前言

一、此算與彼算：“出西學(xué)之算”、“西人之算”、“內(nèi)地人之算”

19世紀(jì)60年代，中國(guó)自強(qiáng)運(yùn)動(dòng)興起，洋務(wù)派認(rèn)識(shí)到算學(xué)是西方自然科學(xué)和制造技術(shù)的基礎(chǔ)學(xué)科，若要師法自強(qiáng)，必由算學(xué)入手。洋務(wù)派這種思想的重要來(lái)源之一就是馮桂芬（1809—1874年）的《校邠廬抗議》（1861年自序），這部中國(guó)近代史上重要的思想文獻(xiàn)被認(rèn)為是采西學(xué)、辦洋務(wù)、謀自強(qiáng)思潮興起的宣言書(shū)。該書(shū)是馮氏于咸豐十年（1860年）避難上海后所作，在書(shū)中他最早指出：“一切西學(xué)皆從算學(xué)出，西人十歲外無(wú)不學(xué)算。今欲采西學(xué)，自不可不學(xué)算。”馮氏這個(gè)判斷，指出了西方科學(xué)與技術(shù)有其必須的數(shù)理基礎(chǔ)，“學(xué)算”是“采西學(xué)”的必經(jīng)之路。馮氏的見(jiàn)解后被李鴻章、奕等洋務(wù)派大員普遍接受，奉為“識(shí)時(shí)務(wù)者”的共識(shí)，“算學(xué)”被提升到關(guān)乎國(guó)計(jì)民生的高度，成為當(dāng)時(shí)國(guó)策中的關(guān)鍵詞和熱詞。如李鴻章就認(rèn)為：“西人制器尚象之法，皆從算學(xué)出，如不通算學(xué)，即精熟西文亦難施之實(shí)用。”他在創(chuàng)辦上海廣方言館之始（1863年）就規(guī)定：“凡肄業(yè)者，算學(xué)與西文并須逐日講習(xí)，其余經(jīng)史各類，隨其資秉所近分習(xí)之。專習(xí)算學(xué)者，聽(tīng)從其便。”奕為在京師同文館中增設(shè)天文算學(xué)館而與倭仁、張盛藻等人展開(kāi)了激烈的“天算之爭(zhēng)”，同治六年（1867年）三月二日在奏折中稱增設(shè)事宜是經(jīng)過(guò)反復(fù)商討之后鄭重其事做出的決策，是“與曾國(guó)藩、李鴻章、左宗棠、英桂、郭嵩燾、蔣益澧等往返函商，僉謂制造巧法，必由算學(xué)入手，其議論皆精鑿有據(jù)。左宗棠先行倡首，在閩省設(shè)立藝局、船廠，奏交前江西撫臣沈葆楨督辦。臣等詳加體察，此舉實(shí)屬有益，因而奏請(qǐng)開(kāi)設(shè)天文算學(xué)館，以為制造輪船各機(jī)器張本”。后來(lái)干脆直接指出“自強(qiáng)之道”就在于“推算格致之理，制器尚象之法，鉤河摘洛之方”。

既已明確自強(qiáng)得“由算學(xué)入手”，那該怎樣學(xué)呢？馮桂芬的答案是——“或師西人，或師內(nèi)地人之知算者俱可。”

然而，這個(gè)“西人之算”或“內(nèi)地人之算”是那個(gè)“出西學(xué)之算”嗎？我們知道，當(dāng)時(shí)的西方科學(xué)和技術(shù)是經(jīng)過(guò)17、18世紀(jì)數(shù)學(xué)化之后發(fā)展起來(lái)的，翻譯傳入中國(guó)的很多科學(xué)著作表現(xiàn)出了世界的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)信念。“出西學(xué)之算”顯然應(yīng)該是近代歐洲數(shù)學(xué)，是經(jīng)過(guò)牛頓、萊布尼茲以及貝努利家族、歐拉、達(dá)蘭貝爾、拉格朗日、拉普拉斯等人發(fā)展之后的數(shù)學(xué)，應(yīng)該包括微積分、常微分方程、偏微分方程、微分幾何、變分法、無(wú)窮級(jí)數(shù)以及復(fù)變函數(shù)等數(shù)學(xué)分支。而“西人之算”則是馮氏當(dāng)時(shí)接觸到的西方數(shù)學(xué)，主要以墨海書(shū)館剛出版不久的《代微積拾級(jí)》（1859年）、《代數(shù)學(xué)》（1859年）為代表的西方近代符號(hào)代數(shù)以及初等微積分。而“內(nèi)地人之算”則要復(fù)雜些，可以理解為中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)與傳入的西方數(shù)學(xué)融合之后的數(shù)學(xué)，與“西人之算”有交集，但不包含。顯然，這三種“算”之間有很大的差別，存在著“彼”與“此”的區(qū)別。馮氏的答案雖過(guò)于簡(jiǎn)單，但卻代表了當(dāng)時(shí)國(guó)人對(duì)數(shù)學(xué)特別是西方數(shù)學(xué)的看法和訴求，在特定的歷史背景下，還會(huì)更顯復(fù)雜、曲折。

