2.5.2　投資組合多期波動

單個資產的多期波動性受其序列自相關性的影響。然而，對于一個投資組合，單個資產的序列自相關性和不同資產之間的序列交叉相關性都會對其多期收益波動性產生影響。讓我們首先考慮一個包含兩種資產和兩個周期的投資組合。使用式（2-20）的符號，我們得到

那么，

式（2-41）右邊的方差是四個收益率項之和的方差。展開計算可得16個協方差項。形如cov（r₁₁，r₁₂）和cov（r₂₁，r₂₂）的協方差將涉及兩種資產各自的序列自相關性。而形如cov（r₁₁，r₂₂）和cov（r₂₁，r₁₂）的協方差則涉及兩種資產的序列交叉相關性。例如，cov（r₁₁，r₂₂）是資產1在周期1上的收益率與資產2在周期2上的收益率之間的協方差。

由式（2-41）展開得到的表達式相當煩瑣。我們用收益率向量和協方差矩陣來進行推導。如本章前面所述，令r₁=（r₁₁，…，r_M1）′為周期1上的收益率向量，令r₂=（r₁₂，…，r_M2）′為周期2上的收益率向量，依此類推。令w=（w₁，…，w_M）′為組合權重。那么多期收益率的方差為

于是我們有

其中Σ〈H〉是r₁+…+r_H的協方差矩陣。協方差矩陣Σ〈H〉等于許多協方差矩陣的和：

最后，Σ_h，g是周期h上的收益率r_h與周期g上的收益率r_g之間的協方差矩陣。我們可以將它寫作Σ_h，g=cov（r_h，r_g）。于是多期收益的方差就是

當兩個下標相同時，兩個收益率向量相同，跨期協方差矩陣就退化為普通的“同期”協方差矩陣，即Σ_h，g=Σ。在這種情況下，我們有w′Σw=σ²，這就是單期組合收益的波動率。因此

注意式（2-46）與式（2-38）形式類似。