5.9 半導體隧穿效應與隧穿電流

半導體中載流子的輸運，除了漂移、擴散、產生與復合等，還有一種輸運現象，即隧穿效應和由其形成的隧穿電流。

與經典力學不同，量子力學認為，微觀粒子能以一定的比例穿越勢壘。例如，電子能穿越勢壘，形成隧穿電流，這就是隧穿效應。

隧穿電流密度I_t可表示為透射系數T與入射電流密度I_t0的乘積，即

隧穿效應所形成的隧穿電流的大小取決于入射電流（單位時間內射入的粒子數量）大小和透射系數。透射系數也稱隧穿概率。

入射的電子流的一般表達式為

式中，A為橫截面積，n為電子濃度，υ_n為電子速度。

透射系數與勢壘寬度、勢壘高度和勢壘形狀等因素有關。通過求解量子力學中的薛定諤波動方程可以獲得透射系數。

為了對隧穿效應和透射系數有清晰的了解，在此先討論電子穿透勢壘高度為qV₀、寬度為w的一維矩形勢壘的隧穿效應，如圖5-19（a）和（b）所示。通過直接求解薛定諤波動方程^[1]，獲得透射系數的數學表達式。

設兩個孤立半導體之間的距離為Δx，勢壘高度為qV₀等于電子親和能χ，電子在勢壘區域內外的行為可由薛定諤方程描述。

在勢壘以外的區域（Ⅰ區、Ⅲ區），qV（x）=0，薛定諤波動方程為

式中，m^?為有效質量，?為約化普朗克常量，E為電子的動能，Ψ為電子的波函數。勢壘區以外，Ⅰ區的通解為

Ⅲ區的通解為

式中，波矢。

如果將式（5-206）和式（5-207）的兩邊乘以因子，按第3章3.3節所述，即可知等號右側前一項的意義是沿x方向傳播的平面波，后一項的意義是沿x相反方向傳播的平面波。因此，式（5-206）表示x≤0區域振幅為A的入射電子波函數及振幅為B_R的反射波函數，式（5-207）表示x≥Δx區域振幅為C_T的透射電子波函數及振幅為的反射波函數。由于x≥Δx區域沒有反射界面，所以沒有反射波，。振幅A是已知的。透射波和反射波都是德布羅意波。

由于我們最關心的是透射系數，其定義為

透射系數T的量子力學意義為透過勢壘的電子出現的概率與入射的電子出現的概率之比值。

有了透射系數就可以計算隧穿電流。要從上面這些式子導出透射系數T，無須知道入射波振幅的絕對值，所以為了簡化計算，令入射電子波函數的振幅A=1，于是B_R和C_T的意義分別轉變為反射電子波函數的相對（歸一化）振幅B_R和透射電子波函數的相對振幅C_T，透射系數變為（C_T）²。式（5-206）和式（5-207）可寫為

在勢壘區域的Ⅱ區，勢壘高度qV（x）。設勢壘區的V（x）=V₀，波動方程為

或

對于E＜qV₀，其解為

式中，

在此，將電子在勢壘中的運動用類似于自由粒子那樣以平面波來描述。按照量子力學原理，其波矢為虛數（ik′）。k′與電子的動量p′相對應，。這種隧穿模型稱為彈道模型。勢壘內部的波是按指數形式衰減的，衰減的速率與勢壘高度（qV₀-E）和勢壘寬度Δx相關。如果勢壘寬度足夠小，波函數的振幅衰減不到零，就會有一定概率的電子穿過勢壘，這就是粒子隧穿。顯然這種效應是由粒子的波動性導致的。

穿透一維矩形勢壘的波函數示意圖如圖5-19（c）所示。

根據電子流守恒規律，在x=0及x=Δx處，波函數Ψ和必須滿足在勢壘邊界上的連續性要求，可得邊界條件為

由此4個邊界條件可得到聯系C_T、B_R、G和H的方程式，即在x=0處：

在x=Δx處：

以上4式消去F和G后，得到反射系數|B_R|²：

按照電荷守恒定律，有

式中，為電子的入射速度，為電子穿透勢壘后的出射速度。

通常設，于是可得：

將k和k′的表達式代入式（5-224），并考慮到當k′Δx?1，即（qV₀-E）?時，

按照式（5-208），電子穿透勢壘的透射系數T可近似地表示為

式中，qV₀＞E。

當電子能量E遠小于勢壘高度qV₀，E在附近時，

式（5-225）表述了透射系數與隧穿距離Δx、勢壘高度qV₀等因素的關系，它隨隧穿距離Δx和勢壘高度qV₀的增大呈指數形式衰減。為了得到較大的透射系數T，需要減小隧穿距離Δx和降低勢壘高度qV₀。

在第6章中，我們將結合半導體pn結擊穿現象，針對三角形勢壘和其他形狀的勢壘，采用簡單的近似方法，推導透射系數和隧穿電流公式；在第8章中，我們將介紹WKB準經典近似方法求解勢壘隧穿公式；在第9章中，我們將進一步討論MIS結構中的界面態隧穿等物理過程。

深入了解隧穿效應對高效太陽電池的設計有重要意義。