上篇
行為金融的基礎理論與應用

第1章
均衡與無套利定價

金融資產的定價是金融學的一個核心問題。經典金融學解決這個問題的方法可以分為兩類：一類是均衡定價，另一類則是無套利定價。均衡定價一直是經濟學的基本理論框架，其核心思想是應用效用（生產）函數來描述行為人的偏好，各行為人追求效用（利潤）最大化而產生對商品的需求和供給，價格體系對供需進行調節，最終達到一個均衡狀態。

金融資產的基本特性是跨時期的不確定性。相對于確定條件下的效用函數，描述行為人在不確定性條件下決策行為的期望效用具有更豐富的經濟內涵。依據期望效用最大化來形成行為決策成為經濟學中“理性”行為人的必要條件之一。無套利是均衡條件的重要推論，由于金融資產的復雜性和相互依存，無套利作為一個相對簡單的法則在研究衍生金融資產的定價中發揮重要的作用。本章闡述了經典金融學的均衡定價和無套利定價的模型構架，目的是對經典金融學定價方法的基本思想做一個回顧。

1.1 絕對定價與相對定價

均衡定價和無套利定價是資產定價的兩個主要的方法。從定價方法的內涵出發，可以稱均衡定價是絕對定價，而無套利定價是相對定價（Cochrane,2001）。

均衡定價的思想來源于新古典主義經濟學，其中經典的研究工作是阿羅-德布魯的一般經濟均衡存在定理（Arrow and Debreu,1954）。阿羅-德布魯的模型關注于一般商品的定價問題，其模型假設消費者追求最大化效用，生產者追求最大利潤，然后在一定條件下，存在一個一般經濟均衡的價格體系，使得商品的供需達到均衡。金融資產的均衡定價沿用了這個思想，不同點在于對不確定性的處理：首先為投資者對金融資產的偏好建模——期望效用最大化，然后考慮投資者跨時期的消費-投資決策，最后在均衡條件中確定金融資產的價格。之所以稱均衡定價為絕對定價，原因在于均衡定價的分析框架。均衡定價從行為人的行為決策出發，在均衡的狀態下，試圖一攬子解決所有金融資產的定價問題。均衡定價的結果是每種資產參照于它對宏觀經濟風險基本來源的暴露來定價。

無套利是均衡條件的推論，即如果市場達到均衡，那么一定沒有套利機會存在。無套利定價是將無套利條件從均衡定價的框架中分離出來作為“公理”，用其直接為金融資產定價。無套利定價解決這樣的問題：給定某種金融資產的價格后，另一種金融資產的價格是多少。無套利定價并不關心金融資產價格最終是由什么決定的，而是通過金融資產之間的關系是否滿足無套利條件來判斷金融資產的價格是否合理，因此，稱其為相對定價。相對定價的起點要比絕對定價高，原因是它必須在已知一些資產的價格后，為其他資產定價。

在資產定價的學術研究中，絕對定價方法的應用是廣泛和深入的，例如，跨時期的資本資產定價模型（Merton,1973）、基于消費的資產定價模型（Breeden,1979）。這些模型為金融資產價格的確定尋找基本的經濟因素，如果模型有效，那么它們可以對由于政策或經濟結構改變而使金融資產價格產生的變化做出正確的預測。相對定價的經典例子是Black-Scholes期權定價模型（Black and Scholes,1973）。根據Black-Scholes公式，股票期權的價格可以表示成股票價格等參數的函數。因此，相對定價告訴我們無論整個市場的定價是否合理，金融資產的價格首先要滿足某種關系，如果這種關系不成立，就會產生套利機會，而追逐這個機會的交易行為會維持此類關系的存在。

