3.2 正弦量的表示法

由于在正弦交流電路中，所有的電壓、電流都是同頻率的正弦量，所以要確定這些正弦量，只要確定它們的有效值和初相就可以了。相量法就是用復數來表示正弦量。

3.2.1 復數及其表示形式

設A是一個復數，并設a和b分別為它的實部和虛部，則有

A=a+jb（3-6）

式（3-6）表示形式稱為復數的代數形式。

復數可以用復平面上所對應的點表示（見圖3-5）。

圖3-5 復數在復平面上的表示

圖3-6 復數的矢量表示

復數A的矢量與實軸正向間的夾角φ稱為A的輻角，記作

從圖3-6中可得如下關系：

復數：A=a+jb=|A|（cosφ+jsinφ）

稱為復數的三角形式。

再利用歐拉公式：e^jφ=cosφ+jsinφ

又得A=|A|e^jφ （3-7）

稱為復數的指數形式。在工程上簡寫為。

3.2.2 復數運算

1.復數的加減

設有兩個復數：

A₁=a₁+jb₁

A₂=a₂+jb₂

A₁±A₂=（a₁+jb₁）±（a₂+jb₂）

=（a₁±a₂）+j（b₁±b₂）

兩個復數相加的運算在復平面上是符合平行四邊形的求和法則的，如圖3-7所示。

2.復數的乘除

復數的乘除運算，一般采用指數形式。

圖3-7 復數的加減

設有兩個復數：

即復數相乘時，將模和模相乘，輻角相加；復數相除時，將模相除，輻角相減。

3.共軛復數

復數是一個模等于1，而輻角等于φ的復數。任意復數A=|A|e^jφ1乘以e^jφ等于：

即復數的模不變，輻角變化了φ角，此時復數矢量按逆時針方向旋轉了φ角。所以e^jφ稱為旋轉因子。使用最多的旋轉因子是e^j90°=j和e^j（-90°）=-j。任何一個復數乘以j（或除以j），相當于將該復數矢量按逆時針旋轉90°；而乘以-j則相當于將該復數矢量按順時針旋轉90°。

3.2.3 正弦量的相量表示法

正弦量u=U_msin（ωt+φ）

可以寫作：式（3-8）中，符號I_m是虛數的縮寫。其中復常數部分Ue^jφ是包含了正弦量的有效值U和初相角φ的復數，我們把這復數稱為正弦量的相量，并用符號表示，上面的小圓點是用來表示相量。則

簡寫為

圖3-8 電壓相量圖

相量和復數一樣，可以在復平面上用矢量表示，這種表示相量的圖，稱為相量圖。如圖3-8所示。

【例3.1】已知正弦電壓和

寫出表示u₁和u₂的相量表示式，并畫出相量圖。

解：

相量圖如圖3-9所示。

【例3.2】已知兩頻率均為50Hz的電壓，表示它們的相量分別為，，試寫出這兩個電壓的解析式。

解：ω=2πf=2π×50rad/s=314rad/s

圖3-9 例3.1電壓的相量圖

【例3.3】已知，，試用相量法求i₁+i₂。

解：

由此可見，正弦量用相量表示，可以使正弦量的運算簡化。