3.3 坐標(biāo)變換

在對(duì)交流電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行化簡(jiǎn)的過(guò)程中，需要引入不同的坐標(biāo)系，并將某些物理量在不同坐標(biāo)系之間進(jìn)行變換，這就是坐標(biāo)變換。常用的坐標(biāo)系如圖3-5所示。圖3-5a是一個(gè)由ABC三個(gè)坐標(biāo)軸構(gòu)成的三相靜止坐標(biāo)系，它就是圖3-1中的三相ABC定子坐標(biāo)系（3s坐標(biāo)系），每個(gè)坐標(biāo)軸上有一個(gè)等效繞組。圖3-5b是一個(gè)靜止的兩相平面直角坐標(biāo)系（2s坐標(biāo)系），其中α軸與圖3-5a中的A軸線重合，β軸超前α軸90°，同樣兩個(gè)坐標(biāo)軸（α與β）上分別各有一個(gè)繞組。圖3-5c給出的是一個(gè)以速度ω旋轉(zhuǎn)的平面直角坐標(biāo)系（2r坐標(biāo)系），兩個(gè)坐標(biāo)軸（d與q，其中q軸超前d軸90°）上也分別各有一個(gè)繞組。

可以設(shè)想：如果電動(dòng)機(jī)的定子三相繞組可以采用圖3-5c中的繞組等效，并且dq坐標(biāo)系與轉(zhuǎn)子坐標(biāo)系（圖3-1a中的dq坐標(biāo)系）重合的話，那么dq軸上新的定子繞組與轉(zhuǎn)子就相對(duì)靜止，它們之間的互感也就不會(huì)與轉(zhuǎn)子位置θ有關(guān)系了，電感矩陣將會(huì)得到極大地簡(jiǎn)化。下面分析三種坐標(biāo)系中的繞組如何等效，同時(shí)分析不同坐標(biāo)系繞組中的物理量（電壓、電流等）之間如何進(jìn)行等效變換。

圖3-5 不同坐標(biāo)系及繞組的示意圖

a）3s坐標(biāo)系 b）2s坐標(biāo)系 c）2r坐標(biāo)系

電動(dòng)機(jī)內(nèi)的氣隙磁場(chǎng)是進(jìn)行電磁能量傳遞的媒介，定、轉(zhuǎn)子間能量的傳遞正是通過(guò)氣隙磁場(chǎng)進(jìn)行的。不同類型的繞組進(jìn)行變換時(shí)，需要保證它們產(chǎn)生的總磁動(dòng)勢(shì)不變。只有遵守這一原則，才能保證電動(dòng)機(jī)能量轉(zhuǎn)換關(guān)系不變。

圖3-5a中三相對(duì)稱定子繞組的每相匝數(shù)均為N₃，那么三相繞組產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)空間矢量在靜止坐標(biāo)系中采用復(fù)數(shù)可以表示為

上式中f^2s_3s的下角標(biāo)3s表示該磁動(dòng)勢(shì)由3s坐標(biāo)系繞組產(chǎn)生，上角標(biāo)2s表示描述該磁動(dòng)勢(shì)的坐標(biāo)系，這里即是兩相靜止αβ坐標(biāo)系。本書變量中上角標(biāo)的含義與此相同。

圖3-5b中兩相靜止繞組的每相繞組匝數(shù)為N₂，兩相繞組產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)空間矢量為

圖3-5c中兩相旋轉(zhuǎn)繞組的每相繞組匝數(shù)為N₂，兩相繞組產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)空間矢量為

令A(yù)BC繞組、αβ繞組產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)相等，即

可以推導(dǎo)出下式：

上式中，通常取N₃/N₂=2/3，這樣推導(dǎo)的三相電流與兩相電流的幅值是相等的。采用其他的變換系數(shù)也是可行的，不過(guò)各物理量之間進(jìn)行坐標(biāo)變換時(shí)較容易弄錯(cuò)，在第4章的末尾將會(huì)對(duì)此通過(guò)MATLAB仿真進(jìn)一步對(duì)比說(shuō)明。此時(shí)根據(jù)式3-47推出3s坐標(biāo)系中ABC繞組的電流與2s坐標(biāo)系中αβ繞組的電流之間的變換矩陣分別為式3-48和式3-49。

可以進(jìn)行驗(yàn)算，C_3s→2s·C_2s→3s是一個(gè)二維單位矩陣；C_2s→3s·C_3s→2s的結(jié)果雖然不是三維單位矩陣，但是對(duì)于三相三線系統(tǒng)中的一組變量（電壓、電流、磁鏈等），若滿足三相變量之和等于0，其坐標(biāo)變換結(jié)果與三維單位矩陣是等效的。物理量在經(jīng)過(guò)兩次變換后均能夠保持不變——這樣的變換才是正確的。

根據(jù)αβ繞組與dq繞組產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)相等，有

f^2s_2s=f^2s_2r （3-50）

可以推導(dǎo)出下式

根據(jù)上式推導(dǎo)出的2s坐標(biāo)系中αβ繞組的電流與2r坐標(biāo)系中dq繞組的電流之間的變換矩陣為

上述的變換關(guān)系表明，如果不同坐標(biāo)系中繞組的電流滿足上述變換公式，那么它們產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)是等效的，遵循了該原則的繞組變換才是有意義的。