第3章 數字式電能表關鍵技術

3.1 數字式電能表的關鍵要素分析

3.1.1 數字化量傳體系中各影響量對整個計量體系準確性的影響

數字化計量系統基于IEC61850標準，從結構上可以分為電子式電流/電壓互感器、合并單元、數字式電能表三個部分，規定各層之間和層內部采用高速通信。其系統結構如圖3-1所示。

電流/電壓互感器負責采集電力系統的一次電壓和電流信息，并將其傳送到過程層網絡，以供計量、保護和測控設備使用；合并單元用于匯集一次側的1、2路互感器采樣信號，將采樣值按照IEC61850-9協議打包，為二次側保護設備提供同步數據；數字式電能表用于測量電壓、電流、頻率、功率、功率因數等電參量。

數字計量方式作為新型電能計量方式，是智能電網和智能變電站的發展需求。相比于傳統計量方式，數字化計量系統基于IEC61850標準，在近高壓側實現了二次電流/電壓的數字化再傳送，原理和結構上的變化必然會引入新的誤差因素。

數字化計量準確性的影響量主要包括數字通信誤差、傳輸誤碼率、系統時鐘誤差、有限字長效應及高次諧波的失真等，本節主要介紹數字通信誤差和系統時鐘誤差。

1.數字通信誤差

在電子式互感器的系統中，電子式互感器完成了二次電流、電壓的數字化，并通過IEC60044-8協議傳送給合并單元，合并單元把三相的電流和電壓值合并在一起，打包成一個IEC61850-9-1/2報文，然后傳送給數字式電能表。在傳統互感器的系統中，傳統互感器輸出的模擬二次電流、電壓傳送給合并單元，合并單元完成電流、電壓的數字化和報文打包，最終也通過IEC61850-9-1/2協議傳送給數字式電能表?？梢?，不管采用哪種形式的數字電能計量系統，合并單元和數字式電能表之間都通過IEC61580-9-1/2協議傳送采樣值。

在數字電能質量計量中，二次電流/電壓值在前端完成采樣并通過專門的通信協議傳輸至電能表，這是數字電能質量計量的主要特征之一。當采樣值傳輸過程發生異常時，將對電能質量計量結果產生影響。IEC61850-9-1/2定義了兩種特殊通信服務映射（SCSM），將ACSI采樣值傳輸模型映射到具體的通信網絡及協議。就網絡傳輸而言，IEC61850-9-1和IEC61850-9-2的數據幀傳輸方式基本相同，為保證數據傳輸的實時、快速的性能要求，省略一般網絡通信所采用的TCP/IP協議棧，直接由應用層（表示層）映射到數據鏈路層。IEC61850-9-1和IEC61850-9-2的通信棧對比如圖3-2所示。

TCP/IP協議是保證大量數據可靠傳輸的首選協議。IEC61850-9-1/2的通信協議棧省略了TCP/IP層，避免了TCP/IP協議造成的延時，節省了硬件資源且不需要對網絡底層設備的網絡驅動進行較大開發，有利于降低成本和程序復雜度，但是保證不了數據幀傳輸的可靠性。IEC61850-9-1/2的通信協議棧沒有捕捉通信異常的機制，檢測不到數據幀的亂序、少傳、多傳、重傳、丟失，更沒法進行流量控制。如果采樣值采取組網的模式傳輸，特別是在與GOOSE報文組網的情況下，IEC61850-9-1/2報文更有可能丟失。

在采樣值傳輸協議中，為了保證采樣值傳輸的實時性，減少時延，協議棧中省略了會話層、傳輸層和網絡層，這就使得以往TCP/IP中的重傳機制不再有效。而IEC61850中也沒有另外定義采樣值傳輸的重傳機制。所以在采樣值報文發生丟失或者校驗失敗時，合并單元就不會重新發送該采樣值，一組采樣值就會丟失。

另外，在通信網絡中還可能出現報文抖動、報文阻塞、網絡風暴等異常情況。當這些異常情況超出了電能表網絡適配器的處理能力時，也會產生采樣值數據幀的丟失。

如果采樣值采用點對點的方式從合并單元傳輸到數字式電能表，正常情況下采樣值丟失的可能性很小。但是在組網的情況下，多組采樣值報文以及和GOOSE、MMS共用一個網絡時，某些情況下可能造成采樣值報文丟失。

數字式電能表可以通過檢查IEC61850-9-2報文中采樣值計數器smpCnt值是否連續來判斷采樣值報文是否丟失。

另外，通信網絡異常還可能導致報文序列異常。報文序列異常情況包括超時、丟幀、錯序、重復等。采樣值報文如果超過發送的時間間隔，則采樣值報文發送異常，此時需要將超過發送時間間隔的采樣值報文進行記錄。采樣值報文丟幀時，釆樣值報文的幀序號不連續，通過檢查采樣值報文的幀序號可以進行采樣值報文的丟幀檢查。采樣值報文錯序是指裝置接收的采樣值報文不是依順序依次到達，某些釆樣值報文先到，此時也是通過檢查采樣值報文的序號進行釆樣值報文錯序檢査。

數字電能計量采用了基于IEC61850協議的通信技術，其中的IEC61850-9-1/2的通信協議棧省略了OSI模型中的會話層、傳輸層和網絡層。這樣導致在組網運行的條件下可能造成采樣值報文的丟幀問題。本部分對幾種常見的丟幀處理算法進行了仿真分析，包括對丟失點填零、用上一個點代替丟失點和對丟失點進行插值三種方法。仿真結果表明，前兩種方法引入的誤差較大，最后一種方法引入的誤差較小。在采用較復雜算法時，誤差可以忽略不計。其中，從性能和復雜度綜合考慮，拉格朗日三次內插算法是推薦算法。

在采樣值丟幀發生時，電能表會采用各種方法進行處理。由于得不到原始真值，各種處理方法都會帶來計量值的誤差。由于無功功率的計算方法很多，而且無功功率的準確度等級要求一般較低，這里只分析對電流、電壓有效值以及有功功率的影響。為了便于分析，假設電流、電壓有效值以及有功功率都采用以下的公式計算，平均的時間長度為一個周期，每個周期采樣點數為80。同時，將研究一個周期內丟一個點以及連續丟多個點的情況。

