3.2 貨幣的時間價值

貨幣的時間價值是指貨幣經歷一定時間的投資和再投資所增加的價值，也稱為資金的時間價值。在財務管理中，貨幣的時間價值地位關鍵，在籌資、投資以及經營的決策和計劃當中都需要考慮。正是由于考慮了貨幣的時間價值，才能夠將不同時間點的不同現金流量折算到相同的時間點進行比較分析，使決策分析更加科學。本節中主要介紹了貨幣時間價值的一些常見的計算公式，這些公式不僅在企業財務決策中起重要作用，對我們的日常理財也頗有裨益。

3.2.1 單利終值

終值又稱將來值（F），是指現在一定量的資金折算到未來某一時點所對應的金額。單利終值指按單利計算出來的資金未來的價值，也就是按單利計算出來的本金與未來利息之和。

單利終值計算公式如下：

單利終值F=P×（1+i×n）

式中：P——本金；

i——年利率。

例3-7 楊先生第1年年初存入銀行現金1000元，年利率為3%，在單利計息的情況下，請分別計算一年后楊先生可以領取本利和多少錢，如果兩年后領取，則是多少。

【解析】第1年年末終值=1000×（1+3%×1）=1030（元）；

第2年年末終值=1000×（1+3%×2）=1060（元）

3.2.2 單利現值

現值（P）是指未來某一時點上的一定量資金折算到現在所對應的金額。單利現值是指按照單利計息的方式，將未來的資金折算到現在的價值。單利現值計算公式如下：

單利現值P=F/（1+i×n）

例3-8 楊先生將一筆資金存入銀行，已知銀行存款的年利率為3%。在單利計息的情況下，兩年后楊先生從銀行共領取到本利合計1 060元，請計算本金額。

【解析】假定本金為P，兩年后本利和F，則由題可知P=1060÷（1+3%×2）=1000（元）。

3.2.3 復利終值

復利終值是指在每經過一個計息期后，都要將所生利息加入本金，以計算下期的利息。這樣，在每一計息期，上一個計息期的利息都要成為生息的本金，即以利生利，也就是俗稱的“利生利”。具體如圖3-4所示：

復利終值計算公式如下：

復利終值F=P×（1+i）ⁿ，（1+i）ⁿ稱為復利終值系數，即（F/P，i，n）。

例3-9 楊先生以復利計息的方式借入1000元，年利率為8%，假定在第四年年末償還。請計算需要償還的本息和。

【解析】F=P×（1+i）ⁿ=1000×（1+8%）⁵=1360.489（元）

3.2.4 復利現值

復利現值是復利終值的對稱概念，是指未來一定時間的特定資金按復利計息方式折算的現在價值，或者說是為取得將來一定復利計息的本利和，現在所需要的本金。具體如圖3-5所示：

復利現值計算公式如下：

復利現值P=F/（1+i）ⁿ，1/（1+i）ⁿ稱為復利終值系數，即（P/F，i，n）。

提示 復利終值和復利現值互為逆運算，復利終值系數（1+i）ⁿ和復利現值系數1/（1+i）ⁿ互為倒數。

例3-10 A公司計劃購置一件新設備，有兩種支付方式：一是現在一次性付80萬元，二是5年后支付100萬元。如果現在的銀行利率是7%，請分別使用終值、現值的計息方式做出決策，使用哪種支付方式更合理。

【解析】

（1）用終值進行判斷：

方案1付款終值F=80×（F/P，7%，5）=80×1.4026=112.21（萬元）

方案2付款終值F=100（萬元）

方案2的付款終值小于方案1的付款終值，應選擇方案2。

（2）用現值進行判斷：

方案1付款現值P=80（萬元）

方案2付款現值P=F×（P/F，i，n）=100×（P/F，7%，5）=100×0.713=71.3（萬元）

方案2付款現值小于方案1，應選擇方案2。

3.2.5 普通年金終值

年金是指一定時期內系列等額收付的款項。其特點是：其一，金額相等；其二，時間間隔相等。普通年金是指從第一期開始每期期末收款、付款的年金。具體如圖3-6所示：

普通年金終值是指最后一次收、付時的本利和。它是每次收、付的復利終值之和。按復利換算到最后一期期末的終值，然后加總，就是該年金終值。如果年金相當于零存整取儲蓄存款的零存數，那么年金終值就是零存整取的整取數。普通年金終值計算公式如下：

