2.3 動(dòng)量理論

風(fēng)力機(jī)動(dòng)量理論的基本出發(fā)點(diǎn)是計(jì)算流經(jīng)風(fēng)輪旋轉(zhuǎn)域的氣流流速變化，推出由于空氣氣流的動(dòng)量變化產(chǎn)生的葉片氣動(dòng)力。在數(shù)學(xué)形式上，可表示為氣流流速變化乘以質(zhì)量隨時(shí)間的變化率。葉片氣動(dòng)力變化也可由葉片上平均氣壓力差異求得，因此伯努利方程被應(yīng)用于下文闡述的流管理論中。

2.3.1 單流管模型

為計(jì)算葉片呈曲線分布的Darrieus風(fēng)力機(jī)的氣動(dòng)性能，加拿大航空航天研究所 （National Research Council-Institute for Aerospace Research，NRC-IAR）工程師R.J.Templin于1974年提出了基于動(dòng)量定理的單盤(pán)面單流管模型。該模型將風(fēng)力機(jī)的風(fēng)輪簡(jiǎn)化為被一個(gè)流管包圍的盤(pán)面，單流管模型示意如圖2-3所示，假定盤(pán)面上葉片的誘導(dǎo)速度均勻分布，將所有葉片經(jīng)過(guò)流管上游區(qū)域和下游區(qū)域的作用力合力作為該流管的外力，應(yīng)用動(dòng)量理論建立聯(lián)系這一外力和流管內(nèi)動(dòng)量變化的方程式，從而求解誘導(dǎo)速度，然后推導(dǎo)風(fēng)輪的氣動(dòng)性能。

圖2-3 單流管模型示意圖

單流管模型中引入了風(fēng)輪形狀參數(shù)，如葉片實(shí)度、徑高比，風(fēng)輪氣動(dòng)特性中的翼型升阻比被考慮其中，但是忽略了風(fēng)剪切效應(yīng)。

根據(jù)Glauert理論，通過(guò)風(fēng)輪制動(dòng)盤(pán)的速度v_D是來(lái)流風(fēng)速v和尾流速度v_w 的算術(shù)平均值，即

風(fēng)力機(jī)風(fēng)輪的運(yùn)行阻力F_D可表示為

基于動(dòng)壓和制動(dòng)盤(pán)的面積，其阻力系數(shù)為

將式 （2-20）代入，可得

基于環(huán)境動(dòng)壓，對(duì)于風(fēng)輪整機(jī)結(jié)構(gòu)的阻力系數(shù)，可表述為

對(duì)于Φ型Darrieus風(fēng)力機(jī)，其葉片型線通常為T(mén)roposkien曲線，采用徑高比 （截面旋轉(zhuǎn)直徑與高度比值），其型線又呈現(xiàn)拋物線分布，可表示為

式 （2-24）可采用無(wú)因次形式表述，即

其中

式中 r——局部截面旋轉(zhuǎn)半徑；

z——距離風(fēng)輪赤道平面的高度。

具有三葉片的Φ型Darrieus風(fēng)力機(jī)如圖2-4所示。對(duì)式 （2-24）進(jìn)行微分，可得到彎曲葉片局部?jī)A角為

圖2-4 具有三葉片的Φ型Darrieus風(fēng)力機(jī)

在單流管理論中，采用動(dòng)量葉素理論進(jìn)行風(fēng)輪氣動(dòng)力計(jì)算時(shí)，需要確定葉素的局部氣動(dòng)攻角和局部相對(duì)動(dòng)壓。對(duì)葉素合成入射氣流速度進(jìn)行分解，可得上述兩個(gè)參數(shù)的表達(dá)式為

假設(shè)風(fēng)輪在迎風(fēng)面的方位角ψ范圍為0°～180°，順風(fēng)面范圍為180°～360°。在定常氣流作用下，瞬時(shí)葉素的升力系數(shù)C_L 和阻力系數(shù)C_D是關(guān)于攻角α的函數(shù)，法向力系數(shù)C_N 和切向力系數(shù)C_T 的計(jì)算公式為

弦長(zhǎng)為c的葉素受到的法向微元力dN和前行推力dT可表述為

葉素的阻力可表示為

阻力的平均值可通過(guò)對(duì)風(fēng)輪旋轉(zhuǎn)一周 （0≤ψ≤2π）和在高度范圍 （-H≤z≤H）二次積分獲得。具有N個(gè)葉片、弦長(zhǎng)為c的Φ型Darrieus風(fēng)力機(jī)總阻力為

