第一章 明清傳入的圓錐曲線知識(shí)概述

本章從整體上對(duì)從明末至晚清大約300年時(shí)間里傳入中國(guó)的圓錐曲線知識(shí)進(jìn)行綜述。首先簡(jiǎn)述圓錐曲線的發(fā)展史，主要論述它在西方數(shù)學(xué)史特別是在幾何發(fā)展史中的地位，以及其基本的知識(shí)體系和方法。其次論述圓錐曲線知識(shí)傳入中國(guó)的三個(gè)階段。第一階段是明末清初時(shí)期，傳入的圓錐曲線知識(shí)不完備也不詳細(xì)，以橢圓知識(shí)為主。第二階段是19世紀(jì)60年代，以《代微積拾級(jí)》（1859年）和《圓錐曲線說(shuō)》（1866年）翻譯出版為標(biāo)志，作為二次曲線出現(xiàn)的和作為綜合幾何出現(xiàn)的圓錐曲線知識(shí)均比較系統(tǒng)地傳入中國(guó)。第三階段是19世紀(jì)90年代，以《形學(xué)備旨》（1885年）、《圓錐曲線》（1893年）、《代形合參》（1893年）等教會(huì)學(xué)校的一些教科書的出版為標(biāo)志，圓錐曲線知識(shí)進(jìn)入教學(xué)、普及的階段。從傳入的西方數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，這三個(gè)階段是漸進(jìn)的過程，傳入的知識(shí)是由零散到系統(tǒng)、由常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)、由初等到高等再到普及。

第一節(jié) 圓錐曲線簡(jiǎn)史

現(xiàn)代意義上的圓錐曲線知識(shí)屬于西方數(shù)學(xué)內(nèi)容。一般認(rèn)為，圓錐曲線的發(fā)展經(jīng)歷兩個(gè)重要階段。第一階段是創(chuàng)立階段，以古希臘亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿波羅尼奧斯（Apollonius，約公元前262至前190年）用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臍W氏幾何風(fēng)格寫成的《圓錐曲線論》為標(biāo)志。第二階段是解析階段，即解析幾何創(chuàng)立后，圓錐曲線成為解析幾何的一個(gè)重要的分支，以二次曲線的面貌出現(xiàn)的時(shí)期。本節(jié)圍繞這兩個(gè)階段，簡(jiǎn)述圓錐曲線的發(fā)展，重點(diǎn)論述它在幾何發(fā)展史中的地位及其基本的知識(shí)體系和各階段的方法。

一、圓錐曲線論的創(chuàng)立

1．圓錐曲線研究的起源

圓錐曲線的研究，起源于古希臘，它與幾何三大作圖問題中的倍立方問題有關(guān)，該問題指的是要用尺規(guī)作圖的方法求作一立方體使其體積等于已知立方體的兩倍。公元前5世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底（Hippocrates，公元前5世紀(jì)）指出倍立方問題可以歸結(jié)為在一線段與另一雙倍長(zhǎng)的線段之間求兩個(gè)比例中項(xiàng)的問題，即求二次比的問題。用現(xiàn)在的代數(shù)符號(hào)來(lái)表示，令x和y是這樣兩個(gè)量，使得

則

由前兩式可以得到

得到x便解決了倍立方問題，但它不能用尺規(guī)作出。從解析幾何而言，x和y就是兩條拋物線的交點(diǎn)或一拋物線和一雙曲線的交點(diǎn)的坐標(biāo)。幾何三大問題曾轟動(dòng)一時(shí)，討論者很多，曾研究過倍立方問題的著名希臘學(xué)者還有阿契塔（Archytas，約公元前428至前347年）、柏拉圖（Plato，約公元前427至前347年）、歐多克斯（Eudoxus，約公元前408至前355年）及梅內(nèi)克繆斯（Meneachmus，約公元前375至前325年）等。

梅內(nèi)克繆斯的方法可能是之前研究的總匯。他取三個(gè)正圓錐，一為直角，一為銳角，一為鈍角，各作一平面垂直于一條母線，并與圓錐相截，稱截線分別為“直角圓錐截線”“銳角圓錐截線”“鈍角圓錐截線”（即今之拋物線、橢圓、等軸雙曲線一支），這是最早的對(duì)圓錐曲線的命名。他用兩條拋物線或一拋物線與一雙曲線的交點(diǎn)解決倍立方問題。梅內(nèi)克繆斯的著作早已散失，根據(jù)后來(lái)學(xué)者考證，以“直角圓錐截線”（拋物線）的方法為例說(shuō)明如下：

