2.4 渦流模型

在闡述渦流理論模型之前，需要將流體中漩渦進行描述。當(dāng)流體繞任一軸線 （直線或曲線）旋轉(zhuǎn)，都會存在漩渦，這種渦的結(jié)構(gòu)是渦切向速度大小與到切點中心的距離成反比。即渦中心的速度可以是無窮大，當(dāng)然這種情況并不存在。渦核是由于剛性物體一起旋轉(zhuǎn)的流體組成的。渦結(jié)構(gòu)與積分路徑如圖2-10所示。

圖2-10 渦結(jié)構(gòu)與積分路徑

渦核的半徑與流體流動情況有關(guān)，渦只能在黏性流體中存在，盡管渦對運動消耗能量，但是渦可以和流體運動一樣自由運動。對于無黏流體，如果有渦存在，那么它不需要任何能量就可以保持其運動狀態(tài)，并且在渦核處有無限大的切向速度。所以渦核在剛性體的邊界處必須終止或者形成閉環(huán)。對于理想的二維流動，渦核被假設(shè)為在第三方向上是無限長度。

在渦理論中，最重要的量就是環(huán)量Γ，環(huán)量的定義為速度沿一平面的邊界S積分，即

式中 v——沿著包圍漩渦的閉合曲線S的速度向量。

相對于動量和質(zhì)量守恒定理，渦理論基于開爾文定理，認為環(huán)量Γ對時間的導(dǎo)數(shù)為零，即

根據(jù)庫塔 儒可夫斯基 （Kutta-Joukowski）條件，流體在葉片上每一段產(chǎn)生的升力可由來流風(fēng)速v、流體密度ρ和環(huán)量Γ表示為

通常葉片翼型攻角變化會產(chǎn)生不同的升力，這就意味著，翼型周圍環(huán)量也發(fā)生變化，為對環(huán)量進行補償，另一個環(huán)量會在翼型尾流中生成，圖2-11顯示了翼型和其尾流中對應(yīng)于某一瞬時升力L時的兩個相對應(yīng)的環(huán)量Γ_airfoil、Γ_wake。環(huán)量會隨著尾流向下延伸，并在一段距離后消失。

對于風(fēng)力機葉片或有限長度機翼上的附著渦，它們不可能在葉片兩端簡單的終止，而以脫落的形式在兩端延伸，理論上這個渦可以延伸至無窮遠處，但是由于空氣的黏性作用，脫落的渦會在葉片后方一段距離處消失，葉片渦尾跡結(jié)構(gòu)如圖2-12所示。

圖2-11 環(huán)量的組成

圖2-12 葉片渦尾跡結(jié)構(gòu)

2.4.1 預(yù)定尾渦模型

渦方法最早被用于求解直升機空氣動力學(xué)問題，但是先前的渦瞬態(tài)推進算法常存在收斂問題，之后穩(wěn)定狀態(tài)的渦尾跡方法被提出。該方法又被分為松弛尾跡法和預(yù)定尾跡法。

預(yù)定渦尾跡法是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)，先假定渦旋單元的位置，一旦尾跡結(jié)構(gòu)預(yù)定，則可計算誘導(dǎo)速度沿著葉片的環(huán)量分布。直升機懸停狀態(tài)的尾跡可視化試驗奠定了采用預(yù)定渦尾跡法求解直升機懸停狀態(tài)的氣動問題基礎(chǔ)。如圖2-13所示為預(yù)定渦尾跡形狀。

圖2-13（a）假設(shè)二維翼型運行路徑，當(dāng)翼型在A點和B點之間移動時，與來流氣流平行，在這一路徑上，翼型不產(chǎn)生升力。當(dāng)翼型經(jīng)過拐點B時，其運行方向與平行氣流垂直，會同時生成升力L和環(huán)量Γ_u。當(dāng)運行至C點時，其運動方向在此發(fā)生變化，生成方向相反的脫落渦。圖2-13（b）為運行翼型的尾渦渦系分布示意圖。當(dāng)渦層向下游以恒定的速度v_c對流時，可得到

式中 Γ_u，Γ_D——附著渦環(huán)量；

γ _u，γ_D——渦層強度；

f——翼型運動的周頻率。

將單流管動量方法引入，設(shè)定流管寬度非常小，即BC?AB，對稱分布的兩半有限渦層AB和CD，速度在上游的突變可表示為

圖2-13 預(yù)定渦尾跡形狀

式中 v_u——上游風(fēng)速；

a _u——風(fēng)力機尾流中上游位置處的誘導(dǎo)因子。

兩半無限渦層 （γ_u+γ_D），速度在下游突變可表示為

式中 v_d——下游風(fēng)速；

a _D——風(fēng)力機尾流中下游位置處的誘導(dǎo)因子。

在無限遠處尾流中，由于兩層強度為γ_u+γ_D的渦層作用，速度突變可表示為

可得到兩個重要的關(guān)系式

利用動量理論可得到誘導(dǎo)因子a，隨后可利用預(yù)定渦理論確定上、下游誘導(dǎo)因子。

2.4.2 自由尾跡渦模型

垂直軸風(fēng)力機自由尾跡渦模型將動葉片看作是由沿其展向一系列的片段組成，單葉素渦系如圖2-14所示。翼型葉素用附著渦絲或升力線代替，渦絲及升力線可充分地表達距離翼型弦長一倍以外的流場?；?Helmholtz渦量理論，附著渦與每一尾緣尖渦的強度相同。

根據(jù)開爾文定律，展向脫落渦等于附著渦強度的變化。脫落渦系以當(dāng)?shù)亓魉僮杂蓪α鳎鴾u絲能夠拉伸、平移及旋轉(zhuǎn)，隨時間變化。所有由渦絲產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度與未擾動風(fēng)速疊加便得到流場中任意一點的流動速度。

圖2-14 單葉素渦系

圖2-15 渦絲上一點的誘導(dǎo)速度

如圖2-15所示，當(dāng)渦絲長度為l、強度為Γ時，由Biot-Savart定律可得其對任意點P的誘導(dǎo)速度v_P為

式中 e——r×l方向上的單位向量。

采用翼型數(shù)據(jù)或者升力面的表示方法，可采用誘導(dǎo)速度確定作用于每段葉片上的升力和阻力。Kutta-Joukowski定理給出了附著渦強度Γ_B 與葉素展向單位長度上升力的關(guān)系。升力也可根據(jù)翼型截面升力系數(shù)C_l表示。采用這兩種升力的表示方法，可確定特定葉片片段上附著渦強度與誘導(dǎo)速度的關(guān)系為

式中 c——葉片弦長；

v _r——翼型截面的當(dāng)?shù)叵鄬λ俣取?/p>