普通年金終值，被稱為年金終值系數，即（F/A，i，n）。

例3-11 楊先生為退休生活做準備，從現在起每年年末向銀行存入10000元，直至退休為止共15年，銀行存款利率為3%，請計算到楊先生退休當年可以領取的本利和共多少錢。

【解析】由題可知，A=10000，n=15，i=3%，（F/A，3%，15）=18.59

則F=10000×（F/A，3%，15）=185900（元）。

3.2.6 即付年金終值

即付年金又稱預付年金，是指從第一期開始每期期初收款、付款的年金，即付年金與普通年金的區別在于付款時間的不同。如圖3-7所示：

即付年金終值是一定時期內每期期初等額收付款項的復利終值之和。即付年金終值的計算通過調整普通年金終值來實現。

提示1 先求普通年金終值，再調整計息期，即兩者的付款期相同，但是即付年金終值比普通年金終值的計息期多一期，如圖3-8所示：

即付年金終值：F=A×（F/A，i，n）×（1+i）

提示2 先調整計息期，這時（n+1）期的即付年金終值與n期的普通年金終值的計息期相同，但是前者比后者多一期付息期，需要再減去A，如圖3-9所示：

即付年金終值：F=A×[（F/A，i，n+1）-1]

例3-12 A企業為了提高自身創新能力，設立了創新基金，每年年初投入100萬元，當時銀行利率為10%，請計算五年后該創新基金的本利和。

【解析】方法一：100×（F/A，10%，5）（1+10%）=671.56（萬元）；

方法二：100×[（F/A，10%，6）-1]=671.56（萬元）。

3.2.7 遞延年金終值

遞延年金又稱“延期年金”，是指在最初若干期沒有收付款項的情況下，后面若干期等額的系列收付款項。它是普通年金的特殊形式，計算遞延年金終值和計算普通年金終值基本一樣，只要注意扣除遞延期即可。如圖3-10所示：

遞延年金終值：F=A×（F/A，i，n）

例3-13 楊先生今年50歲，投資了一份商業分紅保險，前三年無須繳納保金，從第四年年末開始每年年末繳納保金1000元，保險年收益為5%。請計算到60歲退休時，楊先生可以連本帶息提取的本息和數額。

【解析】楊先生從50歲開始投保到60歲提取保金本息和，共10年，前三年不用繳納保金，遞延期為三年，第四年開始共繳納7年，即m=3，A=1000，n=7，i=5%。

則本息和=A×（F/A，i，n）=1000×8.142=8142（元）

3.2.8 普通年金現值

普通年金現值是指為在每期期末收付相等金額的款項，現在需要投入或收取的金額。具體如圖3-11所示：

普通年金現值：，被稱為年金現值系數，即（P/A，i，n）。

例3-14 A公司2018年處置其所屬的一棟商業大廈，有甲、乙兩個購買方采取分期付款的購置方式。甲方從獲取大廈當年開始，每年年末向A公司交納10萬元的開采費，直到10年后開采結束。乙公司的投標書表示，直接付給A公司40萬元，在第8年年末再付給60 萬元。如A公司要求的年投資回報率達到15%，問應接受哪個公司的投標？

【解析】通過計算現值的方式，比較現值大小，即：

甲公司普通年金現值P=A×（P/A，i，n）=10×（P/A，15%，10）=10×5.0188=50.188（萬元）；

乙公司現值如下：第1筆收款（40萬元）發生在0時點，其現值就是40（萬元）；

第2筆收款（60萬元）的現值=60×（P/F，15%，8）=60×0.3269=19.614（萬元）；

現值合計=40+19.614=59.614（萬元）

甲公司付出的款項現值小于乙公司付出的款項的現值，因此，A公司應接受乙公司的購買。

3.2.9 即付年金現值

即付年金是指在每期期初收付的年金，又稱預付年金或期初年金。即付年金現值是指將每期期初收付的年金款項折算到當期得到的數額，計算時，一般通過調整普通年金現值來實現。

提示1 先求普通年金現值，再調整折現期，即兩者的收付款期相同，但是即付年金現值比普通年金現值的折現期少一期，需要再乘上普通年金現值多折現的系數，如圖3-12所示：

即付年金現值：P=A×（P/A，i，n）×（1+i）

提示2（n-1）期的普通年金現值的折現期與n期的即付年金現值相等，但是收付款期要少一期，需要再加上少的那一期年金，如圖3-13所示：

即付年金現值：P=A×[（P/A，i，n-1）+1]