如圖1-1-1，RtΔBAC是直角圓錐的軸截面，截面DEF垂直于母線AC，交軸截面于DE。在DE上任取一點(diǎn)J，過J點(diǎn)作正截面HKG，與DEF交于JK，作DL//HG, LM⊥LD交DE于M點(diǎn)。于是有

JK2=HJ·GJ=LD·JG=JD·DM

若設(shè)x=JD, y=JK, p=DM，則有

y2=px

顯然這就是拋物線的方程。

同樣，能得到“銳角圓錐截線”“鈍角圓錐截線”。這就是圓錐三曲線的起源研究——所謂的“梅內(nèi)克繆斯三曲線”。

2．阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》

梅內(nèi)克繆斯之后不久，研究圓錐曲線的學(xué)者比較著名的有歐幾里得（Eu-clid，約公元前300年）、阿基米德（Archimedes，約公元前287至前212年）、阿波羅尼奧斯。

歐幾里得有本著作為《圓錐割線》（Conics），根據(jù)帕普斯的說(shuō)法，這部失傳的著作共含四篇，后來(lái)被阿波羅尼奧斯引用，成為其《圓錐曲線論》的頭三篇的主要內(nèi)容。歐幾里得把圓錐曲線分為三類不同的圓錐的割線來(lái)處理。橢圓可任由一圓錐或一圓柱的割線得到。阿基米德圓錐曲線研究的重要成就就是利用窮竭法得出拋物線弓形面積，他還發(fā)明圓錐曲線的直徑。

最主要的是阿波羅尼奧斯的研究，他的《圓錐曲線論》（Conic Sections）可以看成圓錐曲線論創(chuàng)立的標(biāo)志。《圓錐曲線論》共8卷，末卷遺失。卷1論三種曲線的產(chǎn)生，卷2論漸近線、軸及直徑，卷3論三種曲線的軌跡問題，卷4論直線的調(diào)和分割，兩曲線不多于四個(gè)交點(diǎn)，兩曲線的位置關(guān)系，卷5論極大與極小值問題，卷6論相似圓錐曲線，卷7論共軛直徑，卷8可能是繼續(xù)論述共軛直徑。阿波羅尼奧斯處理圓錐曲線的方法與前人不同，不用三個(gè)圓錐，只用一個(gè)圓錐，通過改變截面的位置產(chǎn)生三種曲線，他還注意到截面垂直于軸時(shí)截線是圓。他最先發(fā)現(xiàn)雙曲線是有心曲線，并有兩個(gè)分支，他對(duì)圓錐曲線的敘述很接近近代方式。例如，（以頂點(diǎn)為原點(diǎn)，軸為橫軸的拋物線）任一點(diǎn)橫坐標(biāo)與通徑組成的矩形等于與之對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)組成的正方形；（以一頂點(diǎn)為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸為橫軸的橢圓或雙曲線）任一點(diǎn)縱坐標(biāo)組成的正方形小于或大于與之對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)及通徑組成的矩形。表示為現(xiàn)代形式，即y2=px, y2＜px, y2＞px。根據(jù)他的表述，圓錐曲線方程可以表達(dá)為y2=px（拋物線）（橢圓），或（雙曲線）（其中p為通徑，d為與之對(duì)應(yīng)的直徑）。

以橢圓的定義為例。如圖1-1-2，A-BC是一圓錐面（不一定為正圓錐面），設(shè)錐的一截面與底平面的交線為GL, GL在底圓之外，與圓錐面的交線曲線為MPN。在底面取垂直于GL的直徑BC，并延長(zhǎng)交GL于G點(diǎn)。軸平面與曲線MPN交于M和N。軸平面內(nèi)過A作AK//MG交BG的延長(zhǎng)線于K點(diǎn)。MPN便是軸平面ABC與截平面的交線。在截曲線上任取一點(diǎn)P，作PH//GL交MN于H點(diǎn)。阿波羅尼奧斯稱PH為縱標(biāo)線，他希望對(duì)曲線上任一點(diǎn)建立起縱標(biāo)線PH與同樣依賴P點(diǎn)位置的線段MH之間的關(guān)系。

