2.4.1　基本概念

在自然界和工業(yè)領(lǐng)域中，存在著大量如前面圖2-1所示的稀疏信號(hào)，由于這些信號(hào)的絕大多數(shù)樣點(diǎn)值都接近零值，所以只需記錄極少數(shù)非零值的位置和幅度就可以無(wú)失真地恢復(fù)原信號(hào)。按照Nyquist采樣速率對(duì)這類信號(hào)采樣（通常稱為全采樣）后，雖然能夠無(wú)失真地恢復(fù)原有信號(hào)，但同時(shí)會(huì)得到?jīng)]有有用信息的采樣值，增加了傳輸和存儲(chǔ)的負(fù)擔(dān)。為了減少這些無(wú)用信息，通常需要做進(jìn)一步壓縮處理。那么，能不能簡(jiǎn)化全采樣后再壓縮的處理過(guò)程（如圖2-7a所示），直接在低于Nyquist速率的情況下采樣，同時(shí)還能得到無(wú)失真的信號(hào)呢？壓縮感知理論就回答了這個(gè)問(wèn)題。由于壓縮感知理論重點(diǎn)解決了采樣問(wèn)題，因此有的文獻(xiàn)也稱之為壓縮采樣理論。在詳細(xì)介紹壓縮感知模型前，先通過(guò)實(shí)例簡(jiǎn)單介紹壓縮感知的處理過(guò)程（如圖2-7b所示）。

圖2-7　不同采樣處理過(guò)程的示意圖

例如，有一個(gè)脈沖信號(hào)x=［1，0，…，0］T，其長(zhǎng)度為100，只有一個(gè)非零元素。如果采用一個(gè)50×100的采樣矩陣D去采樣，那么得到的采樣y=Dx，樣點(diǎn)只有50個(gè)。存儲(chǔ)、傳輸這50個(gè)樣點(diǎn)，耗費(fèi)的資源都降低了。經(jīng)過(guò)傳輸、存儲(chǔ)之后的y能恢復(fù)x嗎？根據(jù)2.3.4節(jié)的介紹，由于x是稀疏的，D是“扁胖”的，那么在一定條件下是可以無(wú)失真恢復(fù)x的。

再如，有一個(gè)頻率為200Hz的單頻信號(hào)，對(duì)應(yīng)的Nyquist采樣速率大于等于400Hz。截取一秒的全采樣信號(hào)，構(gòu)成信號(hào)矢量x，其維度為400×1。如圖2-8所示，雖然在時(shí)域上x并不稀疏，但通過(guò)傅里葉變換可以得到其在頻域上的稀疏表示s，有x=Ψs。此時(shí)，如果采用一個(gè)“扁胖”的采樣矩陣D對(duì)信號(hào)矢量x進(jìn)行采樣，得到的采樣值y=Dx的樣點(diǎn)數(shù)就少于400，采樣速率將低于Nyquist速率。由于傅里葉變換矩陣Ψ是方陣，因此DΨ依然是“扁胖”的。同樣，由于x是稀疏的，在一定條件下可以無(wú)失真恢復(fù)s，之后再重構(gòu)得到x。

圖2-8　單頻信號(hào)實(shí)例

上述示例說(shuō)明了壓縮感知的基本思路。由于利用了信號(hào)稀疏的先驗(yàn)信息，壓縮感知可以實(shí)現(xiàn)欠Nyquist采樣，降低了采樣過(guò)程的復(fù)雜度，不再需要先進(jìn)行全采樣再壓縮（如圖2-9所示），具有很強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。該理論提出伊始，就作為核磁共振成像（Magnetic Resonance Imaging，MRI）圖像處理的新方案得到了討論[23]。單像素相機(jī)[24]、Xampling[25]樣機(jī)等都是一些成功的應(yīng)用。

圖2-9　不同采樣過(guò)程的輸入/輸出對(duì)比