在實際的應用中，資產定價問題是通過權衡選取多少絕對定價和多少相對定價來解決的，方法的選擇取決于金融資產的類型和計算的目的，幾乎沒有一個問題是通過純粹的方法來解決的。例如，資本資產定價模型（CAPM）和其他因子模型是絕對定價的典范，而在應用中，則通過計算金融資產與市場或其他風險因子的β值來估價，而并不深究是什么經濟因素決定了市場或因子的風險溢價或者β系數。

1.2 “理性”偏好

經濟學從描述行為人的決策開始來研究一般商品的定價問題。首先，行為人面臨一個各類商品所組成的消費集，并必須在這個集合中進行選擇。經濟學的建模將行為人對商品的喜好歸結為他的偏好關系，即對各類商品組合按照喜好程度排序，什么樣的商品組合應該優先選擇，什么其次選擇。因此，偏好就是一種排序關系，用以表明行為人的選擇行為，可以將其稱為“選擇偏好”。我們用≥來表示消費集X中的二項關系。對于商品組合x和y（以商品數量計），如果x≥y，我們就說“x至少與y一樣好”。如果行為人的偏好關系滿足完備性和傳遞性兩條公理，那么他的選擇偏好將被定義為“理性”。

完備性 對于任何在X中的商品組合x和y, x≥y與y≥x至少有一個成立（任何兩種商品組合均可以比較）；

傳遞性 對于商品組合x、y和z，如果x≥y, y≥z，則x≥z。

效用函數是經濟學建模的核心。為了利用數學的最優化方法來處理個人的最優選擇，經濟學中經常用效用函數來描述偏好關系，即效用函數u（x）賦予消費集中每個商品組合x一個數值，偏好關系則可以由u（x）的大小來決定。可以證明，如果偏好關系滿足以上理性的條件，那么這個偏好關系就可以用一個效用函數來代表。

對于一般商品，備選的商品集合中的商品組合由商品種類和數量來刻畫。例如，1個蘋果和3只鉛筆，效用函數的輸入變量是商品組合中各種商品的個數。對于具有不確定性的“未定商品”是由“彩票”來描述的。首先要給定不確定條件下的狀態集Ω，不同的狀態ω（ω∈Ω）發生，行為人可以得到商品組合x_ω（x_ω本身是確定條件下的商品組合）。因此，不確定性條件下的消費計劃是一組商品束{x_ω}_ω∈Ω和Ω上的一個概率分布p（ω），我們將其記為彩票l={{x_ω}_ω∈Ω, p}。所有的彩票構成一個“未定商品空間L”，行為人的選擇發生在不同的彩票之間，偏好關系≥就定義在L之上。L上偏好關系的理性條件要比確定性條件下的苛刻，這個理性條件是所謂的自反性、傳遞性、完備性、獨立性公理和阿基米德公理（Archimedean axiom）。當這些條件滿足時，存在一個效用函數u（·），使得對兩個彩票L₁= {{x_ω}_ω∈Ω, p}和L₂= {{y_ω}_ω∈Ω, p}, L₁≥L₂的充要條件是：U（L₁）≥U（L₂），其中U（L₁）= E[u（x）]=∫_Ωu（x_ω）dp（ω）, U（L₂）= E[u（y）]=∫_Ωu（y_ω）dp（ω）, U（·）被稱為馮·諾伊曼-摩根斯坦期望效用，u（·）被稱為馮·諾伊曼-摩根斯坦效用函數。

