3.3 電阻、電感、電容元件的正弦交流電路

電阻R、電感L、電容C是交流電路中的基本電路元件。本節著重研究三種元件上的電壓與電流關系，能量的轉換及功率問題。

3.3.1 電阻元件

1.電阻元件上電壓與電流的關系

當電阻兩端加上正弦交流電壓時，電阻中就有交流電流通過，電壓與電流的瞬時值仍然遵循歐姆定律。在圖3-10中，電壓與電流為關聯參考方向，則電阻上的電流為

式（3-9）是交流電路中電阻元件的電壓與電流的基本關系。

如加在電阻兩端的是正弦交流電壓：

u_R=U_Rmsin（ωt+φ_u）

圖3-10 電阻元件

則電路中的電流為

式中寫成有效值關系為或 （3-11）

從以上分析可知：

（1）電阻兩端的電壓與電流同頻率、同相位；

（2）電阻兩端的電壓與電流的數值上成正比。

其波形圖如3-11所示（設φ_i=0）。

電阻元件上電壓與電流的相量關系為

則 U·_R=RI·_R （3-12）

式（3-12）就是電阻元件上電壓與電流的相量關系，也就是相量形式的歐姆定律。

圖3-12給出了電阻元件的相量模型及相量圖。

圖3-11 電阻元件的電壓、電流波形圖

圖3-12 電阻元件的相量模型及相量圖

a）相量模型 b）相量圖

2.電阻元件的功率

在交流電路中，任意電路元件上的電壓瞬時值與電流瞬時值的乘積稱作該元件的瞬時功率。用小寫字母p表示。

當u_R、i_R為關聯參考方向時，

p=u_Ri_R （3-13）

若電阻兩端的電壓、電流為（設初相角為0°）

u_R=U_Rmsinωt

i_R=I_Rmsinωt

則正弦交流電路中電阻元件上的瞬時功率為

圖3-13 電阻元件的功率波形

p=u_Ri_R=U_RmsinωtI_Rmsinωt

=U_RmI_Rmsin²ωt

=U_RI_R（1-cos2ωt） （3-14）

其電壓、電流、功率的波形圖如圖3-13所示。

從圖中可知：只要有電流流過電阻，電阻R上的瞬時功率p≥0，即總是吸收功率（消耗功率）。其吸收功率的大小在工程上都用平均功率來表示。周期性交流電路中的平均功率就是瞬時功率在一個周期的平均值。平均功率：

