第二節
連鎖悖論舉要
古希臘麥加拉派的邏輯學家歐布里德斯（Eubulides）提出了很多怪論和悖論，其中兩個是如下的連鎖悖論：
（1）谷堆悖論
一粒谷算不算谷堆？不算！再加一粒呢？也不算！再加一粒呢？還不算。再加一粒呢？……因此，無論加多少谷粒，即使加1萬粒，也不會造成谷堆。
（2）禿頭悖論
頭上掉一根頭發算不算禿頭？不算！再掉一根呢？也不算！再掉一根呢？還不算。再掉一根呢？……因此，無論掉多少根頭發，即使所有的頭發都掉光了，也不會造成禿頭。
順便提及，根據網上查到的資料，長金發的人平均有14萬根頭發，長紅發的人平均有9萬根頭發，長棕發的人平均有10萬9千根頭發，長黑發的人平均有10萬8千根頭發。
有資料表明，歐布里德斯提出如上兩個悖論，很可能受到由愛利亞的芝諾在一個世紀以前提出的如下悖論的啟發：
（3）谷粒和響聲
如果1粒谷子落地沒有響聲，2粒谷子、3粒谷子落地也沒有響聲，如此類推下去，1整袋谷子落地也不會有響聲。
應該注意，古希臘思想家在這里并不是要探究事實的真相，而是試圖找到邏輯演繹與事實之間的差別。如果承認從一粒谷到谷堆之間、從滿頭頭發到禿頭之間、谷子落地從沒有響聲到有響聲之間都有一個連續的系列，那么，其間會有一個變化的模糊區域，以至于我們無法弄清楚其確切的分界線在哪里。
根據第歐根尼·拉爾修的《名哲言行錄》的記載，斯多亞派的克里西普斯（Chrysippus,c.280—c.206 BC）還提出了如下的悖論：
（4）很少悖論
并非2是很少的而3不是；并非2和3是很少的而4不是；如此類推，直至1萬。但是，2是很少的，所以，1萬也是很少的。[1]
如上這些悖論流傳很廣，被后世很多人所知曉。西塞羅（Cicero, 106—43 BC），作為古羅馬的演說家、政治家和哲學家，曾談到：
人們必定要批評[新柏拉圖學派]利用一種極端詭辯的論證。這種論證通常在哲學上完全不能令人滿意，因為它依賴一種通過一點一點增加或減少而進行推理的方法。他們稱這種論證為連鎖論證，是因為通過一次增加一顆麥粒到了某個時刻就成了一個麥堆……。我們不具備知道絕對界限的能力，以便根據事物的本性能夠精確地確定我們在任何方面到底走了多遠；這種情況不僅出現在麥堆的例子中（連鎖論證從這個事例得名），而在無論什么事例都是如此：如果通過逐漸細微的增加或減少，問我們如此這般的一個人是富人還是窮人，是名人還是無名之輩，問我們遠處的東西是多還是少，是大還是小，是長還是短，是寬還是窄，那么，我們不知道在什么程度上能夠通過增減給出一個明確的回答。[2]
（5）王悖論
這是達米特以美籍華裔邏輯學家王浩的名字命名的一個悖論[3]，與數的大小有關：
1是一個小數。
對于任一n，如果n是一個小數，則n+1也是一個小數。
所以，每一個數都是一個小數。
這個推理的第一個前提確實是真的。而且，給一個太小的數加1也不會使得它從一個小數變成不小的數，故第二個前提似乎也是真的。并且，這個推理似乎也是有效的。假如1是一個小數，則1+1即2也是一個小數；如果2是一個小數，則2+1也是一個小數；只要有足夠的耐心，我們可以不斷重復這樣的推理步驟，以至我們最后得到了100萬這個數，按照前面的道理，它也應該是一個小數，但很顯然它不再是一個小數，而是一個很大的數！我們究竟錯在哪里呢？
如上所述的連鎖悖論可以表述成如下4種一般形式：
（a）條件命題的遞增形式，例如“谷堆”悖論：
（b）條件命題的遞減形式，例如“禿頭”悖論：
（c）否定的合取命題形式，例如很少悖論：
（d）數學歸納法形式