在金融資產定價的研究中，通常選擇一種消費品或無風險資產作為幣制，效用函數u（·）是以此幣制計算的財富的函數，而不是上段所提及的“彩票”，也不是金融資產的數量。我們知道，一般商品（消費品）是效用的最終載體，人們直接消費它而獲得效用，且獲得效用的大小與商品數量密切相關。因此，在研究一般商品的市場定價中，消費以數量形式直接進入效用函數。金融資產不是效用的最終載體，投資者通過金融資產來跨期分配他的財富，而后考慮每一期消費什么樣的商品。如果將金融市場和商品市場作為一個整體研究，那么可能的選擇是將“彩票”作為效用函數的自變量，來統一考慮金融資產和一般商品。但是，這樣將會使模型變得異常復雜而難以處理。因此，在研究金融資產的定價時，通常的做法是將其作為獨立的對象來實施研究，即研究財富的跨期分配問題，而不考慮投資者進一步的具體消費選擇。另一方面，金融資產也不會以數量的形式進入效用函數。原因在于，和一般商品相比，金融資產本身不能帶來效用，而金融資產的絕對價格并不能決定其“好壞”程度，其相對“價格”——跨期的收益率才是問題的核心。金融資產是人們獲取財富的交易工具，一般來講，隨財富的增加，人們的效用是遞增的。在考慮金融資產定價時，研究的問題是未來不確定的“錢”今天的價格是多少，而不是將未來可能具體消費的商品直接納入考慮的范圍。因此，金融經濟學常用的效用函數u（·）是以財富為自變量的一元函數，而則是行為人持有的各類金融資產的支付之和。那么，行為人的期望效用就等于。

明確了不確定性條件下的偏好關系可以用期望效用表示后，理性行為人的決策目標就是追求期望效用最大化。除此之外，馮·諾伊曼-摩根斯坦效用函數u（·）的形式具有更加豐富的內涵，原因在于效用函數的形式還反映了行為人對風險的態度，即所謂的“風險偏好”。通常情況下，人們都是“貪財”的，其效用函數是財富的增函數，即u′（·）＞0，但對待風險的態度卻大相徑庭。如何度量人們對待風險的態度呢？如果一個人喜歡參與“公平”的賭局，則稱之為風險喜好的（risk loving）；如果他（她）持不情愿或無所謂的態度，則稱之為風險厭惡的（risk averse），或將無所謂態度單列為風險中性。所謂“公平”的賭局，是指期望收益為零（不賠不賺）的賭局。例如，考慮以概率p獲得正收益d₁、以（1-p）的概率獲得負收益d₂的公平賭局，pd₁+（1-p）d₂=0，那么，如果交易者初始財富為z₀，則風險厭惡的交易者的效用函數u（·）應滿足：

u（z₀）≥pu（z₀+d₁）+（1 -p）u（z₀+d₂）或等價地

u（p（z₀+d₁）+（1 -p）（z₀+d₂））≥pu（z₀+d₁）+（1 -p）u（z₀+d₂）

這表明風險厭惡的交易者的效用函數是凹函數（u″（·）＜0），不等號成立時稱交易者為嚴格風險厭惡。

阿羅-普拉特（Arrow-Pratt）絕對風險厭惡度 R_A（·）（R_A（·）=-u″（·）/u′（·））是度量個體風險厭惡程度的指標之一，其數值越大說明要誘使個體將全部財富用來購買風險資產，所要求的風險升水越大。如果R_A（·）作為財富的函數是遞增的，則稱個體表現為絕對風險厭惡遞增，說明隨財富的增加，個體反而更不愿意投資于風險資產；如果R_A（·）為減函數，個體表現為絕對風險厭惡遞減，即隨著財富的增加，個體用于購買風險資產的投入也在增加；如果R_A（·）為常數，則稱個體表現為常系數絕對風險厭惡，說明用于購買風險資產的貨幣與個體擁有的財富無關。

當個體表現為絕對風險厭惡遞減時，個體用于購買風險資產的貨幣隨財富的增加而增長，但是哪一方增加得比較快呢？阿羅-普拉特用相對風險厭惡度R_R（z）≡R_A（z）z來表明這些事。R_R（z）為增函數，說明隨財富的增加，用于購買風險資產的貨幣的比例在下降；R_R（z）為常數，說明財富和購買風險資產傾向同比例增加；R_R（z）為減函數，則說明隨財富的增加，用于購買風險資產的貨幣的比例在上升。

