2.4.3　觀測矩陣

壓縮感知非相干觀測的特點，使得觀測矩陣需要滿足一定的條件才能確保壓縮感知的成功實現。那么，觀測矩陣需要滿足什么樣的條件？如何構造觀測矩陣呢？壓縮感知的理論研究回答了這些問題。

1. 約束等距條件

由于同一信號不能分別在兩個不相關的正交基上獲得最稀疏表示，而觀測矢量y也可看作感知矩陣中K個列矢量的線性組合，因此，為保證觀測矩陣不會把兩個不同的稀疏信號映射為同一個采樣集合，要求觀測矩陣是非奇異的。Candès和陶哲軒從能量角度提出了觀測矩陣需要滿足歸一化測不準原則（Uniform Uncertainty Principle，UUP）：

式中，γ_min/max（·）表示矩陣最小/最大奇異值操作，常數0<C₁≤1≤C₂。該條件的一種更加便于計算的等價條件為：對于K-稀疏信號x，保證非相干觀測和精確重構的觀測矩陣應滿足

由式（2-14）可知，線性測量需要具有穩定的能量性質，能夠保持K個重要分量的長度。因此，如果信號x稀疏，則觀測矩陣Φ必須“稠密”以保證能量的穩定。

為了更加直觀，在UUP的基礎上Candès等又提出了約束等距性質（Restricted Isometry Property，RIP）：若存在常數δ_K∈［0，1］，使得

成立，則稱矩陣Φ滿足K階RIP條件，其中δ_K為約束等距常數（Restricted Isometry Constant，RIC）。考慮極限情況，取δ_K=0，則不等式變為等式，矩陣Φ為標準正交矩陣，因而也是一個方陣。然而，根據壓縮感知理論，Φ∈?M×N是一個“扁胖”矩陣，若要滿足式（2-15），則需要盡量保持正交矩陣的特性，即Φ中的列矢量相互高度不相關。因此，RIP條件及RIP常數實際上刻畫了從矩陣Φ中任意抽取K列所形成的M×K維矩陣接近于正交矩陣的程度。RIP常數δ_K越接近零，對應的Φ就越近似于正交陣，相應地矩陣性能也越好。

2. 觀測矩陣的構造

壓縮感知中的觀測矩陣必須滿足RIP性質。目前，觀測矩陣大致可以分成隨機矩陣、欠采樣酉矩陣、結構化矩陣、確定性矩陣四大類。隨機觀測矩陣由于其無結構的特性，在理論和實驗中得到了普遍應用。隨著應用的推進，結構化觀測矩陣的優勢得以凸顯，因此，尋找確定性矩陣成為近年來壓縮感知理論研究的熱門方向。下面介紹幾種經典隨機觀測矩陣以及近年來出現的結構化觀測矩陣。

（1）隨機觀測矩陣

①高斯矩陣。高斯隨機矩陣是最早被論證和使用的隨機觀測矩陣，其原子服從正態分布N（μ，σ2）。該矩陣的特點在于其普適性，可保證與幾乎所有的稀疏基具有低互相關性，甚至與另一高斯矩陣也不相關。另一方面，高斯矩陣也易于在仿真中實現。

②符號隨機矩陣。這類矩陣的元素為，元素符號獨立獲得，且在統計意義上，正元素與負元素等概率出現。

③部分Hadamard矩陣。Hadamard矩陣H僅包含±1兩種元素，且滿足

HTH=NI

（2-16）

式中，N為矩陣維數，I表示N維單位矩陣。部分Hadamard矩陣由Hadamard矩陣隨機抽取M列得到，M對應壓縮感知觀測次數。

④部分傅里葉矩陣。部分傅里葉矩陣的構造原理和部分Hadamard矩陣的構造原理類似，即從傅里葉變換對應的方陣中隨機抽取M列得到。

（2）結構化觀測矩陣

①Toeplitz矩陣。為了借鑒隨機矩陣中元素相互獨立的特性，考慮采用特定的矩陣結構結合相互獨立的元素來構造觀測矩陣。Toeplitz型觀測矩陣即為上述思想指導下的一種結構化矩陣方案：從某種分布或變量中隨機獨立抽取標量r_i作為元素，再用這些元素構造Toeplitz矩陣作為觀測矩陣。

式（2-17）中，Φ的元素滿足

Toeplitz觀測矩陣的元素具有固定結構，可以減少觀測矩陣的存儲開銷。在硬件計算矩陣相乘時，Toeplitz結構的矩陣具有多種快速算法，且這種結構還存在于多種工程問題中，易與實際應用相結合。

②混沌矩陣。混沌矩陣的思路類似于Toeplitz矩陣的思路，也是用可獲得的相互獨立的原子結合固有結構得到觀測矩陣。在該方案中，元素從混沌序列中以一定的間隔進行抽取，保證相互獨立，再將這些元素按一定模式排列組成觀測矩陣（同式（2-17））。

③結構化隨機矩陣。結構化隨機矩陣采用人為的方式來提高觀測矩陣與信號的非相干性。首先將正交矩陣F∈?N×N和置亂矩陣R∈?N×N相乘，再從中隨機抽取M列獲得觀測矩陣。

式中，D為隨機抽取FR的矩陣，各列可從單位矩陣中隨機抽取得到。為能量因子，使得置亂前后信號能量保持穩定。置亂矩陣R可以選擇亂序矩陣（稱為全局置亂）或者對角線隨機矩陣（稱為本地置亂）。本地置亂方式可認為與混合Hadamard觀測矩陣方案相同。