第7節(jié)

故事與趣題

孫子定理

孫子定理是我國古代求解一次同余式組的方法，是數(shù)論中的一個重要定理，又稱中國剩余定理。一元線性同余方程組問題最早可見于南北朝時期（公元5世紀）的數(shù)學著作《孫子算經·卷下》第二十六題，叫作“物不知數(shù)”問題。原文如下：有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？

意思是說：一堆物體，三個三個地數(shù)，最后余下兩個；五個五個地數(shù)，最后余下三個；七個七個地數(shù)，最后余下二個。這堆物體有多少個？

小讀者們，你們知道怎么計算嗎？

首先，列出除以3余2的數(shù)：2,5,8,11,14,17,20,23,26, …

然后，列出除以5余3的數(shù)：3,8,13,18,23,28, …

在這兩列數(shù)中，首先出現(xiàn)的公共數(shù)是8。3與5的最小公倍數(shù)是15。兩個條件合并成一個就是8+15×整數(shù)，列出這一串數(shù)是8、23、38, …

再列出除以7余2的數(shù)：2,9,16,23,30, …

就得出符合題目條件的最小數(shù)是23。

除了這種方法，明朝數(shù)學家程大位在《算法統(tǒng)宗》一書里用四句詩概括出另一種解法：

三人同行七十稀，

五樹梅花廿一枝，

七子團圓正半月，

除百零五便得知。

這四句詩的意思就是：用70乘3除所得的余數(shù)，21乘5除多得的余數(shù)， 15乘7所得的余數(shù)，然后3個得數(shù)加起來，如果大于105，則減去105，還大再減去105，直到小于105為止，最后得出來的整數(shù)就是答案。也就是：

70×2 + 21×3 + 15×2 = 233

233 - 105 = 128

128 - 105 = 23

同學們，你知道方法了嗎？

拓展應用

1．有一把蠶豆，假如3粒一數(shù)余1粒，5粒一數(shù)余2粒，7粒一數(shù)余2粒，那么，原有蠶豆多少粒呢？

2．一個三位數(shù)，被7除余1，被9除余3，被11除余5，這個三位數(shù)是多少？

3．韓信率領1 000余名將士迎敵。他命令士兵3人一排，結果多出2名；接著命令士兵5人一排，結果多出3名；他又命令士兵7人一排，結果又多出2名。韓信率領的士兵有多少人？

4． 一個數(shù)，被5除余4，被6除余5，被13除余12，這個數(shù)最小是多少？