2.3.1　解析近似

取式（2-3）的對數，我們有

當收益很小時，我們可以用r=0附近的泰勒（Taylor）展開式來近似代替上式右端的對數函數，即ln（1+r_i）≈。近似值的誤差是單期收益率的三次方。由于我們的目標是將幾何平均值g與算術平均值μ聯系起來，一種更直接的方法是將對數函數在μ附近展開：

右端級數的收斂條件如下：

當單期收益率大小適度時，式（2-14）的條件應該被滿足。然而，當某期收益是一個極端正向離群值，即遠高于其他各期收益時，上述條件可能就不被滿足了。

將式（2-13）代入式（2-12），得出

式中s_k這個項就是

例如，s₂是方差，s₃是波動率的立方乘以偏度，s₄是方差的平方乘以峰度，等等。取式（2-15）的指數函數，我們得到

如果我們只取級數的第一項，我們就有

通過用exp（x）≈1+x近似指數項，并在所得乘積中舍棄高階項，可以進一步簡化近似。我們得到

式（2-18）是算術平均數、幾何平均數和收益方差之間的線性關系。這使得許多研究，包括投資組合再平衡研究，在分析上變得可行。對于許多類型的投資收益來說，這也是相當準確的。例如，明德林（Mindlin，2011）檢驗了四種復雜度不同的幾何平均值近似公式的精度，發現盡管式（2-18）給出的結果通常不如更復雜的近似公式準確，但它對許多實用目的來說已經夠用了。

·式（2-18）相對于式（2-17）的近似誤差量級為O（μσ²）。當μ和σ都很小時，式（2-17）相對于式（2-16）的誤差比O（μσ²）更小。在此條件下，用μ-σ²/2近似替代幾何收益率的誤差量級為O（μσ²）。

例2.3：延續例2.1和例2.2，我們有μ=25%和σ=75%。因此，

實際幾何收益率為0%。近似值相對于真實值低估了3.13%。