這些實(shí)際上屬于一個(gè)很重要的研究領(lǐng)域：西方數(shù)學(xué)在中國(guó)的傳播抑或是國(guó)人（中算家）對(duì)西方數(shù)學(xué)的理解和吸收。自強(qiáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)期國(guó)人對(duì)數(shù)學(xué)的訴求是這個(gè)研究領(lǐng)域中的一個(gè)突出的例子。

更長(zhǎng)時(shí)間范圍內(nèi)，西方數(shù)學(xué)在中國(guó)的傳播是西學(xué)東漸研究領(lǐng)域中最富有代表性的課題。自明末至清末的大約300年間，西方數(shù)學(xué)大規(guī)模地傳入中國(guó)共有兩次，一是在明末清初，一是在晚清。就其內(nèi)容而言，不僅涉及常量數(shù)學(xué)，也涉及變量數(shù)學(xué)的某些方面，如解析幾何、微積分等等。西方數(shù)學(xué)傳入之后，國(guó)人的理解、吸收、研究、運(yùn)用的過(guò)程以及伴隨這一過(guò)程出現(xiàn)的成就與局限等諸方面的問(wèn)題，是明末至清末中國(guó)數(shù)學(xué)史研究的重大課題之一。

對(duì)此300年中國(guó)數(shù)學(xué)史的探討，近20年來(lái)的研究大體有兩種模式，其一是“成就進(jìn)展”的認(rèn)識(shí)模式，如對(duì)某些數(shù)學(xué)家成就的研究、對(duì)清代中期的方程理論的研究，以及對(duì)清代中期冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的研究等等。這類研究注重對(duì)所取得成就的探討，從知識(shí)內(nèi)容上，認(rèn)為清代數(shù)學(xué)家取得了很大的成績(jī)。其二是“近代化”的認(rèn)識(shí)模式，注重西方數(shù)學(xué)的影響，認(rèn)為清代數(shù)學(xué)逐漸走向近代化或“西化”。如韓琦的《西方數(shù)學(xué)的傳入及其影響》，論述了明末至康熙時(shí)代傳入的西方數(shù)學(xué)的影響，特別是對(duì)《數(shù)理精蘊(yùn)》的編纂、內(nèi)容來(lái)源以及影響都有深入的論述，對(duì)影響西方數(shù)學(xué)傳播的因素從耶穌會(huì)士的科學(xué)素養(yǎng)、受眾對(duì)科學(xué)的理解、康熙帝的作用以及社會(huì)因素等幾個(gè)方面進(jìn)行了論述。李兆華的《中國(guó)近代數(shù)學(xué)教育史稿》，抓住“晚清數(shù)學(xué)教育變革”這一體現(xiàn)晚清數(shù)學(xué)及其教育發(fā)展的主線，從晚清學(xué)校的數(shù)學(xué)教育變革、民間的數(shù)學(xué)傳播以及數(shù)學(xué)教育制度的變革等幾個(gè)方面論述了中國(guó)數(shù)學(xué)教育近代化的內(nèi)容、特征及其過(guò)程。田淼的《中國(guó)數(shù)學(xué)的西化歷程》，比較全面地梳理了從明末到清末300余年的西方數(shù)學(xué)在中國(guó)輸入的歷史，并選取代數(shù)學(xué)、三角學(xué)和中國(guó)傳統(tǒng)的垛積術(shù)等三個(gè)數(shù)學(xué)分支作為個(gè)案，論述了中西數(shù)學(xué)的交匯、互動(dòng)直至傳統(tǒng)數(shù)學(xué)消融的過(guò)程。特古斯、尚利峰的《清代三角學(xué)的數(shù)理化歷程》，論述了清代三角學(xué)的數(shù)理化歷程，考察了古代有關(guān)知識(shí)及其發(fā)展變化，兩次傳入的三角知識(shí)與會(huì)通結(jié)果，認(rèn)為第一次會(huì)通使得三角學(xué)獨(dú)立于天文學(xué)，表現(xiàn)在概念的進(jìn)化與方法的創(chuàng)新上；第二次會(huì)通由于代數(shù)化使得三角學(xué)獨(dú)立于幾何學(xué)，從三角級(jí)數(shù)論走向函數(shù)論。

