3.2　純多頭組合的再平衡

前面的例子顯示，純多頭組合的再平衡將導致買入前期收益較低的資產，同時賣出前期收益較高的資產。現在我們從數學上將這一觀察結論推廣到更一般的情形。需要強調的是，雖然接下來的公式對純多頭組合和多空組合并沒有什么差別，但我們將在下一節看到，純多頭組合再平衡的直觀機制與多空組合再平衡的直觀機制相當不同。

我們考慮一個包含M個資產的投資組合，權重為w=（w₁，w₂…，w_M）′，并且=1。假設這些資產在同一投資周期上的收益率為r=（r₁，r₂，…，r_M）′。那么組合收益率為R=w₁r₁+w₂r_r+…+w_Mr_M=w′·r。在這里我們省去了時間下標，因為此處我們只是研究組合權重在一個投資周期后的漂移量。

在經過一個投資周期后，組合權重漂移到

，并且組合權重的變化量為

對于純多頭組合，我們有

換言之，跑贏組合的資產的權重將增加，跑輸組合的資產的權重將減少。此外，一個資產的權重變化量正比于它的初始權重，以及它相對于組合的超額收益。

例3.1：考慮一個包含兩個資產的投資組合。根據式（3-2），我們有

當兩個資產的權重均為正時，收益率較高的資產的權重將會增加。從式（3-4）容易看出，如果期初一個資產的權重為零，或者投資期上兩個資產的收益率相等，那么期末的權重將不會發生變化。

對于給定的一組收益率，組合權重的變化將依賴于初始組合權重。權重變化的大小是很重要的研究課題，因為它們決定著組合的換手率，稍后我們將給出換手率的確切定義。權重變化的大小也與再平衡Alpha的量級有關。根據式（3-4），對于兩個資產權重均為正的純多頭組合，我們注意到分子在w₁=w₂=50%時取到最大值。然而，由于分母也同時依賴于權重，所以式（3-4）的最大值并不恰好在等權組合處取到。不過，等權組合點與最大值點也相距不遠（參見問題3.2）。

現在我們來定義再平衡導致的組合換手率，它就是各資產權重變化量絕對值的總和：

這個定義衡量了組合再平衡的單邊（只考慮買入或者只考慮賣出）換手率。將式（3-2）代入式（3-5）得到

這一公式中的近似部分在組合收益率較小時成立。

對于固定權重組合，每期的換手率隨當期實現收益率的情況而變化。預期換手率或者長期平均換手率有以下近似估計：

為了進一步推進，我們假設資產收益率服從正態分布。因此，單個資產與組合的收益率差值服從以下正態分布：

我們假設μ_i和μ分別是資產i和組合的平均收益率。收益率差值的方差（參見例2.5）為

σ_i和σ分別是資產i和組合的波動率，ρ_i，p是兩者的相關系數。當資產i與組合的平均收益率相等，或者其差異與收益率差值的波動率相比很小時，收益率差值絕對值的期望值可以推出解析表達式。我們用這個結果給出平均換手率的一個近似估計，即

從式（3-9）容易看出，波動率σ_i-R是資產i與組合的相關系數ρ_i，p的遞減函數。當所有的單個資產之間都高度正相關時，單個資產與組合整體之間也傾向于高度正相關，這將導致較低的換手率。

例3.2：對于一個包含兩個資產的投資組合

因此，

式（3-12）的好處在于它將換手率表示為單個資產的波動率及相關系數的函數，而不依賴于組合層面的特征。

例3.3：我們使用式（3-12）來估計第2章中討論過的兩個由四種資產構成的資產配置組合的再平衡操作的預期換手率。在表3-5中，我們羅列了四個資產類別的波動率和相關系數矩陣，這是基于它們自1970年至2014年的年度收益數據估計出來的。讓我們首先來考慮一個包含現金的兩資產組合。現金收益的波動率與其他資產類別相比太低了，以至于它對收益差值的波動率幾乎沒有什么貢獻。因此，我們可以使用風險資產的波動率來近似替代收益差值的波動率，即E（T）≈，其中我們假設資產1是現金而資產2是風險資產。根據公式，50/50的現金/債券組合的預期換手率為

表3-5　四個資產類別的波動率和相關系數矩陣

可以計算出，50/50的現金/股票組合的預期換手率是3.44%，50/50的現金/商品組合是4.92%。

對于一個股票/債券組合，兩種資產的收益差值的波動率為

這比股票資產自身的波動率略高一點。代入式（3-12），我們得到50/50的股票/債券組合的換手率為3.73%。