對(duì)于Φ型Darrieus風(fēng)力機(jī)，其旋轉(zhuǎn)制動(dòng)盤(pán)為對(duì)稱分布，可沿風(fēng)輪赤道面進(jìn)行分割，取上半部分積分求解，結(jié)果乘以2倍。并且拋物線葉片旋轉(zhuǎn)形成的制動(dòng)盤(pán)有效面積約為S，因此，制動(dòng)盤(pán)的阻力系數(shù)可表述為

風(fēng)輪轉(zhuǎn)矩僅由作用在葉素上的切向力分量產(chǎn)生，對(duì)于長(zhǎng)度為dz/cosδ的單個(gè)葉素，其轉(zhuǎn)矩可表示為

風(fēng)輪的扭矩隨著葉片的方位角和高度變化而改變，對(duì)前述兩個(gè)變量 （ψ，z）進(jìn)行積分并乘以葉片個(gè)數(shù)可得風(fēng)輪總扭矩為

進(jìn)而風(fēng)力機(jī)的輸出功率可表示為

2.3.2 多流管模型

多流管理論的空氣動(dòng)力學(xué)模型同樣基于Glauert的葉素理論，它利用流動(dòng)方向的動(dòng)量方程為基本原理。假設(shè)有若干個(gè)流管穿過(guò)風(fēng)輪，其中每個(gè)流管中流體速度不盡相同，它們對(duì)葉片產(chǎn)生的作用力也各不相同。圖2-5為多流管模型示意圖，圖中選取多流管模型中一個(gè)流管穿過(guò)風(fēng)輪，流管的橫截面積為A_s=ΔhrΔψsinψ，其中 Δh為流管垂直高度， rΔψsinψ為流管的寬度。假定流管的橫截面積在穿過(guò)風(fēng)輪時(shí)是恒定不變的，只有在流進(jìn)風(fēng)輪和流出風(fēng)輪時(shí)才發(fā)生變化。設(shè)定流管中的絕對(duì)風(fēng)速為v_s（z，ψ），它是風(fēng)輪制動(dòng)盤(pán)內(nèi)高度和方位角的函數(shù)。

多流管動(dòng)量模型相對(duì)于單流管模型計(jì)算結(jié)果更加精確，在一系列穿過(guò)風(fēng)輪的流管中，每個(gè)流管的計(jì)算又是以單流管理論為基礎(chǔ)，雖然多流管理論對(duì)于風(fēng)輪整個(gè)流場(chǎng)的描述并不是很精確，但是它能夠較好地描述葉片上的受力分布，不僅如此，還能夠方便地引入風(fēng)剪切效應(yīng)的影響。

圖2-5 多流管模型示意圖

2.3.2.1 基本假設(shè)

（1）流體為正壓、不可壓縮、無(wú)旋的定常流動(dòng)。

（2）各流管之間的流動(dòng)互不干涉，彼此互相獨(dú)立。

（3）流動(dòng)是穩(wěn)定的。

（4）流體的流動(dòng)方向與風(fēng)輪主軸的方向垂直。

2.3.2.2 單流管動(dòng)量理論的引入

由于風(fēng)輪的擾動(dòng)，假設(shè)流管中產(chǎn)生的平均阻力為，流管中絕對(duì)風(fēng)速為v_s，流管的截面面積為A_s，根據(jù)式 （2-20），可表示為

計(jì)算作用在葉片單元上的力，假設(shè)風(fēng)輪有N個(gè)葉片，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，葉片單元通過(guò)流管時(shí)受到的氣動(dòng)力為F_x，注意到每個(gè)葉片每旋轉(zhuǎn)一周時(shí)在流管中所花費(fèi)的時(shí)間份額是Δψ/π，因此，在流管中的平均氣動(dòng)力可表示為

將式 （2-40）和式 （2-41）聯(lián)立，可得

為了簡(jiǎn)便描述葉片的作用力，式 （2-42）左側(cè)可以簡(jiǎn)化為，記

2.3.2.3 葉片受力分析

從式 （2-42）中可以看出，單葉片上的氣動(dòng)力可通過(guò)求解流管中的風(fēng)速與上游風(fēng)速的比求出。該氣動(dòng)力沿著流管中氣流反方向，可分解為沿著風(fēng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)方向的切向作用力F_T 和垂直于該轉(zhuǎn)動(dòng)方向的法向作用力F_N，葉素作用力示意如圖2-6所示，以及順著翼展方向的力。當(dāng)葉片單元對(duì)整個(gè)風(fēng)輪產(chǎn)生扭矩時(shí)，順翼展方向的力對(duì)其作用很小，并且對(duì)F_x的增量也小，因此可以將其省略。其中切向作用力的方向與弦長(zhǎng)的方向是相同的，因此可通過(guò)求解F_N 和F_T 求出氣動(dòng)力F_x。