跨文化的科學(xué)（數(shù)學(xué)）傳播是一個(gè)很復(fù)雜的問(wèn)題。縱觀有清一代的數(shù)學(xué)發(fā)展，有些地方值得深思：一方面，清代數(shù)學(xué)家們被認(rèn)為取得了一些很不錯(cuò)的成就；而另一方面，他們對(duì)傳入的優(yōu)勢(shì)科學(xué)的吸收總是嚴(yán)重滯后，傳入的西方數(shù)學(xué)不被理解，有的甚至受到誤解和曲解。如《幾何原本》（前六卷）漢譯本在1607年就出版了，徐光啟（1562—1633年）對(duì)其推崇可謂無(wú)以復(fù)加，發(fā)出“舉世無(wú)一人不當(dāng)學(xué)”的號(hào)召，期望“百年之后必人人習(xí)之”。差不多100年之后，梅文鼎（1633—1721年）學(xué)習(xí)《幾何原本》，卻得出了“勾股即幾何”的會(huì)通結(jié)論，反倒是這個(gè)狹隘的結(jié)論影響了他之后100多年的幾何觀。及至晚清，類似的情形是，《代微積拾級(jí)》中微積分在1859年就傳入，可直到50年之后才被國(guó)人吸收、理解。特別的，翻譯該書(shū)的李善蘭稱微積分為“上乘功夫”，中法與西之古法因此可“盡廢”，可他自己卻沒(méi)有多少練習(xí)這一“上乘功夫”的實(shí)踐。再舉一清代中期的例子。董祐誠(chéng)（1791—1823年）可謂是清代中期關(guān)于冪級(jí)數(shù)展開(kāi)研究的承前啟后者，數(shù)學(xué)造詣很高，可他在探求橢圓周長(zhǎng)時(shí)卻出現(xiàn)了“很低級(jí)”的錯(cuò)誤。這些案例實(shí)際上涉及明末至清末300年來(lái)數(shù)學(xué)史這一課題的兩個(gè)方面：于數(shù)學(xué)家而言，他們?nèi)〉昧撕芨叩某删停挥趥魅氲奈鲗W(xué)而言，有的引起的反響很大，有的反響很小，有的幾乎沒(méi)有什么影響，甚至是被歪曲。

二、研究對(duì)象與載體：清代的圓錐曲線

很多學(xué)者都曾關(guān)注清代數(shù)學(xué)史中這一情形，大都從文化背景、社會(huì)原因、傳播者等原因進(jìn)行探討，成績(jī)斐然。如關(guān)于清代數(shù)學(xué)家對(duì)《幾何原本》和微積分吸收效果薄弱的原因探討的著述，就有劉鈍的《從徐光啟到李善蘭——以〈幾何原本〉之完璧透視明清文化》，梅榮照、王渝生、劉鈍的《歐幾里得〈原本〉的傳入和對(duì)我國(guó)明清數(shù)學(xué)發(fā)展的影響》，郭世榮的《清末數(shù)學(xué)家的微積分水平》，韓琦的《西方數(shù)學(xué)的傳入及其影響》，李兆華的《中國(guó)近代數(shù)學(xué)教育史稿》《晚清算學(xué)課藝考察》，田淼的《中國(guó)數(shù)學(xué)的西化歷程》，等等。