在不確定條件下，以期望效用表示的是個體的“總體”選擇偏好（choice preference），它已經包含了個體對不確定性環境和風險的考慮，可以稱為廣義的偏好；對風險的態度又稱為個體的風險偏好（risk preference），這是狹義的偏好概念。

1.3 均衡定價

金融資產的均衡定價思想是：首先為投資者對金融資產的偏好建模——期望效用最大化，然后考慮投資者跨時期的消費-投資決策，最后利用均衡條件確定金融資產的價格。這一節中，我們用一個例子來說明均衡定價的建模思想。

這里我們假定一個兩期模型^[1]，即只有現在和未來兩個時刻，現在是確定的，未來是不確定的。假定市場中有n種風險資產，其未來價格是n個隨機變量x₁, x₂, …, x_n；第0種資產是無風險資產，其未來價格x₀是確定值；這n+1種資產的當前價格為p（x₀）, p（x₁）, p（x₂）, …, p（x_n）。這n+1種資產的投資組合可用n+1維向量θ=（θ₀, θ₁, …, θ_n）來表示。那么投資組合的當前價格為

y=θ₀p（x₀）+θ₁p（x₁）+…+θ_np（x_n）

而投資組合的未來價格為

y=θ₀x₀+θ₁x₁+…+θ_nx_n

假設有一個投資者，他在當前的財富稟賦為 ω⁰，未來的財富稟賦為ω¹。投資者在現在時刻還持有一個初始資產組合 。他的效用是用當前消費z⁰和未來消費z¹的期望效用函數u（z⁰, z¹）來衡量的。投資者可以用稟賦購買金融資產，也可以賣掉初始的投資組合，構造新的投資組合，從而跨期分配消費，達到效用最大化。因此，他面臨的最優資產選擇問題如下：求當前消費 z⁰和投資組合，使得E[u（z⁰, z¹）]達到最大。更確切地說，問題可表述為：求資產組合θ¹，使得

這里第一個等式是確定量的等式，第二個等式是隨機量的等式。我們用ω¹取代。我們由此出發來推導著名的資本資產定價模型（CAPM）。

為導出CAPM，還需要假定E[u（z⁰, z¹）]=v（z⁰, E[z¹], Var[z¹]），即效用函數只與現在消費以及未來消費的均值和方差有關（均值-方差形式）。^[2]Markowitz在他的資產組合選擇理論中（Markowitz,1952），開始時沒有使用期望效用函數，而僅以組合收益率的均值和方差來衡量組合收益的優劣，即所謂“均值-方差準則”。Tobin（1958）發現在以下兩個假設下，都可使期望效用函數變為均值-方差形式，即（1）運用二次效用函數；（2）假定隨機變量服從正態分布。

在這樣的假定下，如果再假定ω¹是常數，那么問題（1-1）可以表達為均值方差效用的形式。由于,。這樣，問題（1-1）變為：求資產組合θ¹，使得

為簡化表述，我們記v=v（x, y, z），它對三個變量的偏導數分別記為v_x, v_y, v_z。要求v_x＞0, v_y＞0, v_z＜0，它們分別意味著：“現在時刻消費越多效用越大”; “未來時刻消費越多效用越大”; “未來消費的風險越小越好”。

問題（1-2）的拉格朗日函數為

根據一階條件，問題（1-2）的解滿足以下條件：

其中，, 為對應的z⁰, z¹; r₁, …, r_n分別為各金融資產的收益率。

如果市場上有I個這樣的“同質”投資者，即他們各自有稟賦ωⁱ⁰，資產組合θ ⁱ⁰和效用函數vⁱ；每個投資者面臨著金融資產的選擇問題：

投資者各自做出最優選擇，如果市場上資產價格使得資產的需求等于供給，即,k = 0,1, …, n，那么稱市場達到均衡。為簡單起見，我們直接假設在這種情況下均衡存在。