圖2-6 葉素作用力示意圖

F _N 和F_T 兩個(gè)力的分布以及其合力的向量關(guān)系可在圖2-6中體現(xiàn)出來(lái)，其中合力F_x的方向與流管中氣流方向一致，從而可得

由空氣動(dòng)力學(xué)基本理論，F_N 和F_T 可表示成如下形式

式中——翼旋的平面面積；

v _R——?dú)饬髁飨蛞砻娴南鄬?duì)速度。

將式 （2-45）中的兩個(gè)方向風(fēng)力用無(wú)量綱形式表示為

式中 v_T——風(fēng)輪赤道位置處最大葉尖速度。

關(guān)于升力、阻力系數(shù)C_L、C_D的公式為

結(jié)合式 （2-30）、式 （2-31），可得到葉片葉素微元的氣動(dòng)力合力無(wú)量綱表達(dá)式為

2.3.2.4 相對(duì)速度向量

攻角和翼型橫截面上的相對(duì)速度關(guān)系可以通過(guò)圖2-7葉素相對(duì)速度向量的關(guān)系得到，進(jìn)而可以得到攻角的表達(dá)式為

葉素翼型截面上的相對(duì)速度v_R可表示為

2.3.2.5 迭代法求解動(dòng)量方程

首先定義誘導(dǎo)因子a為

將式 （2-51）與式 （2-42）、式 （2-43）聯(lián)立，得到氣流流動(dòng)方向上的動(dòng)量方程為

以式 （2-52）為基礎(chǔ)方程，通過(guò)迭代方法求解流管中的動(dòng)量方程。為誘導(dǎo)因子a的函數(shù)，迭代求解該函數(shù)可近似求解a，其中求解過(guò)程遵循以下程序，通過(guò)這種方法可以求出對(duì)于某一個(gè)流管中的近似氣流流動(dòng)情況。

（1）假設(shè)誘導(dǎo)因子a為零，即v_s=v。

圖2-7 葉素相對(duì)速度向量

（2）通過(guò)式 （2-49）求出攻角α。

（3）通過(guò)葉片選用翼型的升、阻力系數(shù)C_L、C_D 求出系數(shù)C_N、C_T，其中翼型的升、阻力系數(shù)可通過(guò)試驗(yàn)或數(shù)據(jù)庫(kù)獲取。

（4）通過(guò)式 （2-50）求出相對(duì)速度v_R。

（5）通過(guò)式 （2-48）求出。

（6）利用所獲得的α、值代入式 （2-52）右側(cè)，即可獲得新的誘導(dǎo)因子a。

然后利用新的誘導(dǎo)因子a值，重復(fù)上述步驟，設(shè)定精度值ε，當(dāng)a_N+1-a_N＜ε時(shí)，停止迭代，這樣就可獲得各流管氣動(dòng)力結(jié)果。

2.3.2.6 風(fēng)輪的功率系數(shù)

通過(guò)上述步驟，一旦求解出動(dòng)量方程，當(dāng)葉素穿過(guò)流管時(shí)所產(chǎn)生的扭矩便可以獲得，即

為了求解給定方位角ψ時(shí)的葉片扭矩，必須將每個(gè)葉片所劃分的葉素單元求解獲得的T_S進(jìn)行求和或積分。假設(shè)每個(gè)葉片被劃分了N_s個(gè)葉素，每個(gè)葉素的長(zhǎng)度可以通過(guò)前述表達(dá)式Δh/sinδ來(lái)確定，同時(shí)也得出作用在這個(gè)葉素中心的扭矩值，這樣便可以求得此時(shí)整根葉片上的扭矩，即

為了求得整個(gè)風(fēng)輪上的N個(gè)葉片作用在轉(zhuǎn)軸上的扭矩，可以將整體扭矩T_B數(shù)值乘以N，將葉片葉素旋轉(zhuǎn)一周劃分為N_t份，結(jié)合在方位角ψ上求得的扭矩T_S，定義Δψ=π/N_t，便可以求出作用在整個(gè)風(fēng)輪上的平均扭矩

每當(dāng)風(fēng)輪旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，作用在風(fēng)輪上的平均功率即可求出，則風(fēng)輪的功率系數(shù)表示為