阿波羅尼奧斯作了一系列的輔助線和幾何推理得到

對(duì)于給定的圓錐面與截平面，MN, BK, CK均為確定的線段，若記

這樣阿波羅尼奧斯相當(dāng)于給出解析幾何中的橢圓方程

由于y2=px, y2＜px, y2＞px，便稱拋物線、橢圓、雙曲線分別為“齊曲線”“虧曲線”“盈曲線”。當(dāng)希臘著作傳入歐洲時(shí)，這些名稱便譯為拉丁文之“Parabola”“Ellipse”“Hyperbola”。

阿波羅尼奧斯用統(tǒng)一的方式引出圓錐三曲線后，對(duì)它們的性質(zhì)進(jìn)行廣泛的討論，內(nèi)容涉及圓錐曲線的直徑，共軛直徑、切線、中心、雙曲線的漸近線、橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)以及處在各種不同位置的圓錐曲線的交點(diǎn)數(shù)等等。

《圓錐曲線論》用純歐氏幾何的方法得到了現(xiàn)在解析幾何的幾乎全部的主要結(jié)論，令人嘆服。該書被認(rèn)為代表了希臘演繹幾何的最高成就，是圓錐曲線論創(chuàng)立的標(biāo)志性著作。

阿波羅尼奧斯以后，希臘對(duì)圓錐曲線的貢獻(xiàn)顯得不多。4世紀(jì)，由于帕普斯的研究，希臘幾何又興盛起來(lái)。帕普斯是當(dāng)時(shí)著名的幾何學(xué)家，很多著作都失傳了，只流傳下來(lái)他的《數(shù)學(xué)論叢》后6卷（這書共8卷，前2卷已散佚）。由《數(shù)學(xué)論叢》可以看出他對(duì)圓錐曲線有很多貢獻(xiàn)，例如卷8證明了五點(diǎn)可確定一條圓錐曲線，卷7證明了圓錐曲線的焦點(diǎn)-準(zhǔn)線-離心率性質(zhì)，等等。

二、圓錐曲線的解析時(shí)代

1．解析幾何的誕生

近代之初，由于生產(chǎn)的發(fā)展以及各種自然科學(xué)如天文學(xué)、力學(xué)、光學(xué)的發(fā)展，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。圓錐曲線的作用在近代科學(xué)中得到了新的體現(xiàn)和發(fā)展。

德國(guó)天文學(xué)家開普勒（Kepler, 1571—1630年）于1609年發(fā)現(xiàn)天體運(yùn)行軌道是橢圓，也發(fā)現(xiàn)圓錐曲線的焦點(diǎn)及離心率，并指出拋物線還有一個(gè)在無(wú)限遠(yuǎn)處看不見的焦點(diǎn)。他還推測(cè)平面截圓錐于無(wú)限遠(yuǎn)時(shí)，雙曲線可變?yōu)閽佄锞€，無(wú)限大的橢圓就是圓，最銳的雙曲線將退縮成一對(duì)直線，最鈍的雙曲線是拋物線，最銳的橢圓是拋物線，最鈍的橢圓是圓，并于1604年給出三種曲線的一般拉線作圖法。意大利物理學(xué)家伽利略（Galileo, 1564—1642年）于1608年通過桌面滾球?qū)嶒?yàn)發(fā)現(xiàn)而且證明了：由水平方向的勻速運(yùn)動(dòng)和垂直下的勻加速運(yùn)動(dòng)復(fù)合生成的拋射體運(yùn)動(dòng)，其路徑是一條半拋物線。他還進(jìn)一步證明以任何角度發(fā)射的炮彈，其路徑也為拋物線。法國(guó)學(xué)者邁多爾日（Mydorge, 1585—1647年）發(fā)展了圓錐曲線在光學(xué)中的應(yīng)用。

近代早期這些科學(xué)家的一些成果向幾何學(xué)提出了用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)和處理圓錐曲線及其他幾何曲線的課題。因?yàn)榈厍驀@太陽(yáng)運(yùn)轉(zhuǎn)的橢圓軌道、物體斜拋運(yùn)動(dòng)的拋物線軌跡等這些遠(yuǎn)不是靠用平面截圓錐得到的圓錐曲線這一概念所能把握的。傳統(tǒng)的幾何學(xué)缺乏解決這些問題的有效辦法，要能反映這類運(yùn)動(dòng)的軌跡和性質(zhì)，就必須從觀點(diǎn)到方法上變革，建立一種運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)上的幾何學(xué)。這種幾何便是解析（坐標(biāo)）幾何，其基本方法是在引入坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，把由曲線所決定的兩個(gè)坐標(biāo)之間的關(guān)系用代數(shù)方程表示出來(lái)，通過對(duì)代數(shù)方程的研究來(lái)掌握曲線的性質(zhì)。

