3.3　多空組合的再平衡

到目前為止，我們對組合再平衡的分析對純多頭組合與多空組合都是適用的。例如，在對組合換手率的討論中，我們對組合權重取了絕對值，那么式（3-6）～式（3-12）的結果就對多空組合也成立。然而，純多頭組合與多空組合的再平衡有一個重大差異，這個差異源自兩者再平衡過程的操作機制。在純多頭組合中，再平衡操作總是買入輸者，同時賣出贏者。而在多空組合中，情況卻并不總是如此。當我們研究多空組合再平衡的影響和再平衡Alpha時，這個差異就會產生關鍵性的影響。在本節中，我們想要深入研究多空組合再平衡過程的特點。

讓我們從一個最好的起點開始：考慮一個兩資產的多空組合，其w₁<0，w₂>0，并且w₁+w₂=1。組合杠桿定義為組合權重的絕對值之和：

那么，根據式（3-4），

我們假設組合沒有遭遇破產，即1+R>0。由于w₁w₂<0，每個資產在組合中的權重的變化量都與該資產相較另一個資產的相對表現呈負比例關系。換言之，如果一個資產跑贏了另一個資產，那么它的權重變化量將是負的，也就是說它的權重將會低于初始權重。為了再平衡這個組合，我們需要買入該資產。相反地，如果一個資產跑輸了另一個資產，那么它的權重變化量將是正的，也就是說它的權重將會高于初始權重。為了再平衡這個組合，我們需要賣出該資產。總之，為了再平衡這個多空組合，我們需要買入贏者而賣出輸者，這與純多頭組合再平衡的操作恰好相反。

讓我們用一個具體的例子來說明這一點。考慮前面提到過的投資A和投資B，投資A第一年漲幅100%，而投資B第一年漲幅-50%。我們構建一個多空組合，在投資A上的權重為多頭120%，在投資B上的權重為空頭20%。表3-6展示了該組合在第一年末的結果。投資A從1.2美元漲到2.4美元，而投資B從-0.2美元變為-0.1美元。由于組合在兩個資產上配置了正確的頭寸，再疊加上杠桿效應，總投資市值從1美元上漲到2.3美元。現在，組合權重為104%和-4%。與初始權重120%和-20%相比，投資A上的權重減少了，而投資B上的權重增加了。為了再平衡這個組合以使它回到初始權重，我們需要將投資A增加到2.76美元（買入贏者），同時將投資B降低到-0.46美元（賣出輸者）。

表3-6　另一個買入并持有組合的歷史投資情況

注：原書數據為2.74，實際應是2.76。

在表3-6的最后一行，我們也給出了組合杠桿隨時間的變化。在再平衡之前，杠桿從140%降到了109%。而再平衡操作將組合杠桿重新恢復到140%。

事情也可能朝著完全不同的方向發展。在表3-7中，我們展示了一個做空20%投資A同時做多120%投資B的投資組合的結果。在一年之后，多空頭寸都出現了嚴重的虧損，其投資A從-0.2美元降至-0.4美元，投資B從1.2美元縮水至0.6美元。組合價值變為0.2美元，損失了80%。組合權重的變化更加令人吃驚，投資A上權重變為-200%而投資B上權重變為300%。為了再平衡這個組合，我們需要賣出投資B（賣出輸者）至0.24美元，同時買入投資A（買入贏者）至-0.04美元。

表3-7　另一個買入并持有組合的歷史投資情況

在上述兩種情形下，組合再平衡操作都是買入贏者而賣出輸者。我們注意到，當多空組合產生盈利時，組合杠桿會降低，當它蒙受損失時，組合杠桿會升高。

對于一般的包含多于兩個資產的投資組合，我們使用式（3-2）來確定組合權重的變化，這使得多頭頭寸與空頭頭寸有不同的操作機制。對于多頭頭寸，其效果與式（3-3）類似。如果一個資產跑贏（跑輸）了整體組合，那么其多頭頭寸的權重將增加（減少）。對于空頭頭寸，結果恰好相反，我們有

換言之，如果一個資產跑輸（跑贏）了整體組合，那么其空頭頭寸的權重將增加（減少）。但是需要注意，空頭頭寸的增加意味著負向權重的絕對值縮小了。為了再平衡這個組合，我們必須賣出該資產。與之相反，一個空頭頭寸的減少意味著負向權重的絕對值變得更大了，那么再平衡操作將買入該資產。

