3.4 dq轉子坐標系的PMSM動態數學模型

3.2節中分析的PMSM動態數學模型是建立在三相靜止坐標系的，其中的電感矩陣非常復雜，這是因為三相定子繞組之間的耦合情況與轉子的位置密切相關。采用坐標變換可以將該數學模型變換到任意一個兩相坐標系中，這樣，耦合情況有可能會得到簡化。如果選取的兩相坐標系是將d軸始終定位在轉子磁極軸線上的轉子坐標系的話，電感矩陣將會簡化為常數，數學模型得到極大簡化。

3.4.1 dq坐標系PMSM動態數學模型推導

根據3.3節的推導，可以利用下述的變換矩陣將ABC坐標系中三相靜止定子繞組的電流變量變換到dq轉子坐標系中兩相旋轉繞組中的電流變量：

采用上述坐標變換原理，可以把交流電動機不同的繞組變換為同一個坐標系（dq坐標系）中的繞組。電動機的電壓、磁鏈等物理量的變換矩陣與上述的電流變換矩陣相同。這樣就可以將上一節中復雜的數學模型進行化簡，得到下面的永磁同步電動機的數學模型。

1.定子電壓方程

u_d=R₁i_d+pψ_d-ωψ_q

u_q=R₁i_q+pψ_q+ωψd （3-55）

式中 ω——轉子旋轉電角速度；

p——微分算子。該式可以描述為式3-56的矢量形式。

u^2r₁=R₁·i^2r₁+pψ^2r₁+jωψ^2r₁ （3-56）

以電壓為例，如下式所示，矢量由其實部與虛部共同構成。

u^2r₁=u_d+ju_q （3-57）

2.定子磁鏈方程

ψ_d=ψ_f+L_di_d

ψ_q=L_qiq （3-58）

由于PMSM轉子永磁體產生的是正弦分布磁場，所以當該磁場變換到轉子坐標系以后僅與定子繞組中的d繞組匝鏈（即上式中的ψ_f項——一相定子繞組中永磁磁鏈的幅值），而與q繞組沒有匝鏈（BLDCM則不同）。式3-58也可以表述為式3-59的矩陣形式和式3-60的矢量形式。

ψ^2r₁=[L]^2r·i^2r₁+ψ^2r_f （3-59）

ψ^2r₁=（L_di_d+jL_qi_q）+（ψ_f+j0） （3-60）

3.電磁轉矩方程

T_e=1.5n_p（ψ_di_q-ψ_qi_d） （3-61）

4.運動平衡方程

3.4.2 基于MATLAB的PMSM數學模型化簡

1.三相ABC坐標系中對稱電流變換到dq坐標系電流

在MATLAB命令窗口中鍵入如下命令：

其中st為轉子位置電角度，bt為定子A相電流的電角度，對idq進行簡化。

simple（idq）

最后在MATLAB中可以得到如下簡化形式：

ans=

ima*cos（bt-st）

ima*sin（bt-st）

將此變換結果采用下式描述。

i_d=i_macos （β-θ）

i_q=i_masin（β-θ） （3-62）

從上式中可以看出，恒定的電流矢量變換到轉子dq坐標系（速度恒定）后還是一個恒定的旋轉電流矢量，其幅值沒有變化，只不過在原來的相角中減去dq坐標系的相角。如果電流矢量旋轉速度與dq坐標系旋轉速度相等，那么式中的相角差（即bt-st）是一個恒定值。此時，電流矢量在dq坐標系中變成了一個恒定的靜止的電流矢量，它的兩個分量均保持不變。如果可以控制相角差，那么電流的兩個分量也就可以控制了。不過這兩個電流分量的物理含義需要進一步深入理解。

2.永磁體匝鏈到定子繞組的永磁磁鏈變換到dq坐標系

MATLAB中命令如下：

注意，永磁磁鏈的相位角和轉子位置是同一個角，簡化fdq后，結果如下所示：

simple（fdq）

ans=

ff

0

簡化的最終結果如上式所示。可以看出匝鏈到定子繞組的正弦波永磁磁場在轉子dq坐標系中的描述非常簡單。它僅在d軸上有分量，且為一相定子繞組永磁磁鏈的幅值，q軸上分量為0。上述結果可以用下式描述

3.三相ABC坐標系PMSM數學模型中的電感矩陣變換到dq坐標系

在dq坐標系中，式3-2的矩陣描述為

（ψ₁（θ，i））^2r=（ψ₁₁（θ，i））^2r+（ψ₁₂（θ））^2r （3-64）

前面剛剛推導出下式：

下面著重對定子電流產生的定子繞組磁鏈部分進行變換，目標是下式中的電感矩陣（L）^2r。

（ψ₁₁（θ，i））^2r=（L）^2r·（i₁）^2r （3-66）

根據前述方法，對式3-26的兩側同時進行坐標變換，如下式所示。

顯然，目標電感矩陣（L）^2r應該按下式進行計算：

（L）^2r=C_2s→2r·C_3s→2s·（L）^3s·C_2s→3s·C_2r→2s （3-68）

式3-68中的電感矩陣（L）^3s即是式3-26中的電感矩陣。在MATLAB中鍵入如下命令逐步進行分析：

然后繼續進行簡化，如下：

simple（l2r）

MATLAB中簡化的最終結果如下：

參考式3-14、3-22，該結果描述為

L_d=L_s0+M_s0-3/2L_s2=L₁+3/2L_AAd

L_q=L_s0+M_s0+3/2L_s2=L₁+3/2LAAq （3-69）

所以前面分析的目標矩陣（L）^2r就可以表示為

4.三相ABC坐標系與dq坐標系中電磁轉矩公式對比

由于轉矩公式非常復雜，這里僅針對三相對稱正弦定子電流下的電動機轉矩公式對比，前面已經給出了化簡后的轉矩公式，見式3-42。dq坐標系中轉矩分析如下：

對比一下，可以發現公式3-61與公式3-42完全吻合，轉矩公式變換前后保持了一致。當然，式3-61形式上更為簡單一點，使用頻率較多。

必須強調的是：公式3-61與3-71中的永磁磁鏈指的是一相定子繞組中永磁磁鏈的幅值，公式中的dq軸電流在三相坐標系與兩相坐標系的變換中采用了式3-48與3-49，即這里的電流指的是定子繞組相電流的幅值。當然，也可以采用其他的變換，但是如果上述變量和變換矩陣的使用不統一，那么建立的模型就是錯誤的，是自相矛盾的，也就無法用來對電動機進行正確的分析。

3.4.3 PMSM等效電路圖

圖3-6與圖3-7分別給出了PMSM在d軸與q軸上的動態等效電路，電壓方程與磁鏈方程都體現在電路中。

圖3-6 PMSM的d軸動態等效電路

圖3-6的d軸等效電路中定子側有旋轉電動勢（為轉子電角速度與q軸磁鏈乘積），另外轉子側有勵磁電流，氣隙磁場由永磁體與定子d軸電樞反應磁場共同構成。

圖3-7的q軸等效電路中定子側有旋轉電動勢（為轉子電角速度與d軸磁鏈乘積），q軸氣隙磁場為q軸定子電樞反應磁場。

當電動機運行于穩態時，dq軸的電流、磁鏈與電壓均是恒定的直流量，公式3-55、3-56中的磁鏈微分項為0。所以穩態下，圖3-6與圖3-7中虛線兩端都處于等電位上。

圖3-7 PMSM的q軸動態等效電路