由式（1-4），可得

其中，由式（1-3），可得

把式（1-6）寫成矩陣形式，則可得

其中E[r]=（E[r₁], …E[r_n]）^T, e=（1, …,1）^T, , …,,，V=（V_jk）_{j, k=1, …, n}=（Cov[r_j, r_k]）_{j, k=1, …n}。因此

上式右端與i無關，從而可得

令

這是第i個投資者的最優組合中的第k種風險資產的價值在其持有資產總價值中所占的比重。那么由式（1-6）可得

由上式可得

但是

由此即得

代入式（1-9），我們有

對于固定的k，所有都相等，并且都等于市場組合相應的比例系數。事實上，由式（1-7），我們可得

其中 。但是由式（1-8）, 與i無關。因此，wⁱ與i無關，即對于固定的k，所有都相等。另一方面，

這樣，對于任何資產i, -，因而可得

這就是資本資產定價模型（CAPM）的經典形式。

以上用均衡定價的思想構造模型，推出了資本資產定價模型。我們從研究單個投資者的消費-投資決策出發，在市場均衡的條件下獲得了均衡的定價關系：風險溢價是定價的核心，投資者對不可分散的風險要求相應的回報，風險暴露程度高（β值高）的金融資產期望收益也高。

需要注意的是，以上CAPM的建模主要包括如下假設：第一，完全競爭的市場，即市場上存在著大量的投資者，每個投資者的財富相對財富總和來說均微不足道。投資者是價格的接受者，單個投資者的交易行為對股票價格不產生影響；第二，兩時期的決策模型，即只有現在和未來兩個時期，投資者根據對未來的預期來形成現在的決策；第三，不考慮交易成本和稅收的影響；第四，投資人追求期望效用最大化，效用函數需要是“均值-方差效用函數”；第五，同質性信念假設，即投資者關于股票收益率的概率分布預期是一致的。

金融學理論研究不斷進步發展，在拓展一個或多個CAPM假設的基礎上形成了新的資產定價理論。跨時期資本資產定價模型（ICAPM; Merton, 1973）就是其中的一個拓展。跨時期資本資產定價模型將CAPM的兩時期擴展為多時期的動態決策模型，投資者的效用函數也不需要是“均值-方差”效用函數而是基于消費選擇的效用函數。在CAPM中，由于投資者的效用是“均值-方差”的，因此其投資決策中唯一關心的風險來源于股票的方差，因而在分散化個體風險之后，只有與市場組合的敏感程度所代表的系統風險才得到定價。ICAPM環境下，投資者考慮的問題是如何在生命周期內分配收入來實現消費的效用最大化，由于模型是多時期的決策模型，隨著時間的變化，投資者所面臨的投資可行集也會發生變化，對于投資者來說，其關心的風險不僅來源于市場的波動，而且來源于其他影響投資可行集變化的狀態變量。投資者會產生對所有這些風險因素進行套期保值的需求，并對風險暴露程度高的股票要求溢價。按照ICAPM的思想，股票預期收益的決定因素應該與多種風險因素相關，而這些風險因素應該是可以描繪投資可行集變化的變量。

1.4 無套利定價

套利是金融學的重要概念之一，套利行為是“在兩個不同的市場中，以有利的價格同時買進和賣出同種或本質相同的金融資產或資產組合的行為”（Sharpe and Alexander,1990）。套利行為之所以可以獲利，是因為市場上存在套利機會。如果同種或本質相同的金融資產具有不同的價格，那么就會出現套利機會。

直觀來講，無套利就是指市場上不存在套利機會。如果將無套利具體化為資產定價的前提條件，那么可以將其分解為多個層次的含義。史樹中（2004）將無套利假設分為五個層次：