式中，I、U、P為電流有效值、電壓有效值和有功功率；i（k）、u（k）為電流、電壓的采樣值；N為一個周期的采樣點數，這里取80。

（1）對丟失點填零 一種最簡單的丟幀處理辦法就是對丟失的點用零代替。該方法的好處是不增加任何的計算處理開銷，壞處是必然帶來計量值的誤差。仿真結果表明，它帶來的計量誤差的大小與丟失點對應的電流、電壓相位有關，同時與功率因數（Power Factor，PF）有關。由圖3-3可以看出誤差大小與丟失點對應相位以及功率因數的關系。表3-1列出了這種處理方法的誤差的仿真計算結果的一些典型值?？梢钥闯觯瑢G失點直接填零的方法帶來的誤差很大。

（2）用上一個點代替丟失點 另一種丟幀處理的簡單方法是用上一個有效的采樣值來替代丟失的采樣值。該方法的好處也是不增加任何計算處理開銷。由于上一個有效的采樣值與真實值總會存在差異，所以它也會引入計量誤差。表3-2列出了這種處理方法的誤差的仿真計算結果的一些典型值?？梢姡@種方法帶來的誤差相比對丟失點填零的方法有很大改善，但誤差值仍然較大。

（3）對丟失點進行插值 相對復雜的采樣值丟幀處理方法是對丟失點進行插值，用數值分析的方法恢復出丟失點。這里討論兩種常用的插值方法：拉格朗日插值和三次樣條插值。

拉格朗日插值法是以法國18世紀數學家約瑟夫·拉格朗日命名的一種多項式插值方法。其理論定義如下：

對于給定的n+1個點（x₀，y₀），（x₁，y₁），…，（x_n，y_n），對應于它們的次數不超過n的拉格朗日多項式L只有一個。如果計入次數更高的多項式，則有無窮個，因為所有與L相差λ（x-x₀）（x-x₁）…（x-x_n）的多項式都滿足條件。

對某個多項式函數，已知有給定的k+1個取值點：（x₀，y₀），（x₁，y₁），…，（x_n，y_n），其中，x_j對應著自變量的位置，而y_j對應著函數在這個位置的取值。

假設任意兩個不同的x_j都互不相同，那么應用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多項式為

其中每個l_j（x）為拉格朗日基本多項式（或稱插值基函數），其表達式為

拉格朗日基本多項式l_j（x）的特點是在x_j上取值為1，在其他的點x_i（i≠j）上取值為0。

拉格朗日插值是構造一個插值多項式，保證已知的點都在滿足此多項式，然后用該多項式去計算未知的點。根據插值多項式的次數，拉格朗日插值又分為一次（又稱為線性插值）、二次、三次拉格朗日插值等。拉格朗日插值又可以分為內插和前插。內插是指用丟失點的前后點去計算插值多項式，前插是指用丟失點之前的點去計算插值多項式系數。在使用拉格朗日內插算法的時候，要求對采樣值整體進行延時，在出現丟幀后等到下一個有效采樣點到達后再進行插值運算。

三次樣條插值在每兩個節點之間構造一個三次多項式，整個區間上的函數是二階可導的。三次樣條插值只能進行內插。一般認為，拉格朗日插值的階次越高，插值光滑性越好，計算也越復雜。三次樣條插值有很好的光滑性，但計算開銷也最大。

圖3-4是幾種插值算法的結果對比圖（拉格朗日插值均為內插）。圖中以理想正弦波作為被采樣信號，假設第22個采樣點丟失，用各種插值算法恢復出丟失的采樣點?？梢姡死窭嗜找淮尾逯蹬c理想采樣點有明顯差別以外，其他算法的插值點與理想采樣點非常接近。

表3-3列出了在各種插值算法下計量值的誤差情況?？梢钥闯?，拉格朗日插值算法的內插比前插誤差小。在使用拉格朗日插值三次內插和三次樣條插值時，誤差能降低到一個很低的可以忽略的水平。如果不考慮連續4個點丟失的情況，拉格朗日一次內插也能達到很低的誤差水平。

上述三種常見的采樣值丟幀處理方法中，對丟失點填零和用上一個點代替丟失點的方法最為簡單，但帶來的誤差也較大，已經超出了一般安裝式電能表0.02S的準確度等級（允許誤差0.2%）。對丟失點進行插值的處理方法計算量較大，但帶來的誤差很小。在采用較復雜的計算方法時，帶來的誤差可以降低到可以忽略的水平。拉格朗日三次內插法較三次樣條插值計算量小，而且可以將誤差降低到很小，是一個相對合理的選擇。經過調研知，已經有廠家采用了拉格朗日四次插值算法來處理采樣值丟幀。所以，目前的硬件能力是能支持拉格朗日四次插值算法的。

值得一提的是，上述仿真的結果都是基于一個周期內計算結果來計算誤差，在實際的電能表試驗中可以取多個周期來計算，這樣誤差可以進一步減小。同時，電能表檢測是使用電能脈沖來檢測電能誤差的。電能脈沖是一段時間電能累計的結果，所以即使個別采樣值丟幀帶來了誤差，但這個誤差也會被平均化掉，能檢測到的誤差會很小。但上報的瞬時功率值和電流、電壓有效值能體現出不同處理方法的差異。

2.系統時鐘誤差

電能計量的關鍵參數之一是時間。在智能變電站系統中，數字互感器、合并單元、數字式電能表中時間需要保持一致。電能表的內置晶振和電能計量系統中的對時系統都是影響系統時鐘準確性的重要因素。

晶振是一種利用壓電效應制成的諧振器件。在極窄的范圍內，晶振可以等效為電感，同外部的電容一起組成并聯或串聯諧振回路，作為計時回路的基準。理想情況下，系統基準時間與標準時間的關系是一條斜率為1的直線。在精度范圍內可能有微小的均勻分布隨機誤差，若由于晶振老化、損壞等問題，使系統標準時間曲線產生偏離，則將對系統同步精度和穩定性產生較大影響，產生誤差源。