2.3.3 雙制動(dòng)盤(pán)多流管理論

1981年美國(guó)國(guó)家航空航天局 （National Aeronautics and Space Administration，NASA）工程師ParaschivoiuⅠ為評(píng)估Darrieus風(fēng)力機(jī)氣動(dòng)性能，提出了雙制動(dòng)盤(pán)多流管理論。該理論將風(fēng)輪旋轉(zhuǎn)域均分為上風(fēng)向和下風(fēng)向串聯(lián)的制動(dòng)盤(pán)，旋轉(zhuǎn)域內(nèi)的誘導(dǎo)速度可在上、下風(fēng)向兩個(gè)區(qū)域內(nèi)分別求出，雙制動(dòng)盤(pán)多流管模型如圖2-8所示。穿過(guò)旋轉(zhuǎn)平面的流場(chǎng)被分為若干流管，在流管邊界上的壓力變化對(duì)附近流管中的動(dòng)量平衡微不足道，因此每個(gè)流管中的氣動(dòng)計(jì)算可視為相對(duì)獨(dú)立的。

圖2-8 雙制動(dòng)盤(pán)多流管模型

每個(gè)流管中上下風(fēng)向的流體速度不一致，并且在高度方向上有著風(fēng)速廓線分布規(guī)律，在雙制動(dòng)盤(pán)多流管模型中，忽略氣流中的湍流和陣風(fēng)效應(yīng)，只考慮風(fēng)速的平均效應(yīng)，因此風(fēng)速分布具有二維效應(yīng)，垂直軸風(fēng)力機(jī)風(fēng)場(chǎng)效果如圖2-9所示。風(fēng)速廓線分布規(guī)律表示為

式中 v_i——豎直方向局部自由來(lái)流風(fēng)速；

v _e——赤道來(lái)流風(fēng)速；

Z _i——豎直方向參考高度；

Z _EQ——風(fēng)輪赤道圓位置高度；

α _w——風(fēng)速廓線因子。

圖2-9 垂直軸風(fēng)力機(jī)風(fēng)場(chǎng)效果

流管中的氣流速度受到上下制動(dòng)盤(pán)的作用，假設(shè)制動(dòng)盤(pán)1處于上風(fēng)向，在該制動(dòng)盤(pán)內(nèi)葉片旋轉(zhuǎn)角度范圍為 （-π/2≤ψ≤π/2）；制動(dòng)盤(pán)2處于下風(fēng)向，在該制動(dòng)盤(pán)內(nèi)葉片旋轉(zhuǎn)角度范圍為 （π/2≤ψ≤3π/2）。由于受到制動(dòng)盤(pán)作用，流體速度沿流管逐漸減小，即下風(fēng)向區(qū)域的氣流誘導(dǎo)速度低于平衡速度區(qū)域的流速，而平衡速度區(qū)域流速低于上風(fēng)向氣流誘導(dǎo)速度，即

式中 v_up，v_dw——上風(fēng)向、下風(fēng)向氣流誘導(dǎo)風(fēng)速；

v _e——平衡速度區(qū)域內(nèi)誘導(dǎo)風(fēng)速；

v _w——尾流速度。

根據(jù)誘導(dǎo)關(guān)系，存在如下關(guān)系

式中 μ——上風(fēng)向區(qū)域誘導(dǎo)因子；

μ′——下風(fēng)向區(qū)域誘導(dǎo)因子。

根據(jù)風(fēng)輪方位角定義，上風(fēng)向的葉片葉素的合成入流速度W和局部攻角α可定義為

其中

而在下風(fēng)向，葉素的合成入流速度W′和攻角α′由對(duì)應(yīng)的局部坐標(biāo)系中參數(shù)X′=rω/v_dw和v_dw代替。對(duì)于上風(fēng)向區(qū)域，風(fēng)輪的法向推力F_N 和切向力F_T 可表達(dá)為

式中 H——風(fēng)輪的高度；

S——風(fēng)輪沿風(fēng)向投影面積。

在下風(fēng)向，其推力和切向力系數(shù)由對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系參數(shù)表示。

在雙制動(dòng)盤(pán)多流管模型中，未考慮葉片的動(dòng)態(tài)失速，因此風(fēng)輪在上、下風(fēng)向區(qū)域內(nèi)其平均轉(zhuǎn)矩系數(shù)可表示為

而風(fēng)輪旋轉(zhuǎn)一周內(nèi)，功率輸出系數(shù)是上下游轉(zhuǎn)矩系數(shù)的加權(quán)，可表示為

式中 λ_EQ——風(fēng)輪赤道半徑位置的葉尖速比。