第一，未來價值一樣的金融資產（或組合），當前應該有一樣的定價。這個條件也稱為可定價法則；

第二，金融資產（或組合）的若干倍的當前價值應該等于該資產的當前價值的同樣倍數，簡單地說就是“批發價”和“零售價”相等；

第三，金融資產（或組合）的買價與賣價應該相同，沒有買賣價差等交易成本；

第四，金融資產（或組合）的當前價值應該等于其組合成分的當前價值之和，即若干份A資產與若干份B資產在一起的資產組合的總價值，應該等于A資產價格的同樣倍數與B資產價格的同樣倍數之和；

第五，未來價值為正的組合，當前價值也為正。

對金融資產定價就體現了第一層次的無套利假設。否則，如果對于未來有不確定價值的金融資產來說，其當前價值也不確定，那么它在市場上就不可能交易；或者說，在市場上同一種資產可能有多種價格，從而就有人可以進行“低買高賣”的套利活動。無套利假設的第四層次也被稱為“線性定價法則”。這條“線性定價法則”如果不成立也意味著存在某種套利機會，即我們有可能利用“合起來”買賣一個資產組合與“分開來”買賣一個資產組合的差價，來構造一個盈利的套利策略。

Modigliani and Miller（1958）第一次用無套利假設作為“公理”來作為金融資產定價的出發點，推出了著名的MM原理。自此以后，金融學家在資產定價的研究工作中，嘗試將無套利單獨拿出來，而不使用均衡定價的復雜框架，直接對金融資產定價，并逐漸發展成為一套“套利定價論”，或稱“相對定價論”。

Black-Scholes期權定價理論（Black and Scholes,1973）是無套利定價的經典范例。股票買入期權是指以某一約定的執行價格在一定的期限內買入某種股票的權利。如果執行期是固定的，則稱為歐式期權；如果執行期可以是到期前的任何時候，則稱為美式期權。期權在它被執行時，如果股票的市價高于期權的執行價格，那么期權的價格就是市價與執行價格之差；如果股票的市價低于期權規定的執行價格，那么期權價格為零。由于股票未來的價格是不確定的，期權到期執行的價格也是不確定的。我們用一個簡單的模型來演示無套利定價的思想。^[3]這個模型是一個兩時期模型，有“現在”和“未來”兩個時刻，并且“未來”時刻就是期權的執行時刻。股票“現在”的股價S₀是已知的，而“未來”的股價只有兩種可能，即aS₀或bS₀，其中a≠b。為簡單起見，這里還假定沒有通貨膨脹和無風險利息，即“現在”與“未來”的貨幣價值是一樣的。如果期權的執行價格為K，那么期權在“未來”時刻的可能價格為 C_a= max（aS₀- k,0）和 C_b=max（bS₀-k,0），其中max表示括號內兩個數中的大者。在這個模型框架下，我們求期權的“現在”的價格。

根據無套利假設，期權定價問題可以從不同的思想出發來得到解決。其中主要的三種是：

第一，風險對沖的思想。由于賣出股票與買入期權的風險方向相反，用這兩種資產構造組合，可以達到完全保值的作用。設C₀為“現在”的期權價格，投資者賣出一份股票，買進x份期權，而這兩種投資行為的組合使風險完全對沖，即不管未來出現哪一種情況，它的價值不變。于是就有方程：

-aS₀+xC_a= -bS₀+xC_b

根據該方程可以求出購買期權的份數x，并由“線性定價法則”，金融資產（或組合）的當前價值應該等于其組合成分的當前價值之和，即：

-S₀+xC₀= -aS₀+xC_a= -bS₀+xC_b

由此可解得期權的“當前”價格為：

第二，“復制”的思想。期權的“未來”價值雖然是不確定的，但是它完全依賴于股票的不確定的價格，以至期權本身可以通過股票交易和銀行存款的組合來“復制”。這就是說，一份期權相當于y元銀行存款與z份股票的組合。于是由這種組合的“未來”價值與期權價值一致，就得到兩個方程