設電網額定頻率為f₀，系統時鐘偏差頻率波動為Δf₀。周期信號f（x）的平均值由下式計算：

在同步采樣情況下，積分計算的時間是信號周期的整數倍，計算結果沒有誤差。而非同步采樣情況下，積分計算的時間不是信號周期的整數倍，則

Δ為積分時間偏差，。

設電壓為，電流為，則由非同步采樣引起的有功功率相對誤差為

可見，相對誤差會隨初始相位x₀做周期為π的余弦變化，如圖3-5所示。

由于Δ很小，經推導，得ε_r隨初始相位變化的最大值為

可見，最大相對誤差與頻率偏差成正比，與功率因數成反比。圖3-6所示為頻率波動與相對誤差的關系。

類似地，可推出電流與電壓有效值相對誤差和隨初始相位變化的最大值分別為

可見，頻率偏差越大，最大相對誤差也就越大。

當系統時鐘晶振的準確程度不等于電能基頻的整數倍時，還可能造成采樣的非整周期截斷，從而引起FFT頻譜泄漏誤差。

對于一個周期為T₀的信號，在[0，T]內等間距采樣，設采樣時間為

式中，f₀為信號基頻，m為整周期數。若|n|→∞則為整周期采樣，f（t）的n倍頻分量對應第n×m條譜線（n為正整數），不存在泄漏誤差；若n為有限值時則為非整周期采樣，存在泄漏誤差，此時第m條譜線f_m與f（t）的基頻分量f₀最接近。

給定波形信號：

式中，f₀=50Hz為電網基頻信號。

根據采樣定理，設置采樣信號的頻率8倍于基頻，即每秒采樣400個數據。國標波動等級規定如下：

頻率等級A級≤±0.05Hz、B級≤±0.5Hz、C級≤±1Hz，分別測試電網信號在50.05Hz、50.50Hz和51.00Hz下，分別采樣2個信號周期，與50.00Hz標準基頻比較，評估由于量化誤差引起的測試誤差。圖3-7所示為某時間段信號的時域波形。

圖3-8～圖3-11所示分別為各頻率信號的FFT變換結果。

可見，頻率波動產生泄漏誤差，分別討論電網基頻波動對檢測基頻和檢測基頻幅值的影響，規律如圖3-12和圖3-13所示。

可見，在非整周期采樣情況下，泄漏誤差的影響是隨電網頻率波動周期性變化的。

3.電能表的誤差補償

當電能表由電流互感器、電壓互感器或者A-D采樣引入一個相位誤差ξ時，此時計算電能值變成

電能表誤差用δ表示，則

式中，?為電壓、電流相位；ξ為附加相位差。

一般情況下，既有相位誤差又有幅值誤差，這時

相對誤差：

式中，U′和I′分別表示實際電壓、電流幅值；U和I分別表示理論點電壓、電流幅值。

此處令，則有

任何一只電子式電能表經PT、CT變換，再經A-D的前置運算放大，A-D采樣所得到的電壓、電流之間都存在一個相位誤差ξ和一個UI乘積的幅值誤差r。對誤差進行補償有硬件補償和軟件補償兩種方式，硬件補償方式主要是在電能計量模塊的輸入端對被測電壓取樣的分壓器設有可以調整的電阻，用于在出廠前調整電能表的準確度和線性。這些電阻在出廠時一經調好，用戶在校驗時就不用打開內部電路進行調整。

軟件補償方式就是找到一個ξ、r的函數f（ξ，r），使得按式（3-16）算出的電能值乘以f（ξ，r）近似等于真實的電能值，即W≈W′·f（ξ，r），流程示意圖如圖3-14所示。

比較軟件補償和硬件補償，可以知道軟件補償有以下幾個好處：

1）軟件補償法減少了補償電路，對PT、CT和運算放大器一致性要求降低。

2）軟件可以多點補償，能使補償后的誤差曲線趨向平直。

3）由于補償軟件可以用計算機自動調整，把煩瑣的調表工作變成計算機控制自動進行，提高了精度，節約了校表時間。

3.1.2 數字化量傳體系在時域上的變化對整個計量體系的影響

在數字化量傳體系中，數據會從連續的時間域變換到離散的時間域。這一過程需要通過采樣、量化、截斷等方式，將原輸入模擬信號轉換為時間離散、數值離散的有限長數字信號來實現。在實際的數字化量傳體系中，由于存在著無法精準的整周期采樣、設備存儲器位數有限、數據需要進行截斷處理等原因會產生相應的誤差。本節研究了從連續的時間域變換到離散的時間域所產生的誤差，主要從以下三個方面著手進行討論：

1）離散化過程中產生的截斷誤差的形成機理以及估計方法。

2）量化誤差形成機理分析及估計。

3）非整周期采樣過程信號產生的頻譜泄漏與柵欄效應的解決方法。

1.截斷誤差

（1）截斷誤差的定義 香農采樣定理表明，如果一個信號f（t）在頻率范圍[-σ，σ]內帶限，即F（ω）=0（|ω|≥σ），那么該信號可以被采樣頻率為2σ的一系列的采樣數據進行重構。重構所用的內插公式為

其中

然而實際應用中只能使用某一時間段內的采樣序列進行內插重構。若使用時間段t∈[-N/2σ，N/2σ]中的2N+1個數據進行重構，則此時的內插公式為

則可以定義截斷誤差為

上式中的截斷誤差也可以寫成曲線積分的形式：

其中曲線C包含z=t_-N，t_-N+1，…，t_N的所有采樣點。

（2）截斷誤差的點態估計 截斷誤差的大小與輸入信號有關?？紤]到電力系統中的電壓、電流信號近似為正弦信號，我們假設輸入信號為f（t）=Msin（2πft），則截斷誤差可以表示為

