2.3.2　實(shí)證檢驗(yàn)

從例2.3很難知道近似值（式（2-18））是否準(zhǔn)確。我們現(xiàn)在將其應(yīng)用于不同資產(chǎn)類別的實(shí)際歷史收益，包括現(xiàn)金、債券、股票和大宗商品。這些資產(chǎn)類別包括3個(gè)月期美國(guó)國(guó)債、10年期美國(guó)國(guó)債、標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)和商品指數(shù)（GSCI），用1970～2014年的年度收益率作為樣本。

在表2-1中列出了整個(gè)樣本的收益率統(tǒng)計(jì)。在表中，我們能看到g′=μ-σ²/2，誤差項(xiàng)e=g′-g，最后，e_r=|e/g|為相對(duì)誤差。我們首先注意到，所有資產(chǎn)類別的收益率都相當(dāng)高，標(biāo)準(zhǔn)普爾500指數(shù)的收益率最高。從波動(dòng)性來看，股票和大宗商品都有很大的風(fēng)險(xiǎn)。在風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整的基礎(chǔ)上，大宗商品的吸引力不如其他資產(chǎn)。我們稍后將正式定義夏普比率。

表2-1　1970～2014年的資產(chǎn)收益率統(tǒng)計(jì)

該表顯示，對(duì)于所有資產(chǎn)類別，g′=μ-σ²/2都非常接近g。特別是對(duì)于現(xiàn)金和股票，兩者之間的誤差大致為零。對(duì)于債券和大宗商品而言，誤差只有幾個(gè)基點(diǎn)（bps；一個(gè)基點(diǎn)是0.01%）。

在子樣本區(qū)間內(nèi)，近似值的精度略有下降。我們把45年分為兩個(gè)時(shí)期：1970～1992年和1993～2014年。表2-2和表2-3分別列出了收益統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。在這兩個(gè)時(shí)期內(nèi)，商品的幾何收益率的近似效果變差了，第一個(gè)時(shí)期的誤差為-35個(gè)基點(diǎn)，第二個(gè)時(shí)期的誤差為-17個(gè)基點(diǎn)。第二個(gè)時(shí)期股票的近似誤差也相對(duì)較高，為-19個(gè)基點(diǎn)。還應(yīng)注意的是，第二期的所有收益率都低于第一期，其中商品的收益率特別低，僅為1.38%。

表2-2　1970～1992年的資產(chǎn)收益率統(tǒng)計(jì)

表2-3　1993～2014年的資產(chǎn)收益率統(tǒng)計(jì)

雖然g′=μ-σ²/2的近似值大多是合理的，但結(jié)果確實(shí)表明，對(duì)于收益波動(dòng)率較高的資產(chǎn)，即本案例中的股票和大宗商品，誤差較大。這是有道理的，因?yàn)椋缥覀冎八懻摰?，誤差的量級(jí)可能是O（μσ²）。對(duì)于股票，μ和σ都較高。另外，當(dāng)g具有與μ相似的量級(jí)時(shí)，相對(duì)誤差的量級(jí)將為O（σ²）。

因此，需要對(duì)高波動(dòng)性資產(chǎn)做進(jìn)一步的研究。我們將通過研究帶杠桿的傳統(tǒng)資產(chǎn)組合而不是新的資產(chǎn)類別來研究高波動(dòng)性的情形。關(guān)于杠桿組合更正式的討論是后面章節(jié)的主題。這里，我們只使用商品杠桿投資來研究幾何平均值的近似值。杠桿作用是通過借入（或做空）額外現(xiàn)金并將資金投資于GSCI來實(shí)現(xiàn)的。杠桿投資組合的收益為

r_l=Lr-（L-1）r_f

參數(shù)L代表杠桿率，r代表風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率，r_f代表無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的收益率。

當(dāng)L=1時(shí)，代表沒有融資。如果L=2，即杠桿率為2:1，則融資金額等于投資資本金額。

我們將GSCI作為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。隨著杠桿率L的增大，r_l的收益波動(dòng)性也會(huì)相應(yīng)增大。問題是：g′=μ-σ²/2的精度會(huì)有什么變化？圖2-1顯示了杠桿率從1增加到2時(shí)杠桿商品投資的幾何收益率，以及基于式（2-16）的近似g′和其他更精確的近似值。對(duì)此我們有如下幾點(diǎn)說明：

·杠桿投資的幾何收益率隨著杠桿的增加而減少。不帶杠桿的GSCI具有接近8%的年化收益率。當(dāng)杠桿達(dá)到2時(shí)，年化收益率降至1%。這看起來有些反直覺，因?yàn)樯唐返氖找媛?%高于現(xiàn)金收益率（即融資成本）。如何解釋這種負(fù)向杠桿效應(yīng)正是本書的主題。簡(jiǎn)單的回答是杠桿投資每年的再平衡產(chǎn)生了負(fù)向的再平衡Alpha。然而，這有點(diǎn)超前于我們的討論。這里，我們只是用杠桿投資的收益率來檢測(cè)不同幾何收益率近似公式的精度。

·當(dāng)杠桿水平較低時(shí)，近似公式g′表現(xiàn)得相當(dāng)好。然而，隨著杠桿的增加，近似精度穩(wěn)定地下降。當(dāng)杠桿達(dá)到2時(shí)，g接近1%，而g′還在5%附近。同時(shí)，注意到g′總是高于而不是低于g。當(dāng)收益波動(dòng)率隨著杠桿增加時(shí)，近似誤差也不斷增加。這可能是由近似公式g′中省略的其他具有負(fù)系數(shù)的高階項(xiàng)所致，例如負(fù)的偏度。

如果我們?cè)谑剑?-16）中保留更多的項(xiàng)，那么近似公式就可以得到改進(jìn)。在圖2-1中，標(biāo)記了g4的曲線代表直到k=4的近似公式，它包含了方差之后的偏度項(xiàng)和峰度項(xiàng)。類似地，標(biāo)記了g8和g16的曲線分別代表直到k=8和k=16的近似公式。隨著包含項(xiàng)數(shù)的增加，近似精度不斷改善。從圖上可以看出，g16給出了最好的結(jié)果。然而，這些改進(jìn)所用到的包含更多項(xiàng)的近似公式太過復(fù)雜以至于無法用于組合再平衡的分析。我們的主要目標(biāo)是展示g′作為一個(gè)近似公式的局限性。此外，圖2-1還說明了我們分析的有效性根植于式（2-16）中的展開。

圖2-1　幾何收益率和近似收益率隨杠桿的變化

[1] 以上四項(xiàng)資產(chǎn)分別代表表2-1的現(xiàn)金、債券、股票及大宗商品。

[2] 從圖中可以看出，當(dāng)杠桿接近1.9時(shí)，近似公式g16的精度迅速變差。這可能是因?yàn)樵诟吒軛U倍數(shù)下，有一期收益率超出了式（2-14）中的約束條件。因此，泰勒展開（式（2-13））不再成立，進(jìn)而式（2-16）也不再成立。事實(shí)上，此時(shí)式（2-16）中的級(jí)數(shù)可能根本就不收斂。