在此，本書(shū)關(guān)注的問(wèn)題是：影響中算家對(duì)西方數(shù)學(xué)的理解程度與吸收效果的內(nèi)在原因，這一方面的探討在以往的研究涉及不多。為此，本書(shū)選取清代數(shù)學(xué)家對(duì)圓錐曲線的研究或者說(shuō)圓錐曲線在清代的傳播為案例對(duì)這一內(nèi)因進(jìn)行探討。

圓錐曲線可以說(shuō)是屬于西方數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容，可以從四個(gè)層面來(lái)看它：第一，在綜合幾何的背景下作為圓錐面與平面的截線，其內(nèi)容在古希臘阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》中就已幾近完備，這部經(jīng)典也代表了古希臘演繹幾何的最高成就；第二，在解析（坐標(biāo)）幾何的背景下作為代數(shù)方程表示的平面曲線，是承載和理解代數(shù)與幾何結(jié)合思想的極佳載體，對(duì)理解函數(shù)和符號(hào)代數(shù)有很重要的示范作用；第三，作為二次曲線并與微積分聯(lián)系成為數(shù)學(xué)分析的研究對(duì)象，是學(xué)習(xí)理解微積分的必要的知識(shí)基礎(chǔ)；第四，在近代科學(xué)革命的背景下，圓錐三曲線還背負(fù)著不同尋常的天文、物理意義，如天體運(yùn)行的軌跡、物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的描述，等等。

圓錐曲線知識(shí)在中國(guó)的輸入可以說(shuō)貫穿了整個(gè)清代，并且具有明顯的遞進(jìn)性和階段性，中算家對(duì)它的研究也相應(yīng)地呈現(xiàn)出階段性。西方數(shù)學(xué)的傳播與中算家的理解、吸收，實(shí)際上是一個(gè)問(wèn)題的兩個(gè)方面。

綜上所述，中算家的圓錐曲線說(shuō)是考察西方數(shù)學(xué)在中國(guó)的傳播情形的一個(gè)非常好的載體。具體而言，本書(shū)將結(jié)合兩種認(rèn)識(shí)模式，比較詳細(xì)地討論中算家對(duì)圓錐曲線的理解、吸收、運(yùn)用以及他們成果表現(xiàn)出來(lái)的局限性，力圖對(duì)影響中算家對(duì)西方數(shù)學(xué)的理解程度與吸收效果的內(nèi)在原因作出回答。

就中算家的圓錐曲線說(shuō)而言，本書(shū)關(guān)注以下一些問(wèn)題：

哪些具體的圓錐曲線知識(shí)傳入了中國(guó)？它們與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)生怎樣的融合？中算家們關(guān)注這個(gè)領(lǐng)域的哪些問(wèn)題？他們以什么方法取得了什么樣的成果？這些知識(shí)擴(kuò)充了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域的同時(shí)，它們對(duì)中算家的“幾何觀”有著什么樣的影響，抑或說(shuō)，中算家的“幾何觀”發(fā)生了什么樣的變化？圓錐曲線知識(shí)與中算家的知識(shí)基礎(chǔ)發(fā)生了怎樣的互動(dòng)？特別是，中算家是怎樣理解、吸收?qǐng)A錐曲線知識(shí)的？等等。

現(xiàn)對(duì)前人關(guān)于中算家的圓錐曲線說(shuō)的研究工作簡(jiǎn)要介紹，具體的論述將在本書(shū)正文相應(yīng)章節(jié)進(jìn)行說(shuō)明。

早在1947年，李儼先生的《中算家的圓錐曲線說(shuō)》一文就梳理了明末清初圓錐曲線輸入的大概脈絡(luò)，并分析了項(xiàng)名達(dá)橢圓求周術(shù)的數(shù)理推導(dǎo)過(guò)程。這應(yīng)該是最早關(guān)注圓錐曲線在中國(guó)的傳播情形的一篇文章。