曲線C分為四個部分，如圖3-15所示。

曲線C上的積分只需考慮C₁以及C₂兩部分的積分和。記f=rσ，則

設原函數為50Hz標準正弦波。對該信號進行每周期16個點的采樣，即采樣頻率設為800Hz。利用香農采樣重構公式選取L=2N+1個點進行信號重構，重構公式如下：

當L=17時，即利用17個點（整采樣一個周期）進行重構。故在采樣時間范圍內將恢復的波形與原波形作差值，即得到截斷誤差的實際值。與此同時，利用式（3-25）中的估計公式，可以得出截斷誤差的估計值。將兩者進行比較，結果如圖3-16所示。同理，當L=21時，將截斷誤差的估計值與實際值進行比較，結果如圖3-17所示。

比較圖3-16與圖3-17可以發現，截斷誤差的實際值在采樣點處的大小為0，而在兩個采樣點之間的截斷誤差值則先增大后減小，在兩個采樣點中間處達到最大值。在整個采樣時間內，在采樣邊緣處的誤差大于中間位置的誤差。

隨著L的增加，中點部分數據的截斷誤差值的趨勢是振蕩衰減的。同時，在整周期采樣條件下（L=17，33，…），中點部分數據的截斷誤差值等于其區間最小值。而在非整周期采樣下的中點部分數據的截斷誤差值要大于其區間最小值，非整周期采樣條件越糟糕，其偏離度越大。截斷誤差在區間兩端點處的值是其區間最大值，且并不隨L的變化而明顯變化，同時兩端的誤差要明顯高于中點位置的誤差。

（3）截斷誤差的一致估計 由于截斷誤差兩端的誤差要明顯高于中間位置的誤差。所以在實際應用中，實際都是采用中間位置的值使用，所以現在采用中間段的值進行一致估計。由式（3-24），在中間位置時N₁=N₂=L/2，此時式（3-24）變為

在式（3-26）中，，這是由于我們所要處理的信號是不具有衰減性的正弦信號，所以一致估計的收斂性相對于其他信號來說，其收斂性比較差。

（4）截斷誤差的積分估計 觀察式（3-21）可以發現，構成一組標準的正交基。所以根據帕斯瓦爾定理，可以得到

令，這樣可以反映截斷誤差的某種平均性。同樣根據帕斯瓦爾定理，可以進一步寫為

利用帕斯瓦爾定理可得到

2.量化誤差

在數字化量傳體系中，不論是用硬件還是軟件來處理數字信號，都只能采用有限位數來表示信號、系統參數、運算中間量和運算結果等。這樣就使得實際值與理想值之間存在誤差，這種由于有限字長而產生的誤差叫作量化誤差。

（1）二進制數碼表示 模擬量采樣量化為數字量時，以二進制編碼的形式存儲在寄存器當中。常用的表示方法有定點制和浮點制兩種，編碼有原碼、補碼、反碼三種。在對數據進行截尾或舍入的量化處理時，儲存數據的類型會對量化造成影響。

假設一個二進制數的字長為b+1位，最高位為符號位，它最小可以表示的數為2^-b，也稱為其量化階，記為q。表3-4給出了b+1位的定點數的誤差范圍。

浮點數的量化只在尾數上進行，由于浮點數還有階碼，通常用相對誤差衡量產生的量化誤差。表3-5給出了浮點數的誤差范圍。

由表3-4和表3-5可知，量化誤差的范圍與其量化階q有關，量化階越小誤差的范圍越小，可以通過增加字長的方式來減小量化階，從而減小量化誤差。

下面考慮在整個系統中的狀況，數字系統有限字長效應引起的量化誤差主要表現在下面三個方面：A-D轉換中的量化效應、系數的量化效應、運算的有限字長效應。

（2）A-D轉換的量化誤差 在輸入信號較復雜的情況下，可以利用統計模型分析A-D轉換器的量化誤差。這個模型把A-D轉換器看作一個具有加性內部噪聲e（n）的線性系統，可以用下式表示：

一般作如下的假設：e（n）是一個白噪聲過程，與x（n）無關；e（n）是平穩隨機過程的一個實現；誤差均勻分布。

通常輸入足夠復雜，有限量化位數不低于8位，量化間隔足夠小時可以做上述簡化。由于原碼和反碼的截尾誤差與信號的極性相反，故不滿足上述條件。圖3-18給出了舍入和補碼截尾量化誤差的概率密度。

在舍入情況下，量化誤差的均值與方差為

補碼的截尾誤差的均值和方差為

信噪比用分貝表示有

由式（3-35）可知，字長每增加1位，SNR約增加6dB。我們可以粗略地得出一個結論，字長越長，量化噪聲越小。我們在輸入信號時，常對信號進行縮放，使得信號在A-D轉換的量化范圍內。設縮放因子為A，A＞0?？s放后輸入信號Ax[n]的方差為，代入式（3-35）有

A＞1可以提高信噪比，但也增加了輸入信號超過量化范圍的可能。A＜1可以壓縮信號的幅度，使得信號不超過量化范圍，但相應地也降低了信噪比。

在A-D轉換的量化過程中，可以通過增加字長來減小量化誤差，但實際上字長并不是可以無限增加的，在智能變電站IEC61850協議中對數據進行了16bit的規約化。相較于截尾誤差的單極性分布，舍入誤差是對稱分布的，誤差擁有更小的均值，影響較小，因而應用較多。在對輸入信號進行縮放時，會改變信噪比，因此可以在不超過量化范圍的基礎上追求更好的信噪比。

（3）系數的量化誤差 在數字濾波器中，通過軟件或者硬件實現的數字濾波器實際傳遞函數與理想值H（z）并不相同。因此系數的量化誤差直接導致了極點和零點的偏移，這就使得實際的頻率響應和理想頻率響應H（e^jω）并不符合，嚴重時有可能發生極點移動到單位圓外導致濾波器不穩定的情況。

