3.2 三相靜止坐標系的PMSM動態(tài)數(shù)學模型

下面從基本電磁關系出發(fā)，推導出交流永磁電動機統(tǒng)一化的動態(tài)數(shù)學模型，為不失一般性，假定電動機的轉子具有凸極結構。電動機的數(shù)學模型包括四組方程：電壓方程、磁鏈方程、轉矩方程與運動方程。因為永磁同步電動機只有定子繞組，沒有轉子繞組，因此電壓方程和磁鏈方程僅僅需要列寫定子側方程即可。

3.2.1 定子電壓方程

在ABC坐標系中，可以列出三相定子電壓方程矩陣形式為

（u₁）=（R）·（i₁）+p（ψ₁（θ，i）） （3-1）

式中：（u₁）為定子繞組相電壓矩陣，（u₁）=（u_Au_Bu_C）^T，u_A、u_B、u_C分別為三相定子繞組相電壓（V）；（i₁）為定子繞組相電流矩陣，（i₁）=（i_Ai_Bi_C）^T，i_A、i_B、i_C分別為三相定子繞組相電流（A）；（R）為定子繞組相電阻矩陣，，R₁為三相對稱定子繞組一相電阻（Ω）；p=d/dt為微分算子；為定子相繞組磁鏈矩陣，ψ_A（θ，i）、ψ_B（θ，i）、ψ_C（θ，i）分別為三相定子繞組的全磁鏈（Wb）；θ為圖3-1中d軸與A軸夾角的空間電角度。

3.2.2 定子磁鏈方程

三相定子繞組的全磁鏈（ψ₁（θ，i））可以表示為

（ψ₁（θ，i））=（ψ₁₁（θ，i））+（ψ₁₂（θ）） （3-2）

其中（ψ₁₂（θ））矩陣是永磁體磁場匝鏈到定子繞組的永磁磁鏈矩陣。

ψ_fA（θ）、ψ_fB（θ）、ψ_fC（θ）分別為永磁體磁場交鏈A、B、C三相定子繞組的永磁磁鏈分量（Wb），與定子電流無關。對于一臺確定的電動機，永磁磁鏈僅與轉子位置θ有關。

式3-2中的（ψ₁₁（θ，i））是定子繞組電流產(chǎn)生的磁場匝鏈到定子繞組自身的磁鏈分量：

式中 L_AA、L_BB、L_CC——三相定子繞組的自感（H）；

M_AB、M_AC、M_BA、M_BC、M_CA、M_CB——三相定子繞組之間的互感（H）。

下面對式3-4中的電感系數(shù)分別進行分析。

1.定子繞組的漏自感和自感

永磁同步電動機定子繞組中通入三相電流后，由電流產(chǎn)生的磁通分為兩部分：一部分為漏磁通，與漏磁通相對應的電感與轉子位置無關，為一個恒定值；另一部分為主磁通，該磁通穿過氣隙且與其他兩相定子繞組交鏈，當電動機轉子轉動時，凸極效應會引起主磁通路徑的磁阻變化，對應的電感系數(shù)也相應發(fā)生變化。在距離d軸角度為θ的點Q處，單位面積的氣隙磁導λ_δ（θ）可以足夠精確地表示為

λ_δ（θ）=λ_δ0-λ_δ2cos2θ （3-5）

式中 λ_δ0——氣隙磁導的平均值；

λ_δ2——氣隙磁導的二次諧波幅值。

公式3-5描述的氣隙磁導與轉子位置角θ之間的關系描繪在圖3-3中。當θ=0°時，d軸方向氣隙磁導為

λ_δd=λ_δ0-λ_δ2 （3-6）

當θ=90°時，q軸方向氣隙磁導為

λ_δq=λ_δ0+λ_δ2 （3-7）

注意，式3-5、3-6、3-7與電勵磁同步電動機的公式略有不同，因為兩類電動機中d、q軸的氣隙磁導規(guī)律不同（永磁同步電動機中，d軸電感小于或者近似等于q軸電感，電勵磁同步電動機則反之）。為了更加符合PMSM情況，將公式略作修改，但并不影響最終推導的d、q軸電感以及磁鏈和轉矩方程的表達式。

所以可以得到

為了對比的更加清楚，圖3-3中還繪制了定子繞組三相電流的示意圖。這三相電流在轉子位置從0°到360°的變化過程中都呈現(xiàn)一個周期的變化，在此過程中，因而氣隙磁導出現(xiàn)了兩個周期。

圖3-3 氣隙磁導波形圖

另外，圖3-3中所示的三相定子電流中僅含有勵磁分量（d軸分量），不含有轉矩分量（q軸分量）。若希望電動機能夠輸出非零轉矩，那么圖中的電流相位必須發(fā)生改變。結合后面的轉矩公式可以更好地理解這一點。

以A相定子繞組為例，當通入電流i_A時，在A相定子繞組軸線方向的磁動勢F_A與Q點處單位面積的氣隙磁導λ_δ（θ）對應的A相定子繞組氣隙磁鏈ψ_Aδ（θ）滿足如下關系：