1984年，何紹庚的《橢圓求周術(shù)釋義》一文對(duì)項(xiàng)名達(dá)的《橢圓求周術(shù)》進(jìn)行詳細(xì)的探討，指出項(xiàng)名達(dá)橢圓求周術(shù)的4個(gè)主要步驟，并且在傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中找到項(xiàng)氏方法的來(lái)源，認(rèn)為項(xiàng)氏的方法基礎(chǔ)是：橢圓基本定理、二項(xiàng)式平方根冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式以及等分圓周時(shí)正矢各次冪求和公式。薄樹(shù)人的《清代對(duì)開(kāi)普勒方程的研究》一文，從天文學(xué)史的角度梳理了清代對(duì)開(kāi)普勒方程的研究。若從數(shù)學(xué)角度而言，則是論述中算家對(duì)橢圓軌道問(wèn)題的探究。劉鈍的《別具一格的圖解法彈道學(xué)——介紹李善蘭的〈火器真訣〉》一文，分析李善蘭對(duì)拋射運(yùn)動(dòng)知識(shí)建立的幾何模型后認(rèn)為《火器真訣》“是我國(guó)第一部具有精密科學(xué)意義的彈道學(xué)著作”。

1989年，牛亞華的碩士學(xué)位論文《明清時(shí)期對(duì)圓錐曲線的研究》比較詳細(xì)地梳理了從明末清初到微積分、解析幾何傳入時(shí)圓錐曲線知識(shí)輸入的過(guò)程及其主要內(nèi)容，在史料的挖掘方面做了很重要的工作。在此基礎(chǔ)上，文章論述了中算家對(duì)圓錐曲線的研究成果，如中算家的橢圓求周術(shù)、橢圓計(jì)算方面的成就以及李善蘭和夏鸞翔對(duì)圓錐曲線的研究工作。此文側(cè)重于成就的展示，對(duì)一些原始文獻(xiàn)做了較好的數(shù)理解讀。

20世紀(jì)90年代，有幾篇文章關(guān)注了中算家對(duì)圓錐曲線的研究。劉鈍的《夏鸞翔對(duì)圓錐曲線的綜合研究》一文全面分析了夏鸞翔對(duì)圓錐曲線的綜合研究，認(rèn)為夏氏的《致曲圖解》是“中國(guó)最早觸及到近世綜合幾何學(xué)的研究成果”。李迪先生的《中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的先驅(qū)者周達(dá)》論述了周達(dá)在《平圓互容新義》中運(yùn)用圓錐曲線解決比較復(fù)雜的平圓互切問(wèn)題。牛亞華的《明末清初橢圓知識(shí)的傳入及應(yīng)用》一文比較詳細(xì)梳理了明末清初圓錐曲線知識(shí)傳入中國(guó)的情形，并指出這個(gè)時(shí)期是以橢圓知識(shí)為主。她的另一篇文章《項(xiàng)名達(dá)的橢圓求周術(shù)研究》指出何紹庚的《橢圓求周術(shù)釋義》一文中解釋的一些不妥之處，對(duì)項(xiàng)名達(dá)橢圓求周術(shù)的數(shù)理步驟重新進(jìn)行梳理。馮立昇、牛亞華的《李善蘭對(duì)橢圓及其應(yīng)用問(wèn)題的研究》對(duì)李善蘭的《橢圓正術(shù)解》《橢圓新術(shù)》《橢圓拾遺》等三部著作作了比較全面的研究分析，論述李善蘭在橢圓研究上的成就。

另外還有一些未正式公開(kāi)出版的學(xué)位論文。洪萬(wàn)生的博士論文Li Shan-lan:The impact of Western mathematics in China during the 19th century中相關(guān)章節(jié)主要是參考了牛亞華的碩士論文討論了李善蘭對(duì)橢圓的研究。宋華的《夏鸞翔對(duì)微積分的學(xué)習(xí)與使用—— 〈萬(wàn)象一原〉內(nèi)容分析》（其主要內(nèi)容為宋華、白欣的《夏鸞翔的微積分水平評(píng)析》）對(duì)夏氏的《萬(wàn)象一原》中的數(shù)學(xué)公式用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行比較全面的整理，并對(duì)部分典型公式進(jìn)行了數(shù)理分析，認(rèn)為夏氏“把微積分和解析幾何等新知識(shí)和當(dāng)時(shí)中國(guó)數(shù)學(xué)研究的最前沿領(lǐng)域結(jié)合在了一起”，對(duì)“微積分方法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用還是比較好的”。

