功功率測(cè)量系統(tǒng)首先將電壓、電流信號(hào)按相同的采樣率進(jìn)行A-D轉(zhuǎn)換，得到離散的數(shù)字電壓信號(hào)u（n）和數(shù)字電流信號(hào)i（n）；再將這一對(duì)數(shù)字信號(hào)分別經(jīng)過數(shù)字濾波器F₁和F₂進(jìn)行移相處理，得到所關(guān)心的頻率范圍內(nèi)電壓、電流的基波以及各次諧波分量之間相位移相差均為90°的復(fù)合數(shù)字信號(hào)u′（n）和i′（n）；然后將這兩個(gè)信號(hào)相乘，得到瞬時(shí)無(wú)功功率q（n）；最后對(duì)q（n）進(jìn)行低通濾波，就得到所求取得的總無(wú)功功率Q。

IIR型濾波器的設(shè)計(jì)可根據(jù)半波帶濾波器設(shè)計(jì)。F₁、F₂模塊是因果的、穩(wěn)定的，其復(fù)頻域脈沖傳遞函數(shù)分別為

設(shè)N=18，所關(guān)心的頻率范圍為40～960Hz，F_s=2000Hz，在相移誤差不大于0.0006rad的條件下，則F₁、F₂的脈沖傳遞函數(shù)分別為

F₁與F₂的幅頻特性和相頻特性如圖3-25所示。

由圖3-25可以看出，在所關(guān)心的頻率范圍內(nèi)，整個(gè)移相系統(tǒng)滿足

即通帶增益特性接近于1；相頻特性近似為90°。所以在關(guān)心的頻率范圍內(nèi)，設(shè)計(jì)的IIR型數(shù)字濾波器具有需要的濾波性。

基于FIR型Hilbert數(shù)字濾波器的無(wú)功功率測(cè)量系統(tǒng)先將電壓、電流信號(hào)按相同的采樣率進(jìn)行A-D轉(zhuǎn)換，得到離散的數(shù)字電壓信號(hào)u（n）和數(shù)字電流信號(hào)i（n）；再將u（n）通過Hilbert數(shù)字濾波器進(jìn)行移相處理，得到在所關(guān)心的頻率范圍內(nèi)的電壓的基波及各次諧波分量之間相位移相差均為-90°的復(fù)合數(shù)字信號(hào)u′（n），然后將u′（n）和i（n）相乘，得到瞬時(shí)無(wú)功功率q（n）。其中FIR濾波器F₁可通過等波紋切比雪夫法設(shè)計(jì)，其幅頻特性和相頻特性如圖3-26所示。

由等紋切比雪夫法采用最大誤差最小化的準(zhǔn)則來(lái)逼近理想的Hilbert數(shù)字濾波器，在設(shè)計(jì)指標(biāo)相同時(shí)，使濾波器階數(shù)最低；階數(shù)相同時(shí)，使通帶最平坦，阻帶最小衰減最大，通帶和阻帶均為等紋切形式，既能獲得嚴(yán)格線性相位，又有很好的衰減特性。

（3）不同算法的仿真分析及誤差比較 對(duì)上述提出的幾種無(wú)功功率測(cè)量算法進(jìn)行仿真，分別在標(biāo)準(zhǔn)正弦和非正弦信號(hào)兩種模型上引進(jìn)數(shù)據(jù)測(cè)試。

1）標(biāo)準(zhǔn)正弦信號(hào)模型。選取正弦波電壓有效值U_k=1.0V，電流有效值I_k=1.0A，電壓、電流相位差?_k=70°，見表3-11。

正弦信號(hào)模型仿真運(yùn)行結(jié)果見表3-12。

如圖3-27所示，由仿真結(jié)果可以看出，對(duì)于正弦信號(hào)下無(wú)功功率的測(cè)量，傅里葉分析測(cè)量算法的誤差最大，均方根算法與數(shù)字移相測(cè)量算法誤差次之。

2）非正弦信號(hào)模型。選取非正弦信號(hào)電壓、電流諧波模型為基波、19次及以下諧波的電壓、電流有效值及各次諧波電壓、電流相位角見表3-13。

非正弦信號(hào)模型仿真運(yùn)行結(jié)果見表3-14。

如圖3-28所示，由仿真結(jié)果可以看出，對(duì)于非正弦信號(hào)下無(wú)功功率的測(cè)量，傅里葉分析測(cè)量算法、均方根算法和數(shù)字移相測(cè)量算法誤差都很大。相對(duì)而言，Hilbert變換測(cè)量算法誤差較小，精度較高。

目前所使用的大多數(shù)儀器、儀表是針對(duì)工頻正弦波所設(shè)計(jì)的，但由于電力系統(tǒng)在其所運(yùn)行的環(huán)境中的電流、電壓并不都是單純的工頻正弦波，大量的諧波存在對(duì)電力系統(tǒng)造成很大的影響。

通過仿真比較以上五種無(wú)功功率算法可知，基于Hilbert數(shù)字移相濾波的無(wú)功功率測(cè)量方法具有比較高的測(cè)量準(zhǔn)確度。該方法不僅能測(cè)量正弦電路中的無(wú)功功率，而且在給定的非正弦電路無(wú)功功率定義，即總無(wú)功功率等于基波和各次諧波無(wú)功功率之和的定義下，也適用于測(cè)量含有諧波的非正弦電路中的無(wú)功功率。由于該方法是在對(duì)電壓、電流信號(hào)采樣后，通過直接進(jìn)行移相濾波和簡(jiǎn)單的數(shù)值計(jì)算測(cè)量無(wú)功功率，避免了現(xiàn)有方法中通過測(cè)量電壓、電流有效值和有功功率計(jì)算無(wú)功功率所帶來(lái)的誤差。其優(yōu)越的頻率響應(yīng)特性，即使對(duì)于相當(dāng)高次的諧波無(wú)功功率的測(cè)量，也可以獲得很高的測(cè)量準(zhǔn)確度，適合在高精度無(wú)功功率測(cè)量?jī)x表的設(shè)計(jì)中使用。