2.4　組合收益與波動率

到目前為止，我們對算術收益率和幾何收益率、收益波動率以及它們之間的關系的討論都是針對單個資產的。我們現在引入資產組合的符號，包括組合權重、組合收益率和組合波動率。這些內容源自標準投資組合理論，適用于具有固定權重的投資組合。

假設我們有M個可投資資產，我們定義了一個資產組合，它有一組資產組合權重（w₁，w₂，…，w_M），可以用一個權重（列）向量w=（w₁，w₂，…，w_M）′表示。投資組合權重總和為1：

資金約束（式（2-19））可以用向量形式寫為w′·i=1，其中向量i=（1，1，…，1）′。投資組合權重是實數；對于僅限多頭的投資組合，它們是非負的，而對于多空組合，它們中的一些是負的。這里提出的公式和結果應該同時適用于多頭組合和多空組合。

在第i期，這些資產的收益為r_1i，r_2i，…，r_Mi，這也可以用收益向量來表示，即r_i=（r_1i，r_2i，…，r_Mi）′。于是，投資組合在周期i上的收益是

其中最后一個表達式是兩個向量的內積。

組合收益在N個周期上的算術平均為

換言之，投資組合收益的算術平均數是單個資產算術平均收益的加權平均數。如果我們用向量μ=（μ₁，μ₂，…，μ_M）′表示單個資產的算術平均收益，那么式（2-21）就可以寫成μ=w′·μ。我們把投資組合的幾何平均收益率的定義留到下一章。

投資組合波動率或方差可以用類似的定義，我們有

利用投資組合收益的向量形式和公式中的投資組合收益的算術平均值可以得出

矩陣Σ是資產收益的樣本協方差矩陣：

M×M的矩陣可以用其元素來表示：

協方差矩陣是對稱的，也是正定的（除非所有元素均為零）。對角線元素是單個資產的方差，定義為式（2-6），其變體在式（2-7）和式（2-8）中。非對角元素是成對資產之間的協方差，由下式給出：

通常用符號cov來表示協方差，即

其中向量r_i，r_j是資產i和資產j在N個周期上的收益向量。那么，單個資產的方差=var（r_i）=cov（r_i，r_i）。

投資組合的方差也可以用方差和協方差來重寫，我們可以得到

第一個求和項由單個資產的方差組成，第二個求和項由不同資產形成的所有成對的協方差組成。

協方差矩陣也可以用波動率和相關矩陣來表示。我們定義成對相關系數：

很容易證明|ρ_ij|≤1。那么，

矩陣C是相關矩陣，diag（σ₁，…，σ_M）是一個對角線矩陣，其對角線上的元素為單個資產的波動率。利用成對相關性，式（2-28）可以寫成

例2.4：考慮包含兩個資產的情況。投資組合方差變為

當兩個權重都非負時，我們有以下三種特殊的相關系數下的結果：

當相關系數為1時，投資組合波動率最高；當相關系數為-1時，投資組合波動率最低。相關系數越低，波動性越低。多元化收益隨相關系數的降低而增加。

例2.5：我們也可以在式（2-32）中取w₁=1和w₂=-1來推導出兩個資產收益率差值的波動率，即

值得注意的是，我們使用了σ_1-2來表示收益率差值的波動率。

在一些讀者看來，例2.5的權重不適合實際的投資組合，因為它們的和不等于1。這在嚴格意義上是正確的。然而，我們可以通過在資產1中投資100%（做多）、在資產2中投資-100%（做空）和在無風險資產中投資100%（做多）來使其成為一個實際的多空投資組合。此時，權重之和為1，這個多空投資組合的波動率將由式（2-34）給出。

例2.6：另一種特殊的多空組合是帶杠桿的純多頭組合。我們從一個純多頭組合開始，其正權重為w=（w₁，…，w_M）′，其中w₁+w₂+…+w_M=1。資產0代表無風險資產。杠桿投資組合可以通過從無風險資產中借入額外資金并將其投資于多頭組合來構建。假設w₀<0是無風險資產的權重。杠桿投資組合將具有權重

由于無風險資產沒有收益波動性，因此杠桿投資組合的波動率是原始純多頭組合波動率的（1-w₀）倍。L=（1-w₀）是投資組合的杠桿。我們指出，如果w₀>0，結果同樣有效。當0<w₀<1時，最終投資組合權重（式（2-35））均為正。當w₀>1時，最終投資組合做多無風險資產，而做空原始多頭組合。

[1] 原版中表示向量或矩陣轉置的符號為撇號（′），而不是常用的T，本書沿用原書符號。

[2] 原著中此處為“除非σ=0”。——譯者注

[3] 原著中式（2-31）第一個等號右端是w。——譯者注