系數量化效應對數字濾波器的影響常用極零點相對原始位置的偏移來衡量。我們可以通過如下推導，得到極零點的偏移量。

假設B（z）是一個具有單根的N次多項式：，其中b_N=1，B（z）的根為。

Δθ_k和Δr_k分別表示由于系數量化效應，第k個根在模和角度上的變化。

經過運算可得

其中

靈敏度向量和與ΔB無關，只依賴于B（z）。因此只要計算出這個向量，對任一組ΔB，極零點的偏移值都可以用式（3-37）和式（3-38）快速算出。ΔB中的元素是直接型實現中的乘法器的系數變化。

系數的量化誤差可能會造成零極點的偏移，零極點的偏移量不僅與具體系數的量化誤差有關，還與理想的傳遞函數有關。在用濾波器實現具體的傳輸函數時，直接型受量化誤差的影響比級聯型大。實際上一般來說，一個較高階的傳遞函數不用單個直接型結構實現，通常采用一二階系統的級聯實現，以降低系數量化誤差的影響。

（4）運算中的量化效應 在數字信號處理的過程中，可能出現尾數超過寄存器長度的情況，這時就要對尾數進行處理，會產生運算量化誤差。

由于采樣起點是隨機的，我們可以把這種運算量化誤差同樣當作是隨機的，需要進行統計分析。為了簡化分析，做如下假設：噪聲源是和信號源不相關的、服從均勻分布的白噪聲，且網絡中各個噪聲源之間互不相關。

下面以的實際傳遞函數為例考慮通過直接型、級聯型和并聯型實現時運算量化誤差的影響，具體見表3-6。

同一傳遞函數通過不同方式實現時，輸出噪聲也是不同的。對比本例的幾種情況可知，直接型誤差最大，級聯型次之，并聯型最小。通過統計模型可以看出，直接型中有兩個噪聲源通過整個系統，兩個反饋回路嵌套在一起使得噪聲積累嚴重，在越高階的系統中這種積累更加嚴重；級聯型結構只有一個噪聲源會通過整個系統，積累作用較小；并聯型實現中噪聲通過兩個一階系統分別輸出，沒有噪聲通過整個系統，噪聲最小。

運算過程中乘法的量化誤差不僅與量化的位數有關，還與傳遞函數以及傳遞函數的實現形式有關。在高階系統中為了減小運算中的量化誤差，不應使用直接型實現，而應該盡量通過并聯和級聯的方式來實現系統的傳遞函數。

3.非同步采樣誤差

在數字計量體系結構中，數字式電能表都是接收來自合并單元的采樣值，采樣值的時鐘信號都是來自對MU接收的標準時鐘信號的倍頻。也就是說，ADC的采樣頻率是固定的，按照相關標準被設定為工頻的固定倍數。按照IEC61850-9-2規定，采樣率為4000S/s或者12800S/s（對應一個基波周期80個和256個采樣點）。這樣，在電網頻率發生波動時，采樣頻率不會隨著波動，就會使一個基波周期對應非整數個采樣點，即產生非同步采樣問題。由于采樣率固定無法改變，非同步采樣的誤差只能通過電能表內部的算法來補償。

（1）非同步采樣誤差分析 在數字式電能表中，對電能的計算是一個累積過程，因而非同步采樣對其影響不大。而電流/電壓有效值、有功無功功率是周期信號的平均值，會受到非同步采樣的影響。

對于周期性連續信號，平均值為

式中，f（x）是周期為2π的周期信號；是信號的平均值。

在對離散采樣值進行計算時，是用離散數值積分代替連續積分的。同步采樣時，采樣頻率是被采樣信號頻率的整數倍，因此積分時間也為信號周期的整數倍。當發生非同步采樣時，積分時間發生微小改變，不再是信號周期的整數倍，此時實際計算公式為

式中，Δ是由于非同步采樣引起的積分時間偏差。在數字電能質量具體測量中，設電網額定頻率為f₀，采樣頻率為N·f₀，計算時對N個采樣值求平均，則積分周期為1/f₀，對應式（3-40）中的2π。電網頻率波動為Δf，則實際的信號周期為1/（f₀+Δf），對應式（3-40）中的2π+Δ。則Δ、f₀、Δf有以下關系

設電壓為，電流為，則實際計算誤差為

計算可得

由以上推導可知，積分計算的初始相位x₀會引起相對誤差呈余弦函數變化，變化周期為π。由于x₀取值隨機，因此可得ε_r隨初始相位變化的最大值，同時考慮到Δ很小，可得

可見，最大相對誤差大致與頻率偏差成正比，與功率因數成反比。

類似地，可推出非同步采樣引起的電流/電壓有效值的相對誤差為

隨初始相位變化的最大值為

（2）非同步采樣異常處理 為抑制非同步采樣引起的誤差，人們提出了多種算法，其中最常用的是準同步算法。準同步算法的基本思路是通過迭代運算，逼近周期信號的平均值。其運用的迭代公式為

式中，f（x_i）是原始的采樣值；N是額定頻率下一個周期對應的采樣值的個數；ρ_i是跟數字積分相關的權重系數；F^k是迭代計算的結果。可以證明，在頻率偏差很小的情況下，有

在設定一個周期內的采樣點數為80，信號標準頻率為50Hz，信號頻率發生變化的情況下，不使用補償方法和采用準同步采樣方法產生的最大相對測量誤差見表3-7。可見，隨著頻率偏差的增大，計算誤差也越來越大，相對于不采用補償方法，采用準同步采樣算法可顯著降低誤差。

準同步算法對于一般的頻率偏差（±1%）具有相當好的補償效果。對于頻率偏差較大的場合，可以考慮對準同步算法進行一下優化。

對以上算法進行優化，可考慮實現同步算法的參數隨信號的情況實時變化，以達到更高的誤差補償效果。

3.1.3 數字化量傳體系中的算法

1.頻率測量算法

頻率測量算法主要分為時域分析算法和頻域分析算法。

時域分析算法有過零點檢測法、函數逼近法等。過零點檢測法是通過波形相繼過零點來計算信號的頻率。這種方法計算過程簡單明了，運算速度快，但是存在的缺點是抗噪、抗干擾能力不強。函數逼近法的核心在于對物理系統分析，提取系統的模型，建立方程組，聯合多個方程組計算未知數，運算量較大但精度比較高。