以上摘要介紹了前人對(duì)中算家的圓錐曲線說(shuō)的主要研究工作，這些工作為進(jìn)一步研究奠定了很好的基礎(chǔ)。另外，有很多從西學(xué)傳播或跨文化的科學(xué)交流的角度研究西學(xué)在中國(guó)的傳播，雖然沒(méi)有直接對(duì)中算家的圓錐曲線說(shuō)進(jìn)行研究，但富有啟發(fā)意義。如前文提到，韓琦的《西方數(shù)學(xué)的傳入及其影響》對(duì)科學(xué)傳播的傳播者、條件以及社會(huì)因素進(jìn)行了獨(dú)到的論述；田淼的《中國(guó)數(shù)學(xué)的西化歷程》對(duì)西方數(shù)學(xué)傳入中國(guó)的歷程所進(jìn)行的比較全面的梳理，并就代數(shù)學(xué)、三角學(xué)以及垛積術(shù)為例進(jìn)行了具體探討；李兆華的《中國(guó)近代數(shù)學(xué)教育史稿》對(duì)晚清數(shù)學(xué)教育近代化的論述。這三部著作對(duì)本書(shū)的啟發(fā)很大。

三、研究的基本思路和擬解決的問(wèn)題

前人的研究成果比較豐富，但也提出或遺留不少有待繼續(xù)探討的問(wèn)題。如研究偏重于數(shù)學(xué)成果的展示，對(duì)方法的探討論述不多或有待深入；研究角度比較單一，對(duì)中算家所取得的圓錐曲線研究成果缺乏縱向考察，有些成果仍待深化等等。具體來(lái)說(shuō)有以下幾個(gè)問(wèn)題值得深入討論。

（1）結(jié)合近10年來(lái)中國(guó)近代數(shù)學(xué)教育史的研究成果，對(duì)明末至清末圓錐曲線傳入中國(guó)的過(guò)程進(jìn)行全面的梳理。

（2）中算家對(duì)圓錐曲線研究的主要數(shù)學(xué)方法有哪些？為什么會(huì)用這些方法？

（3）一些有代表性的研究成果如夏鸞翔《致曲術(shù)》中某些結(jié)果與現(xiàn)代橢圓積分類似，其數(shù)學(xué)思想如何？李善蘭的橢圓研究成果的內(nèi)在邏輯如何？

（4）傳入的圓錐曲線知識(shí)與中算家已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)發(fā)生怎樣的互動(dòng)？

（5）作為解析幾何內(nèi)容的圓錐曲線知識(shí)對(duì)中算家學(xué)習(xí)、吸收微積分知識(shí)的作用和影響如何？

（6）從西學(xué)傳播角度而言，中算家對(duì)圓錐曲線的認(rèn)識(shí)、研究體現(xiàn)出怎樣的特點(diǎn)？影響傳播的主要因素是什么？

本書(shū)帶著這些問(wèn)題，以歷史研究的方法，從原始文獻(xiàn)資料入手，對(duì)傳入的圓錐曲線知識(shí)進(jìn)行歸納、整理；對(duì)中算家的圓錐曲線研究進(jìn)行數(shù)理分析，執(zhí)果索因，考察他們的解題思路和思維方法；探討西方數(shù)學(xué)與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的互動(dòng)關(guān)系，特別是關(guān)注圓錐曲線知識(shí)對(duì)中算家的知識(shí)結(jié)構(gòu)的互動(dòng)影響。

本書(shū)在不同的章節(jié)以不同的方式行文，或綜合研究，或個(gè)案分析，或橫向比較，或縱向梳理。以中算家普遍關(guān)注的問(wèn)題（如橢圓軌道計(jì)算、橢圓求周、二次曲線求積、拋射運(yùn)動(dòng)、平圓容切等等）的數(shù)理解答方法為線索，進(jìn)行文獻(xiàn)解讀和算理分析。全書(shū)正文分為五章，內(nèi)容大致如下：