解析幾何的真正發(fā)明要?dú)w功于笛卡兒（R. Descartes, 1596—1650年）和費(fèi)馬（P. de Fermat, 1601—1665年）。

笛卡兒的解析幾何以如下兩個(gè)觀念為基礎(chǔ)：一是坐標(biāo)觀念，二是把互相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)未知數(shù)的任意代數(shù)方程看成平面上的一條曲線的觀念。他的坐標(biāo)不僅表示點(diǎn)的位置，還將坐標(biāo)通過“點(diǎn)動(dòng)成線”的觀點(diǎn)應(yīng)用于曲線的方程的建立；而對(duì)于方程，笛卡兒不僅把它看成是未知數(shù)與未知數(shù)的關(guān)系式，而且更多地把它看成是兩個(gè)變量之間的關(guān)系式。笛卡兒還打破了代數(shù)學(xué)的齊次原則，將不同次數(shù)的幾條曲線同時(shí)表示在同一個(gè)坐標(biāo)系中。這樣，圖形中各幾何量之間的關(guān)系可以化成數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，從而形成代數(shù)計(jì)算與幾何作圖之間的平行對(duì)應(yīng)關(guān)系，開辟了把代數(shù)與幾何巧妙統(tǒng)一起來(lái)的道路。笛卡兒的這些思想發(fā)表在1637年出版的幾何著作《幾何學(xué)》中。該書是作為他的哲學(xué)著作《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》（一般簡(jiǎn)稱《方法論》）的附錄出版的。《幾何學(xué)》共3卷，卷l討論直線及圓的作圖問題，他沒有采用坐標(biāo)，也沒有用兩軸，卻用嚴(yán)密的文詞敘述了坐標(biāo)概念。卷2討論曲線的性質(zhì)，也對(duì)帕普斯軌跡問題作了研究。卷3討論圖解問題，詳細(xì)地討論了三次以上方程的圖解問題。

就這樣，笛卡兒把以往兩個(gè)對(duì)立的研究對(duì)象“數(shù)”與“形”統(tǒng)一起來(lái)，并在數(shù)學(xué)中引入變量的概念，導(dǎo)致變量數(shù)學(xué)即近代數(shù)學(xué)的誕生。

1630年，費(fèi)馬寫成《空間與平面軌跡入門》（1679年發(fā)表）。在這篇文章中費(fèi)馬通過建立坐標(biāo)，將曲線的特征以統(tǒng)一的方式譯成了代數(shù)語(yǔ)言，使得各種不同的曲線都能用代數(shù)方程表示和研究，他還具體研究了直線、圓和其他圓錐曲線的方程，注意到坐標(biāo)軸可以平移和旋轉(zhuǎn)，并以此化簡(jiǎn)方程。很大程度上，費(fèi)馬的工作是阿波羅尼奧斯工作的代數(shù)翻版，但他的工作與笛卡兒的思想殊途同歸，因?yàn)榘l(fā)表得比笛卡兒的《幾何學(xué)》晚，后人多疏忽了費(fèi)馬對(duì)解析幾何的貢獻(xiàn)。

解析幾何把數(shù)學(xué)造成了一個(gè)雙面的工具。一方面，幾何概念可以用代數(shù)表示，幾何的目標(biāo)可以通過代數(shù)達(dá)到。另一方面，反過來(lái)，給予代數(shù)語(yǔ)言以幾何的解釋，可以直觀地掌握那些語(yǔ)言的意義，又可以得到啟發(fā)去提出新的結(jié)論。解析幾何一經(jīng)創(chuàng)造便改變了整個(gè)數(shù)學(xué)的面貌，圓錐曲線的研究方法也獲得了新的突破。

2．圓錐曲線的分析研究

最先將圓錐曲線作為二次曲線來(lái)研究的是英國(guó)數(shù)學(xué)家沃利斯（J. Wallis, 1616—1703年），他在其《論圓錐曲線》（1655年）中，第一次得到圓錐曲線的方程。他為了闡明阿波羅尼奧斯的結(jié)果，將《圓錐曲線論》的幾何條件翻譯成代數(shù)條件，得到曲線的方程。他還將圓錐曲線定義為對(duì)應(yīng)于含x和y的二次方程的曲線，并證明這些曲線確實(shí)就是幾何里的圓錐曲線。沃利斯的這本著作在很大程度上推動(dòng)了解析幾何思想的傳播，不僅強(qiáng)調(diào)了代數(shù)推理的有效性，同時(shí)又有助于普及這樣的思想：把圓錐曲線看成平面曲線，而不是看成圓錐與平面的交線。