頻域分析算法包含傅里葉變換法（DFT/FFT）、小波變換法、譜估計法等。傅里葉變換的實質是利用傅里葉變換將信號從時域變換到頻域進行分析，是目前使用最廣泛的一種算法。小波變換可以同時定位時域和頻域，通過小波變換可以確定信號在任一時間區的頻率特征。譜估計法是對于一個有限長平穩序列，估計其在整個頻率域內的功率分布。

（1）基于函數逼近的頻率算法 令基波的理想頻率為f₀=50Hz，實際頻率應為：f=f₀+Δf，則輸入信號可以表示為

式中，U_m為輸入電壓最大值；α₀為輸入電壓初始相位。

由于頻率波動一般不大，所以我們用理想角頻率來近似實際角頻率，則近似的傅里葉變換為

進一步展開，可以分別計算得正弦項和余弦項：

同理，第二個周期也可采用近似傅里葉變換：

聯立上述方程可以得到頻率測量的基本公式：

由于式（3-55）并不需要計算相鄰2個周期的相位以得到準確的相位差值，故無須根據頻率偏差值對算法進行迭代修正，即可求得系統的真實頻率f，顯然優于根據相角變化值求頻率的方法。

（2）基于DFT校正的頻率測量算法 在不考慮諧波分量的情況下，以單頻信號為例：

設f₁在兩根相鄰FFT譜線之間，設f₁距第k根譜線的頻率kΔf最近，即

其中，Δf=f_s/N為頻率分辨率，f_s為采樣頻率，N為x（n）的長度，λ₁為信號基波頻率校正量。取時間窗T_w=mT_e，其中m為正整數；T_e為工頻周期（0.02s），此時DFT分析的頻率分辨率Δf=1/mT_e=f_e/m。若在T_w內采樣點數為N，則采樣周期T_s=mT_e/N。以這一采樣周期對信號采樣N+1點，取前N點構成時域序列x₁（n），取后N點構成時域序列x₂（n）。序列x₂（n）比x₁（n）滯后1點，即在時域上滯后Δt=lT_s。若用DFT對序列x₁（n）和x₂（n）做譜分析，得到離散譜分別為X₁（k）和X₂（k），那么，序列x₂（n）對應的連續時間信號的初相角?₂與序列x₁（n）對應的連續時間信號的初相角?₁分別與X₂（k）和X₁（k）有以下關系：

則相位差為

進而可以得到校正量

其中，，f₁=（k+λ₁）Δf。即可求得電氣基波信號的頻率f₁。

算法的性能與時間窗T_w的長度密切相關。時間窗短，反應速度快，計算量小，但頻率分辨率Δf大，不同頻率間信號干擾大，計算精度相對較低；時間窗長，雖然精度比較高，但也導致了計算實時性較差。T_w應根據工程實際適當選擇，并配合與之相適應的窗函數。

用MATLAB對以上算法進行驗證，令

設T_w=T，即時間窗為一個工頻周期，由采樣定理，令采樣頻率f_s為500Hz，當信號頻率ω從49～51變化時，測得的頻率誤差曲線如圖3-19所示，可以看出，所測真實頻率值存在一定誤差，在頻率為50Hz時誤差為0，而其他頻率點由于采樣不同步造成了頻譜泄漏，隨著頻率與工頻的偏差增加，該誤差越大。

加窗是改善DFT分析的一種重要手段，選擇合適的窗能夠有效抑制頻譜泄漏，提高精度。使用Hanning（漢寧）窗以及Blackman窗進行加窗之后，頻率測量誤差如圖3-20所示。

由圖3-20可知，加Hanning窗之后誤差減小到了0.03%以下，Blackman窗進一步提升測量精度，達到了10^-6數量級，與圖3-19相比，說明加窗函數有效抑制了旁瓣干擾，有效降低了測量誤差。

2.諧波測量算法

電力諧波的檢測是分離畸變電壓、電流信號中不同頻率成分的過程。隨著電子技術和數字信號處理技術的發展，產生了頻域、時域、時頻分析等多種諧波檢測方法，根據測量原理的不同，主要有以下幾類：①基于模擬濾波器的諧波檢測方法；②基于瞬時無功功率理論的諧波檢測方法；③基于小波變換的諧波檢測方法；④基于神經網絡的諧波檢測方法；⑤基于支持向量機的諧波檢測方法；⑥基于現代譜估計的諧波檢測方法；⑦基于傅里葉變換的諧波檢測方法。

上述方法各有優缺點，電力諧波檢測的影響因素復雜，而小波變換、神經網絡、支持向量機、現代譜分析等方法目前無法在嵌入式系統中大規模實現，均不能滿足實時電力諧波檢測的要求。因此，基于傅里葉變換的諧波分析方法仍然是電力諧波實時、準確檢測的有效實現途徑。

然而基于傅里葉變換的諧波測量方法在非整周采樣時，受頻譜泄漏和柵欄效應的影響，將引入非整周期采樣誤差。此時輸入信號所有頻率分量均不落在FFT計算點上，且各頻率分量測量結果為被測頻率分量與其他頻率分量旁瓣之和。若不計諧波的影響，輸入信號為單頻正弦信號時，設輸入信號的數字角頻率為ω₀，使用數字角頻率為ω的FFT計算點X（K）近似計算原信號幅值，則相對誤差E為

在上式模值中第一項來自于輸入信號正頻率分量，其引入的誤差來自柵欄效應；第二項來自輸入信號負頻率分量旁瓣。當整周期采樣時第一項為1，第二項為0，E為0，沒有誤差。當ω偏離ω₀較小時，誤差受旁瓣影響比較明顯；當ω偏離ω₀較大時，誤差主要由柵欄效應引起。