例3-15 A公司財務部的助理在計算公司新創基金現值時發現，該基金每年年初支付等額的100萬元，連續支付5年，已知年利率為8%，且普通年金現值系數（P/A，8%，5）=3.992 7，請計算A公司該基金項目的現值額。

【解析】利率為8%，年金個數為5的預付年金現值系數=（P/A，8%，5）×（1+8%）=4.3121；

則A公司該基金的現值=100×4.3121=431.21（萬元）。

3.2.10 遞延年金現值

遞延年金是指在第二期或第二期以后收付的年金，這里的遞延是相對于普通年金而言的，由于普通年金是從第一期期末開始收付的，所以，在計算遞延年金現值的時候需要根據普通年金現值進行調整。具體如下：

提示1 將整個時期劃分為兩個階段，先求出遞延期m點以后各期年金的普通年金現值，再將該m點的普通年金現值從遞延期期末折現到當期0 點。如圖3-14所示：

遞延年金現值：P=A×（P/A，i，n）×（P/F，i，m）

提示2 先假定遞延期也照常款項收付，計算遞延期的普通年金現值，再計算遞延期+收付款期的普通年金現值，將后者減去前者的差額即為遞延年金現值。如圖3-15所示：

遞延年金現值：P=A×（P/A，i，m+n）-A×（P/A，i，m）

提示3 先求收付款期的年金終值，再將終值按照“遞延期+收付款期”復利折現。如圖3-16所示：

遞延年金現值：P=A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m+n）

例3-16 A企業2017年計劃投資一項基金為以后轉型升級做準備，該基金前三年無須支付款項，后五年每年年初支付500萬元，假定年利率10%，請計算該基金的現值。

【解析】A公司該基金屬于遞延年金，遞延期為2，現值=500×（P/A，10%，5）×（P/F，10%，2）=500×3.791×0.826=1565.68（萬元）

3.2.11 永續年金現值

永續年金是指無限期的收入或支出相等金額的年金，也稱永久年金。它是普通年金的一種特殊形式，永續年金期限趨于無限，沒有終止時間，所以又稱無限期的普通年金。它沒有終止值，只有現值。永續年金現值計算公式如下：

永續年金現值：P=A/i

例3-17 A公司在2017年為增效創收，投資了一項基金，該基金沒有終止期限，每年年末可以提取30 萬元，已知銀行利率為3%，請計算A公司該基金的現值。

【解析】該基金屬于永續年金，A=30，i=3%，則現值=30÷3%=1000（萬元）。

3.2.12 償債基金

一般企業為了償還到期債務的本息和，常常在債務的存續期設立基金，按期等額繳納年金，以便在債務到期時恰好使用基金本息和償還債務本息和。償債基金實質上是普通年金終值的逆運算，即已知普通年金終值，求普通年金額。如圖3-17所示：

償債基金計算公式如下：

償債基金：A=F/（F/A，i，n），1/（F/A，i，n）稱為“償債基金系數”，即（A/F，i，n）

提示 普通年金終值系數與償債基金系數互為倒數。

例3-18 已知A企業向B企業借款修筑廠房，簽訂協議10年后歸還本息和1000萬元，銀行存款利率為2%，A企業為了保證到期足額償還B企業的借款，設立了償債基金，每年年末需要向基金繳存的年金。請計算該年金的數額。

【解析】已知終值求年金，即計算償債基金。

該年金A=1000/（F/A，2%，10）=1000÷10.95=91.3242（萬元）

3.2.13 年資本回收額

年資本回收額是指在約定年限內等額回收初始投入資本或清償所欠債務的金額。每次等額回收或清償的數額相當于年金，初始投入的資本或所欠的債務就是年金現值。實質上是已知普通年金現值，求普通年金額。如圖3-18所示：

年資本回收額計算公式如下：

年資本回收額：A=P/（P/A，i，n），1/（P/A，i，n）稱為資本回收系數，即（A/P，i，n）

提示1 普通年金現值系數與投資回收系數互為倒數。

例3-19 A企業在2017年年末考察一個基金項目，初始投資額為1000萬元，銀行利率為2%，已知項目協議中規定，基金收益期為10年，且每期期末收益額相等，請計算每期期末收益額為多少時，A企業才會進行投資。

【解析】已知初始投資額為1000萬元，且協議收益期10年，每年年末收益相等，通過求年資本回收額進行投資決策。

年資本回收額A=P/（P/A，i，n）=1000÷（P/A，2%，10）=1000÷8.9826=111.33（萬元），則當年收益額≥111.33萬元時，A企業才會進行投資。

提示2 本節的指標框架體系如圖3-19所示：