第一章“明清傳入的圓錐曲線知識(shí)概述”，主要梳理、論述圓錐曲線知識(shí)傳入中國(guó)的過(guò)程，認(rèn)為大體可分為三個(gè)遞進(jìn)的階段。第一階段是明末清初時(shí)期，傳入的圓錐曲線知識(shí)不完備也不詳細(xì)，以橢圓知識(shí)為主。第二階段是19世紀(jì)60年代，以《代微積拾級(jí)》（1859年）和《圓錐曲線說(shuō)》（1866年）翻譯出版為標(biāo)志，作為二次曲線出現(xiàn)的和作為綜合幾何出現(xiàn)的圓錐曲線知識(shí)均比較系統(tǒng)地傳入中國(guó)。第三階段是19世紀(jì)90年代，以《形學(xué)備旨》（1885年）、《圓錐曲線》（1893年）、《代形合參》（1893年）等教會(huì)學(xué)校的一些教科書(shū)的出版為標(biāo)志，圓錐曲線知識(shí)進(jìn)入教學(xué)、普及的階段。從傳入的西方數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，這三個(gè)階段是漸進(jìn)的過(guò)程，傳入的知識(shí)是由零散到系統(tǒng)、由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)、由初等到高等再到普及。

第二章至第五章內(nèi)容與圓錐曲線知識(shí)傳入的三個(gè)階段大體對(duì)應(yīng)，是本書(shū)的主體部分，具體考察中算家對(duì)圓錐曲線的研究及其成果，以及對(duì)圓錐曲線知識(shí)認(rèn)識(shí)逐漸深化的過(guò)程。

第二章“橢圓模型：從歷法問(wèn)題到數(shù)學(xué)專門問(wèn)題”，主要論述《歷象考成后編》傳入的“橢圓模型”的歷法背景和具體的算法，考察在乾嘉學(xué)派興起和宋元數(shù)學(xué)復(fù)興的背景下，數(shù)學(xué)家對(duì)橢圓軌道問(wèn)題的論述和對(duì)算法的改進(jìn)，認(rèn)為橢圓模型因?yàn)闅v法改革而輸入，因?yàn)橹嗡阒说纳鐣?huì)地位的提升以及數(shù)學(xué)知識(shí)存量的劇增而逐漸成為一個(gè)數(shù)學(xué)研究的專門問(wèn)題。

第三章“曲線求積：從‘遞加數(shù)’到‘疊微分’”，考察中算家以級(jí)數(shù)展開(kāi)的解析方法對(duì)二次曲線求積問(wèn)題的研究及其主要成果，大體可視為《代微積拾級(jí)》翻譯出版后中算家對(duì)微積分的反應(yīng)。主要內(nèi)容是中算家對(duì)橢圓求周術(shù)的解析式的探求、夏鸞翔所取得的類似現(xiàn)代的橢圓積分的成果以及李善蘭對(duì)橢圓軌道問(wèn)題的級(jí)數(shù)解答。認(rèn)為他們的成就是在清代中葉逐漸形成的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法的基礎(chǔ)上吸收《代微積拾級(jí)》中的積分術(shù)所取得的。而后來(lái)一些洋務(wù)學(xué)堂的學(xué)生在曲線求積問(wèn)題上的成果則是他們對(duì)微積分的吸收的體現(xiàn)。

第四章“‘曲線幾何’的綜合研究”，具體考察中算家以綜合幾何方法對(duì)圓錐曲線的研究及其主要成果，大體可視為圓錐曲線知識(shí)系統(tǒng)傳入中國(guó)之后中算家的反應(yīng)。其中著重分析夏鸞翔對(duì)圓錐曲線綜合研究的成果以及李善蘭對(duì)圓錐曲線焦點(diǎn)作圖的研究。這些表明中算家對(duì)幾何的認(rèn)識(shí)逐漸深刻，《幾何原本》的具體影響逐漸顯示出來(lái)，中算家對(duì)一些知識(shí)吸收達(dá)到一定的深度，他們有的成果甚至超越了傳入的內(nèi)容。