應該注意，上述推理模式構成一個連鎖悖論，必須滿足一些條件。首先，〈a1, a2, a3, …, ai〉必須是一個有序i元組，例如，根據頭發根數的多少對“禿頭”排序，根據谷粒的多少對“谷堆”排序。其次，謂詞F必須滿足三個限制條件：（i）它必須對該序列中的第一項a1是真的；（ii）它必須對該序列中最末一項ai是假的；（iii）在該序列中，緊鄰的兩個項an和an+1必須足夠相似以至相對于謂詞F難以鑒別，即是說，它們同時滿足謂詞F或者同時不滿足F。由這樣的謂詞F和序列〈a1, a2, a3,…, ai〉所構成的論證就是一個“連鎖悖論”。[4]在此類悖論中，一個前提的輕微不精確，在一連串推理步驟中被一再復制或放大，最后得到荒謬的結果。這是由演繹推理而導致的悖論，并且很可能是這種悖論中最簡單的一類。
下面列舉一些與連鎖悖論很相似的悖論，它們都是從明顯真實的前提出發，通過微小而難以覺察的改變，或者通過直觀上有效的小的推理步驟，得出了明顯為假的結論，或者是得出了其真實性高度可疑的結論。
（6）忒修斯之船
據普羅塔克（Plutarch,c.46—c.120 AD）記載，忒修斯（Theseus）是傳說中的雅典國王，在成為國王之前，他駕船率人前往克里特島，用利劍殺死了怪物米諾陶，解救了作為貢品的一批童男童女。后來，人們為了紀念他的英雄壯舉而一直維修保養那艘船。隨著時光流逝，那艘船逐漸破舊，人們依次更換了船上的甲板，以至最后更換了它的每一個構件。這時候，人們禁不住發出疑問：更換了全部構件的忒修斯之船還是原來那艘船嗎？后來，常把其所有部分被替換后原主體是否仍然存留的哲學問題稱之為“忒修斯之船”。英國哲學家霍布斯（Hobbes,1588—1679）曾在其著作《論物體》（第2編第11章第7節）中對其加以探討。
“忒修斯之船”的悖謬之處在于：
（a）如果一艘船僅有部分構件被更換了，那艘船仍然是原來那艘船。
（b）如果一艘船的全部構件都被更換了，那艘船不再是原來那艘船。
（c）根據（a），如果我們每一次只更換那艘船的很少構件，比如說一個構件，在每一次更換后，那艘船仍然是原來那艘船；直到最后一次更換時仍然如此。
（d）根據（b），到最后一次更換時，該艘船的所有構件都被換掉了，那艘船不再是原來那艘船。
（e）矛盾：被更換了全部構件的那只船，既是原來那艘船又不是原來那艘船！[5]
忒修斯之船所涉及的問題是：我們如何理解和刻畫跨越時間或空間的個體的同一性（identity）？例如，一個人從小孩變成了老人，我們認為還是同一個人；一艘船盡管更換了全部部件，我們是否仍然認為它還是原來那艘船？如果這樣的話，萊布尼茨的“同一不可分辨”原則（如果x=y，則Fx→Fy）和“不可分辨者的同一”原則（如果Fx?Fy，則x=y）是否仍然成立？其理由是什么？……
（7）卡特勒爵士的襪子
這是忒修斯之船的變體。
據說，約翰·卡特勒爵士有一雙非常喜歡的襪子，他一直穿了好多年。一旦某個地方破了，他就要仆人織補，如此不斷反復。若干年之后，原來襪子上的一根線都不存留了，全部材料都換成了新的。這時候，他感到納悶：我的這雙襪子還是我原來喜歡的那一雙嗎？如果不是，它在什么時候變得不是原來那雙襪子了呢？
（8）顏色悖論
假設我們把100個色塊順序排列，從左端的紅色到右端的橘色。如果我們把所有其他色塊拿掉，只留下相鄰的兩個色塊，它們之間的差別僅憑我們的視覺難以覺察和分辨，因而我們應該把它們視為同一，既然第一塊是紅色，由于第二塊在顏色上與第一塊無法分辨，則第二塊也是紅色；而第三塊在顏色上與第二塊也無法分辨，則第三塊也是紅色；第四塊在顏色上與第三塊也無法分辨，則第四塊也是紅色；如此類推，最后應該得出第一百塊也是紅色。但事實上，第一百塊是橘色的！問題出在哪里呢？我們在哪一步或哪些步的推理上出錯了呢？