y+zaS₀=C_a, y+zbS₀=C_b

由此可解得

再由“線性定價法則”，有

第三，等價概率鞅測度的思想。我們假定“未來”可能有兩種情況，但并未規定這兩種情況的可能性（概率）各有多大。投資者可以根據自己所掌握的信息對這兩種可能做出評估（主觀概率）。在第五層次的無套利假設下，要求a與b中必然有一個大于1，另一個小于1，即股市的兩種情況只能是一漲一跌。否則在都上漲時，投資者可通過“現在”買進，“未來”賣出，穩能得利；在都下跌時，投資者可采用相反的策略，同樣穩能得利。^[4]在這種假定下，就存在有一種對未來的可能性估計，使得“未來”的股價的平均值恰好就等于“現在”的股價。這是因為a和b中必然有一個大于1，另一個小于1，從而存在0與1之間的數q（概率）使得aq+（1-q）b=1，即。而“現在”的期權價格應該就是在這種可能性估計下的“未來”的期權價格的平均值，即

這三種觀點所得到的期權價格雖然完全一樣，但是第三種觀點在模型的假定上要比前兩種觀點更強。具體地說，在前兩種觀點中，只要求a≠b，而在第三種觀點中還要求1在a, b之間，否則q就不在0,1之間，不可能解釋為一種狀態發生的概率。也就是說，在第三種觀點中，對無套利假設的要求最高。

真正的Black-Scholes模型要比上面的例子復雜得多，核心的原因是模型必須更加接近于現實。Black-Scholes模型假設時間的變化是連續的，股價的變化也是連續的。股價變化用幾何布朗運動來表示；同時，還假定有一種無風險資產來作為股價的參照物。Black and Scholes（1973）的原始論文中用的是風險對沖的方法，由此推出一個偏微分方程，該偏微分方程的解就是Black-Scholes期權定價公式。

Black-Scholes模型之后，一些金融學學者應用第二種和第三種觀點來研究衍生金融工具的定價，從而使得無套利定價理論更為豐富。第二種觀點隱含著一種“完全市場”的概念。在完全市場中，每一種衍生金融資產都可以應用其他資產組合來“復制”，從而衍生金融資產的價格也就可以應用其他資產的價格并根據線性定價法則來決定。第三種觀點表達為嚴格的數學形式后，稱為資產定價基本定理。它可以表述為：（完整的）無套利假設等價于存在對未來的不確定性的一種估計（數學上稱為“等價鞅測度”），在考慮折現之后，使得金融資產的價格等于未來價格的平均值。

1.5 均衡與無套利

傳統的經濟學定價理論都是根據行為人的需求和供給，在一般經濟均衡框架中形成的。金融學家則直接從無套利的假設出發，也可以得到金融資產的價格。那么，均衡框架和無套利之間有什么樣的邏輯關系？這一節中，我們用一個簡單的投資-消費模型^[5]來說明無套利假設其實只是“均衡定價”的推論，即達到一般均衡的價格體系一定是無套利的。

模型仍然是兩時期的，只有“現在”與“未來”兩個時刻，“現在”的股價S₀是已知的，而“未來”的股價可能有兩種情況，或是變成aS₀，或是變成bS₀，其中a≠b。“現在”與“未來”的貨幣價值是一樣的，既無通貨膨脹，也無銀行利息。投資者A所追求的目標是他的消費期望效用最大。因此，首先有一個描述其效用的馮·諾伊曼-摩根斯坦效用函數u（c），且u是c的遞增函數。在此模型中，當A要對自己的投資消費行為進行決策時，需要根據他所掌握的信息，對“未來”有一個估計。于是他估計股票價值為aS₀（以后我們稱這一狀態為狀態a）的概率為p，而為bS₀（以后我們稱這一狀態為狀態b）的概率為1-p。這個（p,1-p）可能是確實要發生的“客觀概率”，也可能是A根據自己掌握的信息來判斷的“主觀概率”。根據馮·諾伊曼-摩根斯坦的期望效用函數理論，A的未來不確定消費的效用就等于其不確定效用的數學期望。也就是說，如果A在狀態a的消費價值為c_a，在狀態 b 的消費價值為 c_b，那么其未來消費的效用就是 pu（c_a）+（1-p）u（c_b）。這里，我們假定投資者的馮·諾伊曼-摩根斯坦效用函數不隨時間變化，A的總消費效用函數就是他的當前消費效用與未來消費效用之和，那么他的總效用就是