電力系統中的非整周期采樣主要是由電網頻率在50Hz左右微弱波動引起的。通常計量儀器中的FFT算法默認電網信號基頻為工頻并以此設置相關參數。當電網頻率偏移工頻時，使用常規FFT算法將出現非整周期采樣誤差。設電壓信號為正弦信號，且初相位為0。設采樣點數為32點，采樣頻率為1600Hz，則當頻率在49Hz到51Hz偏移時，其相對誤差如圖3-21所示。圖3-21中，圖a為柵欄效應引入的相對誤差；圖b為歸一化后的旁瓣幅值；圖c中的曲線為根據式（3-63）計算所得的理論誤差曲線，所描的點為在不同頻率時使用FFT算法計算的實際誤差。通過圖3-21可以看出：

a）使用FFT算法的實際誤差與理論誤差曲線重合，由此可證明式（3-63）的正確性。

b）由于電網頻率偏移較少，最終的誤差主要由頻譜泄漏造成的旁瓣譜間干擾引入。

c）由于電網頻率偏移較少，故非整周期采樣誤差對于基波測量的影響較小。但當存在諧波信號時，因為諧波信號本身幅值相對基波較小，故受基波旁瓣影響較大；且當電網頻率偏移fHz時，K次諧波頻率偏移KfHz，故受柵欄效應影響較大。因此高次諧波的測量受非整周期采樣誤差的影響較大。

加窗插值算法是常用的非整周期采樣誤差消除方法。該算法通過加窗來抑制由旁瓣造成的譜間干擾；通過插值算法來計算被測信號在FFT計算點X（K）、X（K+1）之間的頻率分量，從而解決柵欄效應。余弦窗是常用的窗函數，其表達式如下式所示：

其中，k為項數，當k=1時，即為矩形窗；當k=2，a_i=0.5時，為Han-ning窗；當k=3，a₀=0.42，a₁=0.5，a₂=0.08時，為Blackman窗。通常余弦窗項數越多旁瓣抑制能力越強，主瓣越寬。

假設輸入信號的某個頻率分量的頻譜在FFT計算點X（L）、X（L+1）之間。設f=（L+r）F，其中F是FFT算法頻率間隔，L為正整數，0≤r＜1。通過計算窗函數的頻率響應表達式可以得到如下方程：

其中，|X（L）|、|X（L+1）|可以通過DFT計算得到，f₁（r）、f₂（r）為關于r的函數。故可以先解出r，再將r代入式（3-65）解出|A|，從而得到該頻率分量的頻率與幅值。為了增強窗函數的旁瓣抑制能力從而提高計算精度，人們有時運用高項數的余弦窗。此時式（3-66）是高階方程，難以獲得解析解。故文獻中多通過多項式擬合的方法進行數值計算。

通常插值算法所用余弦窗項數越多則精度越高。然而項數增加的同時，采樣周期數也將增加，致使計算量增大，并影響實時性。此外對于整個計量系統，算法的精度應與電子式互感器等其他環節的精度相匹配，無限提高算法精度并沒有太大的實際工程意義。

現使用MATLAB對比不同加窗插值算法的精度。設輸入信號頻率為50.5Hz，其各次諧波幅值、相位見表3-8。采樣頻率為1600Hz，采樣點數為256點，使用普通FFT算法及各種插值算法計算輸入信號幅值、相位。計算結果的相對誤差見表3-9和表3-10，可見加窗插值算法可以有效抑制非整周采樣誤差，且窗項數越高，抑制效果越好。基于五項余弦窗的插值算法有較高精度，其計算相對誤差在10^-8左右。

幅值及相位相對誤差圖如圖3-22所示。

3.有功功率測量算法

有功功率（功率）P是衡量用戶、企業對于電能量消耗的一個重要指標。有功功率是保持用電設備正常運行所需要的電功率，即將電能轉換為其他形式能量的電功率。有功功率的測量可以從時域角度來計算，也可以從頻域角度來計算：

多數諧波電能表均是采用Budeanu功率定義，其測量算法一般分為三類：

第一類是基于頻域分析。先計算電壓和電流中基波及各次倍頻諧波的幅值和相位，然后計算出各頻率分量單獨產生的有功功率、無功功率，最后利用疊加定理得到負載總的有功功率、無功功率。

第二類是基于時域積分算法。有功功率通過對電壓與電流的瞬時值乘積序列在整周期內求積分獲得。

對于某復合電壓信號：

其經過用戶負載后的響應電流I_x（t）以間隔的采樣頻率離散采樣所得數據為：u_x（t）i_x（t），由有功功率定義有：

根據式（3-69）可以看出，從任意的某一時刻開始，對于采樣到的一個基波周期T內的N個離散點值數據進行計算可以得到有功功率。但如果由于基頻變化導致離散采樣不能夠準確捕捉到完整周期的信號（即一周期內采樣的首尾點能重合）時，這種非整數周期采樣將導致有功功率計量誤差。

第三類是利用小波變換的時域-頻域分析技術測量功率。由于小波變換可以作為時域-頻域分析的一種技術，通過小波變換后的信號具有時域和頻域信息，且對時域分析具有高效、準確的優點，所以小波變換被用于電網有功功率和無功功率的測量。

4.無功功率測量算法

（1）Budeanu無功功率的定義 無功功率的定義方法很多，一般采用的是Budeanu的定義法。Budeanu無功功率定義被IEEE 1459-2000標準采用，其無功功率定義為

