2.2 層狀球體介質模型LMT正演理論

2.2.1 LMT理論的假設

如前所述，LMT是在MT的理論基礎上發展起來的方法，是MT方法的補充和擴展，所以MT理論中的基本假設前提對LMT同樣適用，其中最為關鍵的理論基礎是平面波假設。除了兩極和赤道地區會影響場源平面波模型假設的正確性，長期以來，研究者們還對該模型的適用性提出了異議。Wait（1954）和Price（1962）提出，在相當于電磁波穿透深度的水平距離范圍之內，如果外場是均勻的，那么對大地電磁測深來說就可以認為場源是均勻的平面波；如果電磁波場的橫向范圍并不遠大于其穿透深度，那么Cagniard（1953）所提出的MT理論公式將不能成立，必須引入相應的校正項。Dmitriev和Berdichevskiy（1979）則撰文證明了Wait-Price準則過于嚴格，他們認為在一維大地的情況下，即使場源在水平方向上線性變化，Tikhonov-Cagniard模型也是合理的。Madden和Nelson（1964）則認為，Cagniard（1953）最初關于MT理論中平面波的假設普遍適用于中緯度地區周期小于10⁵s的測深。

本書所研究的層狀球體LMT一維正反演理論是基于場源平面波模型的假設前提，適用于中緯度地區。

2.2.2 平面波入射均勻介質球體的波阻抗

在寬頻帶大地電磁測深法的一維正演理論中，介質被假設為水平層狀的［見圖2-1（a）］。在LMT一維正演理論中，采用的是層狀球體介質模型［見圖2-1（b）］，圖2-1（b）表示一個n層球狀地電斷面，各層的視電阻率為ρ₁,ρ₂,…,ρ_n，每一層上頂面相對于地心的半徑為r₁,r₂,…,r_n。

為了研究平面波入射到層狀介質球體的MT正演理論，先從最基本的均勻介質球體入手，即平面電磁波沿 z 軸入射到半徑為 a 的介質球，如圖2-2所示。

電磁場可以分為相對于球徑方向的TM和TE極化波兩部分（簡稱TM波和TE波）。由Maxwell方程組中的▽· H =0和▽· E=0及矢量場論可知，任一矢量的旋度的散度恒等于零，故可以引入磁矢量A和電矢量F：

TM波球徑方向的磁場H=0，矢量磁位僅有球徑方向的分量A=A_re_r；而TE波球徑方向的電場E=0，則矢量電位為F=F_re_r。由此可導出Lorentz規范條件下的矢量位方程

式中， k=(w²με-iwμσ)^1/2為均勻介質球中的復波數。以TM波為例，在球坐標系中將式（2-16）展開為

將式（2-17）各項同時除以r ，利用式（2-18）可將式（2-17）改寫成式（2-19）。

式中，▽²為三維拉普拉斯算符。

由此可見，( A_r/r )滿足齊次標量的Helmholtz方程。

對于TE波，則有

令，和分別稱為TM波和TE波的Debye位，通過求解式（2-19）和式（2-20）可得到Debye位，進而得到矢量位，再由矢量位可導出電磁場（徐建華，1997）：

展開式（2-21）即可用Debye位表示出各電磁場分量：

在導出E_r和H_r的表達式時再次用到式（2-18）。當只存在TM波或TE波時，只需令或。

據式（2-19）和式（2-20）的通解可寫出Debye位的一般形式：

式中，為締合Lengendre函數， f (r)滿足Bessel方程

方程的解 f (r)為第一類和第二類n階Bessel函數或Hankel函數或其線性組合。

本書只考慮TE模式的情況，并忽略位移電流（μεω² <<μσω），將Debye位的一般形式代入式（2-22），則均勻球體內磁場和電場的n次諧波的各分量可表示為

式中，或；f (r)取為第一類和第二類球Bessel函數的組合：

式中，j_n(x)和η_n(x)分別為n階第一類和第二類球Bessel函數；Bη_n(kr)表示反射波。

對于均勻球體介質，假設對電磁波全部吸收，即B=0，則阻抗為

或

2.2.3 平面波入射多層介質球體的正演理論

從式（2-27）和式（2-28）看出，阻抗與θ和φ無關，只與 f (r)有關。因此，球內半徑為r處的阻抗為

為了方便表述正演公式，假設

對于一個兩層同心球體，則在同一層的頂面（r=r₁）和底面（r=r₂）且r₂＜r₁處， Z₁和Z₂分別為

兩個方程中有相同的待定系數A與B，因此可用Z₂表示Z₁，從而得到相鄰兩層之間的阻抗變換關系。

將Z₂代入Z₁中，可得

同理，對于一個n層同心球體，第m層阻抗可由第m+1層表示：

最內層的球體表面阻抗與均勻球體介質相同，已由式（2-27）和式（2-28）給出。則從底層開始，由式（2-34）迭代公式可一層層地向上遞推求出球表面阻抗Z₁。

由阻抗則可求得球表面的視電阻率和阻抗相位：

圖2-3所示為層狀球體介質模型的LMT正演流程圖。