2.1 LMT的數學物理基礎

LMT是寬頻帶MT技術的補充和擴展，是指觀測信號的頻率范圍在低頻段擴展到n ×10⁴ s時的大地電磁測深技術，滿足Maxwell方程組：

B =μ H , j=σE,D=εE

式中，ε、μ和σ分別為介質的介電常數、磁導率和電導率；E 為電場強度；B 為磁感應強度或磁通密度；D 為電通量密度或電位移矢量；H 為磁場矢量。

式（2-2）兩邊取旋度，并用μH代替B ，可得

將式（2-1）代入式（2-5），有

利用矢量恒等式及式（2-3），式（2-6）左端為

式（2-6）簡化為

式（2-8）稱為電場的波動方程式。

對磁場矢量，同樣有

取時間因子為e^-iωt，式（2-8）簡化為

對磁場矢量，同樣有

式（2-10）和式（2-11）中，▽²為拉普拉斯算符，ω為圓頻率（角頻率）。以上兩式是諧變電磁場頻率域的波動方程，也稱為電場和磁場的亥姆霍茲方程。μεω² 表示位移電流的作用，μσω表示傳導電流的作用。研究表明，當頻率小于10⁵ Hz時，對大地介質來講，μεω² <<μσω，即在大地電磁方法中，相對于傳導電流，位移電流的影響可以忽略。得到電場和磁場的擴散方程形式：

從Maxwell方程組出發，得到了電磁場的擴散方程。同熱傳導過程類似，電磁場的擴散作用也依賴時間（周期）。在大地電磁測深中，把地球內部的電磁感應現象對擴散周期的依賴稱為“趨膚效應”，通常把取決于有效信號周期的電磁波穿透深度稱為“趨膚深度”（波在地下介質傳播中振幅衰減到地面振幅的1/e的深度），即趨膚深度可以由式（2-14）給出：

式中， p (T )為周期為T的電磁波的趨膚深度；為電磁波通過的介質的平均電導率。

從能量的觀點看，電磁場在地下導電空間的傳播過程，必然伴隨“能量”的損耗，使電磁場的振幅隨傳播距離衰減，相位也隨之改變。當電磁場為諧變場時，其趨膚深度和波長都與巖石的視電阻率成正比，與電磁場的頻率成反比；這就意味著電磁場對地球的探測深度與頻率及地球內部的電性結構有關，頻率不同的電磁場，探測深度不同。在巖石導電性一定的條件下，電磁場的頻率越高，探測深度越小；反之，探測深度越大。而對于頻率一定的電磁場，當地下巖石的視電阻率越高，其探測深度越大；反之，探測深度則越小；當測量的大地電磁信號低頻達到n × 10^-4 Hz時，其探測深度可達到下地殼及上地幔。