式中 K——氣隙磁鏈和磁動勢、氣隙磁導的比例系數(shù)；

N_A——A相繞組的匝數(shù)。且L_AAd=K·N_A·λ_δd，L_AAq=K·N_A·λ_δq。

根據(jù)漏自感和自感的定義，A相定子繞組的漏自感L_Aσ和自感L_AA分別表示為

兩式中，L_l為漏自感的平均值，與A相定子繞組漏磁鏈ψ_Aσ有關，與轉子位置無關；L_s0為A相定子繞組自感的平均值，L_s2為A相定子繞組自感二次諧波的幅值。可以看出，有以下關系式成立

L_s0=L₁+（L_AAd+L_AAq）/2 （3-14）

L_s2=（L_AAq-L_AAd）/2 （3-15）

由于B相定子繞組和C相定子繞組與A相定子繞組在空間互差120°，可以認為A、B、C三相定子繞組各自的漏電感相等，即有

L_Aσ=L_Bσ=L_Cσ=L_l （3-16）

因而將式3-13中θ分別用（θ-120°）和（θ+120°）替代，可以求得A、B、C三相定子繞組的自感為

L_AA=L_s0-L_s2cos2θ

L_BB=L_s0-L_s2cos2（θ-120°）

L_CC=L_s0-L_s2cos2（θ+120°） （3-17）

2.定子繞組的互感

當A相定子繞組通入電流i_A時，在A相定子繞組軸線方向的磁動勢F_A可以分解為d軸方向的直軸磁動勢分量F_Ad和q軸方向的交軸磁動勢分量F_Aq。

F_Ad=N_A·i_Acosθ

F_Aq=N_A·i_Asinθ （3-18）

直軸磁動勢分量F_Ad和交軸磁動勢分量F_Aq分別產(chǎn)生各自的磁鏈分量ψ_Ad（θ）和ψ_Aq（θ）為

ψ_Ad（θ）=K·F_Ad·λ_δd=K·N_Aλ_δd·i_Acosθ

ψ_Aq（θ）=K·F_Aq·λ_δq=K·N_Aλ_δq·i_Asinθ （3-19）

由于d軸與B相定子繞組軸線相差（θ-120°），ψ_Ad（θ）與B相定子繞組交鏈的部分為ψ_Ad（θ）cos（θ-120°）；ψ_Aq（θ）與B相定子繞組交鏈的部分為ψ_Aq（θ）sin（θ-120°）；因此，A相定子繞組電流i_A經(jīng)過氣隙與B相定子繞組交鏈的磁鏈ψ_BAδ（θ）表示為

A相定子繞組與B相定子繞組的互感M_BA可以表示為

式中 M_s0——A相、B相定子繞組互感平均值的絕對值；

M_s2——A相、B相互感的二次諧波的幅值。

它們滿足

由于空間的對稱性，當B相定子繞組通入電流i_B時，B相定子繞組與A相定子繞組的互感可表示為

M_AB=-M_s0+M_s2cos2（θ+30°） （3-24）

因而將式3-20和3-21中的θ分別用（θ-120°）和（θ+120°）替代，可以得到A、B、C三相定子繞組的互感為

M_AB=M_BA=-M_s0+M_s2cos2（θ+30°）

M_BC=M_CB=-M_s0+M_s2cos2（θ-90°）

M_AC=M_CA=-M_s0+M_s2cos2（θ+150°） （3-25）

將式3-17、式3-25代入式3-4定子磁鏈分量的矩陣方程可得：

圖3-4給出了PMSM各定子繞組的自感和互感與轉子位置的關系示意圖。

圖3-4 PMSM定子繞組電感與轉子位置關系示意圖

3.定、轉子繞組的互感計算

為了便于推導電動機的電磁轉矩公式，我們將轉子永磁體等效為具有電流i_f的轉子勵磁繞組f（對于正弦波磁場分布的PMSM來說，i_f是一個恒定值），僅在本部分推導轉矩公式時使用。