顏色謂詞是觀察謂詞，涉及我們感官的觀察能力和分辨能力。其他連鎖悖論都或多或少帶有一點“臆造”的性質，人們很容易把“悖論”的產生歸結為我們的語詞不精確，例如“禿頭”、“谷堆”、“很少”、“小數”這些詞就是邊界不精確的詞語，而顏色悖論似乎就是現實世界中真實存在的情形，因此顏色悖論是比較難對付的連鎖悖論之一。
以上三個悖論涉及“不可分辨性”，根據萊布尼茨提出的“不可分辨者的同一”原則，即?x?y（（Fx?Fy）→（x=y）），它們都涉及等詞“=”，有如下的共同形式：
（9）自我折磨悖論
由奎恩（W. S. Quinn）提出，亦稱“奎恩悖論”[6]。
有一個人，權且叫他“約翰”吧，受雇做醫學實驗：接受很輕微的令人感到些許疼痛的刺激，為此他會得到一筆錢；隨著刺激量的逐漸輕微加大，所得到的錢的數目會以更大幅度增加。每一次刺激量加大所造成的疼痛加重是如此輕微，以至很難與上一次刺激所造成的疼痛區分開。所以，可以合理地設想，約翰沒有理由叫停下一次刺激量增加，何況他還可以得到更多的錢。但到某一次刺激量增加時，其所造成的疼痛是如此難以忍受，不是所得到的任何數目的錢所能補償的。
下面的難題與連鎖悖論有很密切的類似，但很難說它是一個連鎖悖論。
（10）云彩悖論
通稱“一多問題”。彼特·昂格爾（P. Unger）最明確地闡述了這個問題[7]，后來引起了廣泛討論。
試設想晴朗天空中的一塊云彩。從地面上看，那塊云彩有明確的邊界。但事實并非如此。那塊云彩由大量的水蒸氣組成，在云彩的外緣，水蒸氣的濃度逐漸降低，以至它們是如此稀薄，我們會遲疑地不再把它們視作那塊云彩的一部分，而只是說它們靠近那塊云彩。但是，變化是漸進的，許多層面都同樣可以作為該塊云彩的邊界的候選者。因此，許多水蒸氣的聚集，或濃或淡，或大或小，都同樣可以視作該塊云彩。既然它們有同等的根據，我們憑什么說水蒸氣的這團聚集而不是另一團聚集是那塊云彩？如果它們全都可以算作云彩，則我們有許多塊云彩，而并非只有一塊云彩。如果它們每一個都不算作云彩，則我們就沒有一塊云彩。問題在于：我們如何可能只有一塊云彩？盡管事實上確實如此。
云彩悖論的產生源自于下面8個命題，單獨來看，它們每一個都是真的，但擱在一起卻不相容：
（a）有幾團不同的水蒸氣聚集sk，對于每一團sk來說，該sk中的水蒸氣是否構成了那塊云彩，這一點是不清楚的。
（b）晴朗的天空中有一塊云彩。
（c）晴朗的天空中至多有一塊云彩。
（d）對每一聚集sk來說，有一個由sk中的水蒸氣所構成的對象ok。
（e）如果si中的水蒸氣構成對象oi，并且sj中的水蒸氣構成對象oj，并且si和sk不是同一個聚集，則oi和oj也不是同一個對象。
（f）如果oi是天空中的云彩，并且oj也是天空中的云彩，并且oi不等同于oj，則它們是天空中兩塊不同的云彩。
（g）如果任一聚集si的成員構成一塊云彩，那么，對于任一其他的聚集sj而言，如果其成員構成一對象oj，則oj也是一塊云彩。
（h）任何云彩都由一團水蒸氣構成。
這8個命題相互之間不一致：根據前提（b）和（h），有一塊由水蒸氣所構成的云彩。比如說，這塊云彩是由si中水蒸氣構成的，令sj是任何一團另外的水蒸氣，就我們所能辨認的而言，其成員有可能構成一塊云彩。前提（a）保證有這樣的聚集存在。根據（d）, sj中的水蒸氣構成對象oj。根據（e）, oj不等同于我們原有的那塊云彩。根據（g）, oj是一塊云彩，既然它明顯也在天空中，它也是天空中的一塊云彩。根據（e），天空中有兩塊云彩。但這與前提（c）不相容。對此悖論的解決方案必須合理地說明：為什么要拒斥其中的一個前提？或者，為什么要拒斥導致矛盾的推理方式？或者，為什么要容忍該矛盾并與其和平共處？