又因U_R=RI_R

所以

由于平均功率反映了元件實際消耗電能的情況，所以又稱有功功率。習慣上常簡稱功率。

【例3.4】額定電壓為220V、功率為100W的電烙鐵，誤接在380V的交流電源上，問此時消耗的功率是多少？會出現什么現象。

解：已知額定電壓和功率，可求出電烙鐵的等效電阻

當誤接在380V電源上時，電烙鐵實際消耗的功率為

此時，電烙鐵內的電阻很可能被燒斷。

3.3.2 電感元件

圖3-14 電感元件

1.電感元件上電壓和電流的關系

設一電感L中通入正弦電流，其參考方向如圖3-14所示。

設i_L=I_Lmsin（ωt+φ_i）

則電感兩端的電壓為

式（3-16）中

寫成有效值為U_L=ωLI_L或 （3-17）

從以上分析可知：

（1）電感兩端的電壓與電流同頻率；

（2）電感兩端的電壓在相位上超前電流90°；

（3）電感兩端的電壓與電流有效值（或最大值）之比為ω_L。

令：X_L=ω_L=2πf_L （3-18）

X_L稱為感抗，它用來表示電感元件對電流阻礙作用的一個物理量。它與角頻率成正比。單位是歐姆。

在直流電路中，ω=0，X_L=0，所以電感在直流電路中視為短路。

將式（3-18）代入式（3-17）得

U_L=X_LI_L （3-19）

電感元件的電壓、電流波形如圖3-15所示（設φ_i=0）。電感元件上電壓與電流的相量關系為

即

圖3-15 電感元件的電壓、電流波形

圖3-16 電感元件的相量模型及相量圖

a）相量模型 b）相量圖

圖3-16給出了電感元件的相量模型及相量圖。

2.電感元件的功率

在電壓與電流參考方向一致的情況下電感元件的瞬時功率為

p=u_Li_L

若電感兩端的電流、電壓為（設φ_i=0）：

則正弦交流電路中電感元件上的瞬時功率為

其電壓、電流、功率的波形如圖3-17所示。由式3-21或波形圖都可以看出，此功率是以兩倍角頻率作正弦變化的。

電感在通以正弦電流時，所吸收的平均功率為

圖3-17 電感元件的功率波形

式（3-22）表明電感元件是不消耗能量的，它是儲能元件。電感吸收的瞬時功率不為零，在第一和第三個1/4周期內，瞬時功率為正值，電感吸取電源的電能，并將其轉換成磁場能量儲存起來；在第二和第四個1/4周期內，瞬時功率為負值，將儲存的磁場能量轉換成電能返送給電源。

為了衡量電源與電感元件間的能量交換的大小，把電感元件瞬時功率的最大值稱為無功功率，用Q_L表示。

無功功率的單位為乏（var），工程中有時也用千乏（kvar）。

1kvar=10³var

【例3.5】若將L=20mH的電感元件，接在U_L=110V的正弦交流電源上，則通過的電流是1mA，求（1）電感元件的感抗及電源的頻率。

（2）若把該元件接在直流110V電源上，會出現什么現象？

解：（1）電源頻率

（2）在直流電路中，X_L=0，電流很大，電感元件可能被燒壞。

3.3.3 電容元件

圖3-18 電容元件電路

1.電容元件上電壓和電流的關系

設一電容C中通入正弦交流電，其參考方向如圖3-18所示。設外接正弦交流電壓為

u_C=U_Cmsin（ωt+φ_u）

則電路中電流為

式（3-24）中寫成有效值為I_C=ωCU_C或 （3-25）

從以上分析可知：（1）電容兩端的電壓與電流同頻率；

（2）電容兩端的電壓在相位上滯后電流90°；

（3）電容兩端的電壓與電流有效值之比為。令X_C稱為容抗，它用來表示電容元件對電流阻礙作用的一個物理量。它與角頻率成反比，單位是歐姆。

將式（3-26）代入式（3-25），得

U_C=X_CI_C （3-27）

電容元件的電壓、電流波形如圖3-19所示。（設φ_u=0），電容元件上電壓與電流的相量關系為

圖3-19 電容元件的電壓、電流波形

即

圖3-20 給出了電容元件的相量模型及相量圖。

圖3-20 電容元件的相量模型及相量圖

a）相量模型 b）相量圖

2.電容元件的功率

在電壓與電流參考方向一致的情況下，設：u_C=U_Cmsinωt

則電容元件的瞬時功率為

其電壓、電流、功率的波形如圖3-21所示。由式（3-29）或波形圖都可以看出，此功率是以兩倍角頻率作正弦變化的。

電容在通以正弦交流電流時，所吸收的平均功率為

圖3-21 電容元件的功率波形圖

與電感元件相同，電容元件也是不消耗能量的，它也是儲能元件。在第一和第三個1/4周期內，電容吸收的瞬時功率不為零，瞬時功率為正值，電容吸取電源的電能，并將其轉換成電場能量儲存起來；在第二和第四個1/4周期內，瞬時功率為負值，將儲存的電場能量轉換成電能返送給電源。

用無功功率Q_C表示電源與電容間的能量交換

【例3.6】設加在一電容器上的電壓u（t）=62sin（1000t-60°）V，其電容C為10μF，求：（1）流過電容的電流i（t）并畫出電壓、電流的相量圖。（2）若接在直流6V的電源上，則電流為多少？

解：（1）

電容電流

電容電壓、電流的相量如圖3-22所示。

（2）若接在直流6V電源上，X_C=∞，I=0。

圖3-22 電壓、電流的相量圖