式中，u（t-T/4）表示u（t）各次諧波電壓分別平移1/4周期后的電壓；U_k、I_k為第k次諧波電壓、電流；?_k為第k次諧波電壓、電流的相位差。

（2）常見的幾種離散化無功功率測量算法

1）移相算法。根據移相法的實現方法不同，可以分為電子移相法（模擬移相法）和數字移相法，常用的是數字移相法。

①電子移相法。電子移相法有-90°和±45°兩種移相法，所謂的-90°移相法是將輸入電壓通過移相器后再與輸入電流同時進行采樣，然后進行數字乘法得到：

式中，為移相后的采樣值，該方法在理想移相器下具有與有功功率和視在功率相同的精度，要提高測量精度，關鍵在于提高移相器的準確性和穩定性。

為避免移相器的不穩定性帶來的誤差，采用±45°移相法，其本質是使輸入電壓進行-45°移相，輸入電流進行+45°移相后，再對電壓、電流采樣，無功功率為

式中，為輸入電壓經過-45°移相后的等間隔采樣值；為輸入電流經過+45°移相后的等間隔采樣值。

②數字移相法。是將電流的第k次采樣值與滯后90°電壓的采樣值相乘：

該方法要求一個周期內的采樣點N的取值必須是4的整數倍，對硬件的要求高，當電路中諧波成分較大時，對測量結果的精度難以保證。

2）均方根算法。該算法考慮了諧波分量，延續了功率三角法計算無功功率的概念，電壓有效值、電流有效值、有功功率、無功功率、視在功率的計算公式分別如下：

對于均方根算法，似乎只要知道了U、I以及功率因子，就會較容易地求出無功功率，然而在實際的應用中卻不是這樣。由于在測量中要想準確地獲得這些參數較難，主要是因為電壓和電流存在諧波成分，而且測量電路本身也是用數字逼近法，會給測量結果造成較大的誤差。

①傅里葉算法。先對電壓、電流信號分別進行FFT計算，計算得到各次諧波電壓、諧波電流的幅值、相角，再使用Budeanu定義計算無功功率：

②Hilbert算法。離散時間信號的Hilbert變換定義為

由上可知，對采集的離散電壓信號u（n），若采用離散Hilbert變換，可得u′（n），即為電壓移相-90°后的序列，所以無功功率為

輸入信號的離散Hilbert變換可通過Hilbert數字濾波器實現?；贗IR型Hilbert數字濾波器的無功功率測量系統和基于FIR型Hilbert數字濾波器的無功功率測量系統分別如圖3-23、圖3-24所示。

基于IIR型Hilbert數字濾波器的無功功率測量系統首先將電壓、電流信號按相同的采樣率進行A-D轉換，得到離散的數字電壓信號u（n）和數字電流信號i（n）；再將這一對數字信號分別經過數字濾波器F₁和F₂進行移相處理，得到所關心的頻率范圍內電壓、電流的基波以及各次諧波分量之間相位移相差均為90°的復合數字信號u′（n）和i′（n）；然后將這兩個信號相乘，得到瞬時無功功率q（n）；最后對q（n）進行低通濾波，就得到所求取得的總無功功率Q。

IIR型濾波器的設計可根據半波帶濾波器設計。F₁、F₂模塊是因果的、穩定的，其復頻域脈沖傳遞函數分別為

設N=18，所關心的頻率范圍為40～960Hz，F_s=2000Hz，在相移誤差不大于0.0006rad的條件下，則F₁、F₂的脈沖傳遞函數分別為

F₁與F₂的幅頻特性和相頻特性如圖3-25所示。

由圖3-25可以看出，在所關心的頻率范圍內，整個移相系統滿足

即通帶增益特性接近于1；相頻特性近似為90°。所以在關心的頻率范圍內，設計的IIR型數字濾波器具有需要的濾波性。

基于FIR型Hilbert數字濾波器的無功功率測量系統先將電壓、電流信號按相同的采樣率進行A-D轉換，得到離散的數字電壓信號u（n）和數字電流信號i（n）；再將u（n）通過Hilbert數字濾波器進行移相處理，得到在所關心的頻率范圍內的電壓的基波及各次諧波分量之間相位移相差均為-90°的復合數字信號u′（n），然后將u′（n）和i（n）相乘，得到瞬時無功功率q（n）。其中FIR濾波器F₁可通過等波紋切比雪夫法設計，其幅頻特性和相頻特性如圖3-26所示。

由等紋切比雪夫法采用最大誤差最小化的準則來逼近理想的Hilbert數字濾波器，在設計指標相同時，使濾波器階數最低；階數相同時，使通帶最平坦，阻帶最小衰減最大，通帶和阻帶均為等紋切形式，既能獲得嚴格線性相位，又有很好的衰減特性。

（3）不同算法的仿真分析及誤差比較 對上述提出的幾種無功功率測量算法進行仿真，分別在標準正弦和非正弦信號兩種模型上引進數據測試。

1）標準正弦信號模型。選取正弦波電壓有效值U_k=1.0V，電流有效值I_k=1.0A，電壓、電流相位差?_k=70°，見表3-11。

正弦信號模型仿真運行結果見表3-12。

如圖3-27所示，由仿真結果可以看出，對于正弦信號下無功功率的測量，傅里葉分析測量算法的誤差最大，均方根算法與數字移相測量算法誤差次之。

2）非正弦信號模型。選取非正弦信號電壓、電流諧波模型為基波、19次及以下諧波的電壓、電流有效值及各次諧波電壓、電流相位角見表3-13。

非正弦信號模型仿真運行結果見表3-14。

如圖3-28所示，由仿真結果可以看出，對于非正弦信號下無功功率的測量，傅里葉分析測量算法、均方根算法和數字移相測量算法誤差都很大。相對而言，Hilbert變換測量算法誤差較小，精度較高。

目前所使用的大多數儀器、儀表是針對工頻正弦波所設計的，但由于電力系統在其所運行的環境中的電流、電壓并不都是單純的工頻正弦波，大量的諧波存在對電力系統造成很大的影響。

通過仿真比較以上五種無功功率算法可知，基于Hilbert數字移相濾波的無功功率測量方法具有比較高的測量準確度。該方法不僅能測量正弦電路中的無功功率，而且在給定的非正弦電路無功功率定義，即總無功功率等于基波和各次諧波無功功率之和的定義下，也適用于測量含有諧波的非正弦電路中的無功功率。由于該方法是在對電壓、電流信號采樣后，通過直接進行移相濾波和簡單的數值計算測量無功功率，避免了現有方法中通過測量電壓、電流有效值和有功功率計算無功功率所帶來的誤差。其優越的頻率響應特性，即使對于相當高次的諧波無功功率的測量，也可以獲得很高的測量準確度，適合在高精度無功功率測量儀表的設計中使用。