觀察力敏銳的讀者可能會發現，在表3-6和表3-7所給的例子中，再平衡對多頭頭寸的操作分別是買入贏者和賣出輸者，這似乎與式（3-3）對多頭頭寸給出的推斷不一致。事實上這并不矛盾。在式（3-3）和式（3-15）中，相對收益都是對于組合整體而言的。在表3-6和表3-7的例子里，我們不太正式地用了兩個資產之間的相對表現來確定贏者和輸者。由于多空組合是一個杠桿組合，有可能發生所有資產都跑輸整體組合的情況（表3-6），也可能發生所有資產都跑贏整體組合的情況（表3-7）。因此，跑贏另一個資產的贏者有時可能還是跑輸了整體組合，而跑輸了另一個資產的輸者有時可能還是跑贏了整體組合。必須注意到，對于純多頭組合而言，這兩種特殊情況均不可能出現。

例3.4：為了說明多空組合再平衡的機理，我們來討論一個包含四個資產的投資組合，其中三個是多頭頭寸，一個是空頭頭寸。這個組合像一個加了杠桿的多頭組合，其中資產1是無風險資產，其他三個資產是風險資產。表3-8給出了權重。組合杠桿達到了300%。假設資產收益率分別為0%、1%、6%和2%，那么組合收益率為5%。組合權重都發生了漂移。資產1上是空頭頭寸，它的權重增加了，這是因為該資產的收益低于整體組合。資產2和資產4上是多頭頭寸，由于它們跑輸了整體組合，所以它們的權重都降低了。對于持有多頭頭寸的資產3，它的收益高于整體組合，因此它的權重增加了。為了再平衡這個組合，我們要賣出資產1和資產3而買入資產2和資產4。這項再平衡操作也將組合杠桿從290.5%恢復到300%。

表3-8　四資產組合的組合權重和收益率　（%）

一個相關的主題是多空組合的杠桿。前面我們提到過，杠桿倍數定義為組合權重絕對值之和，于是純多頭組合的杠桿倍數總是1，而多空組合的杠桿倍數總是大于1。因此，純多頭組合具有恒定的杠桿倍數，而多空組合的杠桿倍數會不斷變化。如果不進行再平衡，多空組合的杠桿隨著時間的積累可能就會發生非常顯著的漂移，對組合風險與收益特征產生很大的影響。

至此，我們展示的多空組合的例子似乎說明：如果多空組合產生了盈利（虧損），那么它的杠桿倍數將減少（增加）。下面我們將說明，情況并不總是如此。

對于前面討論過的兩資產多空組合，杠桿倍數由L=w₂-w₁>1給出。由于權重的漂移，新的杠桿倍數為

杠桿的變化量為ΔL=L^d-L。根據式（3-16），簡單的代數計算可以得出

由于w₁w₂<0，變化量ΔL的符號與資產2相對資產1的收益率差值的符號相反。當多頭跑贏空頭時，杠桿倍數下降；當多頭跑輸空頭時，杠桿倍數上升。在這兩種情形里，組合收益既可以為正，也可以為負（選擇合適的權重即可）。

對于包含多于兩個資產的一般多空組合，要推導所有資產權重的變化依賴于底層資產收益率的關系，這將變得復雜得多。一種簡化問題的方法是將資產分為兩組：一組是被做空的資產，另一組是被做多的資產。然后，整個組合就等同于在做空第一組資產的同時做多第二組資產，從而可以視為一個兩資產多空組合。于是，我們就可以借助前面對兩資產多空組合的討論推導出類似的結果。

我們定義分組整合后的多頭權重和空頭權重為

定義多頭資產和空頭資產的平均收益率為

于是，我們有L=w₊-w_->1以及R=w₊r₊+w_-r_-。之后就可以直接套用兩資產組合的結果，得到

及

因此，當多頭資產的加權平均收益率高于空頭資產的加權平均收益率時，杠桿就會降低。反之亦然。

只有當資產數目較少時，我們才有可能對每個資產進行針對研究。當資產數目較大時，把它們分成多頭資產和空頭資產兩組就是一個有用的技巧，我們將會在后續章節再次用到。