轉子繞組f與定子三相繞組之間的互感矩陣[M_sf]為

（M_fs）=（M_sf）^T （3-28）

需要指出的是，不管永磁體產(chǎn)生的是何種分布的氣隙磁場，式3-3都可以用來表示永磁磁鏈，即下式成立

4.轉子繞組的自感

雖然存在轉子的凸極效應，但是這并不影響到轉子勵磁繞組自感L_ff，因為它不隨轉子位置而變化。這里引入L_ff也僅僅是為了推導電動機轉矩的方便。

3.2.3 電動機轉矩方程

運用能量法得出交流永磁電動機運行時，電動機中的磁場儲能為

根據(jù)前面分析，有

式中 （L（θ））——自感和互感矩陣；

（ψ₁₂（θ））——永磁磁鏈矩陣。

根據(jù)能量守恒定律，電動機運行時電源輸送的凈電能dW_e應等于電動機中磁場能量的增量dW_m加上電動機軸輸出機械功率增量dW_mech，即有

dW_e=dW_m+dW_mech （3-32）

另外，

所以有

式中θ_m為電動機的機械角位移，它表明：當外電源注入電動機的電流恒定時，電動機磁場能量的增量與電動機輸出機械功率分別等于電動機輸入凈電能的一半。

根據(jù)式3-34知道，電磁轉矩等于電流不變時磁場儲能對機械角位移θ_m的偏導數(shù)。

式中 n_p——交流永磁電動機的極對數(shù)；

θ——電氣角位移。進一步推導轉矩，有

綜合式（3-26）、（3-36），交流永磁電動機的電磁轉矩可以表示為

式中，ω為電動機的電角頻率（rad/s），e_rA、e_rB、e_rC分別是電動機旋轉時，永磁體在定子繞組中產(chǎn)生的反電動勢。上述公式中的第一部分轉矩對應著磁阻轉矩，第二部分轉矩是永磁體與定子電流作用產(chǎn)生的永磁轉矩，該轉矩公式對PMSM和BLDCM都適用。

對于正弦波磁場分布的PMSM，公式3-3中的永磁磁鏈可以表示為下式。

注意，公式3-38中的Ψ_f指的是定子相繞組中永磁磁鏈的峰值。公式3-37的轉矩公式就可以表示為

3.2.4 運動方程

根據(jù)牛頓第二定律知道電動機運動平衡方程式為

式中 J——整個機械負載系統(tǒng)折算到電動機軸端的轉動慣量（kg·m²）；

T_l——折算到電動機軸端的負載轉矩（N·m）。

綜上，交流永磁電動機的電壓矩陣方程（式3-1）、磁鏈方程（式3-2、3-3、3-26）和轉矩方程（式3-37）、運動方程（式3-40）共同組成了交流永磁電動機的一般化動態(tài)數(shù)學模型。從中可以看出，交流永磁電動機在ABC坐標系中的數(shù)學模型非常復雜，它具有非線性、時變、高階、強耦合的特征。為了便于對電動機的運行過程進行深入分析，必須對其進行簡化。

3.2.5 基于MATLAB的轉矩公式分析

本部分內(nèi)容采用MATLAB軟件對三相靜止坐標系中的電動機轉矩公式進行仿真分析。首先將公式3-37稍作整理，然后在MATLAB命令窗口中逐步鍵入如下命令（這里以磁阻轉矩為例）：

上述語句中第一句清空變量，第二句觀察現(xiàn)有變量（應該是沒有變量了），第三句定義符號變量用以推導轉矩公式，第四句再次觀察工作空間的變量，出現(xiàn)如下結果：

可以看出，工作空間中已經(jīng)出現(xiàn)了4個符號變量，其中st2表示公式3-37中的2θ，ia、ib、ic分別表示三相定子電流。然后根據(jù)公式3-37，鍵入如下命令（公式簡化中暫時忽略電動機的極對數(shù)與電感等常量）：

此時，MATLAB中會出現(xiàn)如下結果，MATLAB尚未對其進行化簡。

然后，鍵入如下命令：

simple（te1）

隨后MATLAB界面中出現(xiàn)了采用各種方法（如simplify、radsimp、simplify（100）、com_- bine（sincos）、combine（sinhcosh）、combine（ln）、factor、expand、combine、rewrite（exp）、collect（st2）等）進行簡化的結果，在最末端出現(xiàn)最終默認結果，如下：

這個公式已經(jīng)是比較簡單了。然后我們開始新的分析過程，鍵入如下命令：

此時，可以看到命令窗口中會出現(xiàn)如下結果，這說明MATLAB已經(jīng)接受了這幾個符號變量。

上述指令的含義是讓三相定子電流為對稱三相正弦電流，相電流的峰值為ima。然后鍵入如下命令：

在MATLAB接受轉矩變量以后，再鍵入如下化簡命令：

simple（te1）

同樣，在采用各種方式簡化后，出現(xiàn)了最終的結果：

ans=-（9*ima^2*sin（2*bt-st2））/4 （3-41）

依據(jù)式3-41，在上述三相定子電流下，最終的轉矩公式從3-39可以變換成下式：

通過前述一系列MATLAB的化簡推導與變換，三相對稱正弦電流供電下，PMSM的轉矩公式還是比較簡單的。需要注意的是公式中的電流與磁鏈均是指的相變量的峰值。在后面進一步簡化后，還需要將前后的轉矩公式在一起進行對比，以便深入理解各變量與相關公式。

圖3-2左側與圖3-3下方文字簡單說明了該圖中的電流產(chǎn)生的轉矩為0，這是因為圖中所示相電流波形對應的β與θ剛好是同相位的，所以圖中的定子電流都是勵磁電流，不能產(chǎn)生轉矩。公式3-42可以很好地解釋這一點。為了輸出轉矩，電動機相電流的相位必須發(fā)生變化，以出現(xiàn)產(chǎn)生轉矩的電流分量，即后面3.4節(jié)中所述的i_q電流分量。