1659—1661年間，笛卡兒的《幾何學(xué)》第二版問世，書末附有一些注解文章。首先是拜瑙（F. de Beaune, 1601—1652年）的，他逐節(jié)作了闡述，并以y2=xy+bx, y2=-2dy+bx, y2=bx-x2表示雙曲線、拋物線、橢圓；又按xy+bx+cy=df系數(shù)討論了17種情形。其次是舒頓（Schooten, 1615—1660年）的，他的文章中有一次、二次方程的研究，推出了坐標(biāo)平移和旋轉(zhuǎn)公式以及漸近線方程，也闡論了圖解方程問題。此外還有胡鼎（Hudden，約1633—1704年）的注解文章等。由于這些文章的注解及介紹，了解者漸多，笛卡兒的《幾何學(xué)》才得以廣泛地流傳起來(lái)。

18世紀(jì)，牛頓（Newton, 1642—1727年）正確地運(yùn)用了負(fù)坐標(biāo)和橫縱軸，從此改變了以前對(duì)負(fù)坐標(biāo)概念不清以及使用單一軸的現(xiàn)象。在他所著的《光學(xué)》（1704年）中，推證了圓錐曲線的切線問題、曲率問題以及在光學(xué)中的應(yīng)用等。

1705年和1707年法國(guó)出版了兩部著作，一為居西尼（N. Guisnee, ?—1718年）的《代數(shù)在幾何中的應(yīng)用》，一為洛比達(dá)（L'Hospital, 1661—1704年）的《圓錐曲線解析論》。前一書可能是第一個(gè)以a, b表示有心曲線的半軸，第一次使用直交坐標(biāo)系。后一書對(duì)一般二次方程進(jìn)行了討論，曾明確地指出，若y2系數(shù)為l，當(dāng)xy系數(shù)之半大于、等于、小于x2的系數(shù)時(shí)，分別是三種圓錐曲線。此外，洛比達(dá)還用焦點(diǎn)-準(zhǔn)線定義了圓錐曲線，并給出標(biāo)準(zhǔn)方程。

1748年，英國(guó)數(shù)學(xué)家馬克勞林（Maclaurin, 1698—1746年）、意大利女?dāng)?shù)學(xué)家渥尼西（M. Agnesi, 1718—1799年）及彼得堡科學(xué)院院士歐拉（Euler, 1707—1783年）等人的一些著作出版，使得解析幾何向縱深發(fā)展，這一年可以說(shuō)是解析幾何學(xué)史上最輝煌的一年。

在此著重討論歐拉的《分析引論》（1748年），他在此書中建立了直交坐標(biāo)、斜交坐標(biāo)及極坐標(biāo)概念，給出坐標(biāo)的變換公式及轉(zhuǎn)軸公式。歐拉對(duì)圓錐曲線的論證十分正確，他由一般二次方程0=α+βx+γy+δx2+εxy+ζy2著手，系統(tǒng)地研究了各種情形，并按參數(shù)方程與極方程論述了圓錐曲線。另一方面，由為通徑之半，為頂點(diǎn)至焦點(diǎn)的距離）推出；當(dāng)2d=c時(shí)，a=∞, b=∞，則得到y2=-2cx，于是他認(rèn)為拋物線得自橢圓。

《分析引論》不但對(duì)圓錐曲線論述得十分完備，對(duì)于曲面及一般曲線的研究也很全面。該書后被認(rèn)為是現(xiàn)代意義下的“第一部解析幾何學(xué)教程”。正是由于這些著作，使得圓錐曲線成為了二次曲線的特例。

可以看出，圓錐曲線進(jìn)入分析學(xué)后內(nèi)容發(fā)展越來(lái)越豐富，它們?cè)诮馕鰩缀魏臀⒎e分的背景下獲得很大的發(fā)展，逐漸成為了傳播解析思想的載體和學(xué)習(xí)分析學(xué)（微積分）的必要的（一定程度上甚至是必備的）知識(shí)基礎(chǔ)。