關于以上的連鎖悖論，我先做以下兩點評論：
第一，此類悖論給我們的教訓是：微小差別的不斷累積和放大，可以造成巨大的差別。試考慮三個數：0.9,1,1.1，后個數與前面數的差別只有0.1。若讓每個數與自身連乘10次，0.9變成了0.31,1仍然是1,1.1變成了2.85，它是0.31的近10倍，1的近三倍！差距就是這樣造成的。所以，每個人都必須當心生命過程中的每一步：小勝有可能積成大勝，小過有可能鑄成大錯！
第二，連鎖悖論對經典邏輯和經典語義學構成了非常嚴重的挑戰。二值原則是經典的語義學和邏輯的核心：任一語句或命題是真的或者是假的，非真即假，非假即真，不存在其他的可能性。我們的傳統真理論、認識論等等都是建立在二值原則之上的，并且二值原則背后還隱藏著實在論假設：正是獨立于心靈和語言的外部實在使得我們說出的任一描述外部實在的語句或命題為真或為假，即使這種真假不被我們所知道，甚至不能被我們所知道。但二值原則似乎對含模糊謂詞的句子或命題失效，因為很難說清楚含模糊謂詞的句子或命題是真的還是假的。例如，對于處于界限情形的事例來說，你很難說它有某種性質，也很難說它沒有某種性質，因此，有時候很難確定像“張三是禿頭”這樣的句子的真假。但問題的嚴重性在于：模糊性在自然語言中幾乎是無處不在的，若經典邏輯和經典語義學不適用于模糊語句，則幾乎等于說：除了數學等少數精確科學之外，它們無處可用。因此，模糊性對經典邏輯、經典語義學、傳統的知識論和形而上學構成了嚴重的挑戰。
[1] 關于以上悖論的原始資料，參見Diogenes Laertius, Galen and Cicero, “On the sorites, ”in Keefe&Smith,1997, pp.58—60; Williamson, T. Vagueness, London: Routledge,1994, pp.8—35。
[2] 斯蒂·芬里德：《對邏輯的思考：邏輯哲學導論》，李小五譯，沈陽：遼寧教育出版社，1998年， 215頁。
[3] 參見Dummett, M. “Wang's Paradox, ”in Keefe&Smith,1997, pp.99—118．達米特在后來補寫的文末注釋中談到：“這個標題[王悖論]與我記得多年前在一本短暫存續的牛津出版物上讀過的王浩教授的一篇文章有關。假如我很快發表這篇文章的話，我或許會去掉這個標題，因為我從不假定王教授除了展示一類古代悖論的一般形式外，還打算[就該類悖論]說任何東西。但是，既然這個名稱已經獲得某種流行，我認為最好讓它保持原樣?！?/p>
[4] 參見Hyde, D.“Sorites Paradox,”2011. in Stanford Encyclopedia of Philosophy, http://plato. stanford.edu/entries/sorites-paradox/。
[5] 參見Rescher, N. Paradoxes: Their Roots, Range,and Resolution,p.86。
[6] Quinn,W. S.“The puzzle of the self-torturer,”Philosophical Studies, vol.59. No.1,1990,pp. 79—90.
[7] Unger,P.“The Problem of the Many,”Midwest Studies in Philosophy 5,1980,pp.411—467.