2.4.2　壓縮感知模型

本小節(jié)主要介紹壓縮感知的數(shù)學模型。從上一小節(jié)的介紹可以知道，壓縮感知觀測過程需要信號具有稀疏特性。同時，還對采用的采樣矩陣有所要求。由此，可以對壓縮感知進行如下建模：

1）假設(shè)信號x∈?N滿足x=Ψs，其中變換域Ψ中的每一列都是?N中的一個可能信號。矢量s是稀疏的，滿足‖s‖₀≤K。這是關(guān)于x的稀疏表示模型。

2）考慮線性系統(tǒng)，其采用了一個與變換域Ψ不相關(guān)的采樣（觀測）矩陣Φ∈?M×N（M?N）對信號x進行投影，得到維數(shù)遠小于原信號的觀測矢量y。稱觀測矩陣Φ與變換矩陣Ψ相乘的矩陣為感知矩陣Ω=ΦΨ，有y=Ωs。因此，觀測矢量y也可被看作感知矩陣中K個列矢量的線性組合，如圖2-10所示。

從信號采樣的角度解釋該過程，可以知道，在對信號x實施了非相干觀測（即觀測矩陣Φ和信號x具有的內(nèi)在生成特性Ψ不相關(guān)）后，得到的觀測信號y的維數(shù)遠小于信號x的維數(shù)，即得到了遠少于原始信號的采樣值，實現(xiàn)了信號降維。

需要注意的是，在壓縮感知的過程中，其能成功作用的前提是信號需要具備稀疏性。

實用的壓縮感知框架如圖2-11所示，一般來說需滿足以下要求：

1）良好的稀疏化效果。壓縮感知的一個主要目的是用盡可能少的觀測次數(shù)來獲取信號的所有信息，同時，這些觀測值必須保證信號得到精確重構(gòu)。現(xiàn)有研究表明：保證精確重構(gòu)的最低觀測次數(shù)與信號稀疏值正相關(guān)，因此，稀疏值越低的建模方式，可以得到越好的觀測壓縮比。

2）與稀疏基、信號均不相干的普適觀測矩陣。非相干觀測是壓縮感知成功的前提，不相干的程度越高，對信息“拉伸”的程度越好。

3）高精度的重構(gòu)。類噪聲的觀測值不包含任何特征，經(jīng)存儲或傳輸后，還需要從低維信號重構(gòu)出高維信號。

因此，信號稀疏表示、觀測矩陣設(shè)計和重構(gòu)算法幾個關(guān)鍵問題對壓縮感知框架的總體性能起到關(guān)鍵作用。信號稀疏表示在2.2節(jié)已經(jīng)介紹。下面將重點介紹觀測矩陣設(shè)計和重構(gòu)算法問題。