第五章“曲線致用：算學(xué)與自強(qiáng)”，論述了晚清特別是自強(qiáng)運(yùn)動(dòng)時(shí)期，國(guó)人形成的“數(shù)學(xué)—制造—自強(qiáng)”（數(shù)學(xué)是制造的基礎(chǔ)，制造是自強(qiáng)的根本，因此自強(qiáng)應(yīng)從興算入手）的認(rèn)識(shí)邏輯，在此基礎(chǔ)上論述數(shù)學(xué)家們對(duì)《重學(xué)》中拋射運(yùn)動(dòng)知識(shí)的解讀，以及許多數(shù)學(xué)家對(duì)《火器真訣》的再解讀，認(rèn)為知識(shí)的傳播與受眾的知識(shí)基礎(chǔ)有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性。還考察了運(yùn)用圓錐曲線作圖解決傳統(tǒng)容圓問(wèn)題和阿波羅尼問(wèn)題的做法，這表明圓錐曲線知識(shí)已經(jīng)內(nèi)化為中算家們的知識(shí)構(gòu)成，他們的知識(shí)體系得到充實(shí)和發(fā)展。晚清數(shù)學(xué)教育變革以及教會(huì)學(xué)校的影響使得晚清數(shù)學(xué)教科書(shū)得以出現(xiàn)，數(shù)學(xué)知識(shí)分類逐漸近代化，數(shù)學(xué)知識(shí)逐步系統(tǒng)化。壬寅、癸卯學(xué)制的頒布使得科學(xué)知識(shí)教學(xué)得以建制化，數(shù)學(xué)知識(shí)的傳播更具有制度保證。

最后是結(jié)語(yǔ)部分。在前幾章對(duì)中算家的圓錐曲線說(shuō)研究的基礎(chǔ)上，此章重申圓錐曲線知識(shí)傳入中國(guó)的三個(gè)遞進(jìn)的階段，中算家對(duì)圓錐曲線知識(shí)的理解和吸收過(guò)程是他們基于自己的知識(shí)構(gòu)成變化的演變、深化的過(guò)程。更進(jìn)一步講，本章對(duì)晚清對(duì)微積分等高等數(shù)學(xué)知識(shí)吸收薄弱的情形結(jié)合中算家當(dāng)時(shí)的知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了討論，提出我們對(duì)西方數(shù)學(xué)在中國(guó)傳播特點(diǎn)的理論思考，著力論述中算家對(duì)西方數(shù)學(xué)的理解、吸收與應(yīng)用的發(fā)展過(guò)程的內(nèi)在原因。我們認(rèn)為中算家是根據(jù)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)對(duì)傳入的數(shù)學(xué)知識(shí)加以選擇，賦予西學(xué)在自己知識(shí)結(jié)構(gòu)內(nèi)以意義。他們對(duì)傳入的微積分等西方數(shù)學(xué)知識(shí)的吸收程度是由當(dāng)時(shí)他們自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)所決定的。中算家的知識(shí)構(gòu)成在比較、吸收西學(xué)的過(guò)程中在不斷地?cái)U(kuò)充和改變，逐步形成了新的知識(shí)結(jié)構(gòu)，影響著后來(lái)與西學(xué)的相互作用，最后融入西方數(shù)學(xué)，直至傳統(tǒng)數(shù)學(xué)被取代。自西方數(shù)學(xué)傳入之后，中國(guó)數(shù)學(xué)研究的若干重要成果的方法、特色、成就與不足均與當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家的知識(shí)結(jié)構(gòu)有關(guān)，“知識(shí)結(jié)構(gòu)”可以作為此期中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展內(nèi)因的一個(gè)重要依據(jù)。中算家知識(shí)構(gòu)成的變化可以作為分析和理解西方數(shù)學(xué)在晚清傳播情形的一個(gè)視角，這個(gè)視角可以兼顧傳統(tǒng)數(shù)學(xué)“知識(shí)進(jìn)展”與“近代化”的研究思路。

附注：正文第二章至第五章雖然不是以時(shí)間為序，但討論的具體內(nèi)容大體有著前后的歷史順序。為了突出其歷史性，有的人物或著作的時(shí)間標(biāo)注可能隨文多次重復(fù)出現(xiàn)。為了表述方便，數(shù)學(xué)符號(hào)采用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行論述。為了有一個(gè)直觀的認(rèn)識(shí)，基本上每節(jié)都選用了一個(gè)書(shū)影，從中可以看出古今數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)的變化與區(qū)別。