U（c₀; c_a, c_b）=u（c₀）+pu（c_a）+（1-p）u（c_b）

其中c₀是當前消費價值，c_a和c_b分別是兩種未來消費價值。^[6]

現在我們要討論的問題是：A怎樣通過他對銀行和股市的投資，來使他的總消費效用最大。這里還需假定A在現在有稟賦資金e₀，在未來兩個狀態下分別有稟賦資金e_a和e_b，于是如果A在當前向銀行存款x_d（如果x_d＜0意味著貸款），在股市買入股票x_s（如果x_s＜0意味著“賣空”），在未來從銀行取款，在股市賣出股票，那么我們就有

c₀=e₀-x_d=S₀x_s; c_a=e_a+x_d+aS₀x_s; c_b=e_b+x_d+bS₀x_s

這樣，對A來說，最優投資-消費決策問題就是

max U（c₀; c_a, c_b）=u（c₀）+pu（c_a）+（1-p）u（c_b）

s. t. c₀= e₀-x_d-S₀x_s≥0

c_a= e_a+x_d+aS₀x_s≥0

c_b= e_b+x_d+bS₀x_s≥0

事實上，只要假設u是遞增函數，如果a和b不在1兩邊，那么這個問題一定沒有解。這是因為此時就會出現套利機會，A只需要通過當前向銀行借款，低價買入股票，未來高價賣出股票（或者現在高價賣空股票，把錢存入銀行，未來低價買入股票來平倉）就能增加他的總效用，并且這樣做是無止境的。也就是說，我們可以在變量的約束范圍內使u趨向于無限大。另一方面，如果這一問題有解x-_d, x-_s，那么作為上述結論的逆否命題，（完整的）無套利假設一定成立。

也就是說，如果我們需要用均衡框架來討論金融問題，無套利假設的成立其實也是必要條件。如果假定函數的可導性，那么我們還可以從問題解的一階條件得到

即

其中

由上可以得到，

與上節的第三種觀點相比較，令，那么，這就得到了前面的“等價概率鞅測度”。也就是說，這其實就是另一種特殊方式的資產定價基本定理的證明。后一等式在假定未來股價aS₀和bS₀已知的條件下，給出了現在股價的定價公式。

以上模型說明，如果我們要從行為人的最優投資-消費的問題出發，在得到股價定價關系的同時，同樣可以得到資產定價基本定理，即最優投資-消費問題有解的必要條件是無套利假設成立，或者資產定價基本定理成立。

均衡定價給出了行為人“理性”條件下金融資產的“絕對”價格。這個絕對價格也可以稱為金融資產的基本價值。無套利作為金融市場的基本原則更易于理解并具有實際的意義，因為套利行為是促使市場回到基本價值的力量。由Friedman（1953）對套利行為的分析就證明了這種情形。

假定有一種金融資產，由于非理性的投資者相互關聯的搶購“哄抬”，其價格已經超過基本價值。察覺到這種價格高估，聰明的投資者或套利者將賣出甚至賣空這種高價資產，同時買進本質相似的其他資產進行風險對沖。如果能找到這種可替換的資產，套利者又能對之進行買賣的話，他們一定有利可圖，因為他們在賣出高價資產后，同時又買進了同樣或相似的價格偏低的資產。這樣買賣的結果是使得被高估的資產價格回到其基本價值上。事實上，如果可替代資產存在，套利者之間的逐利競爭又使得他們的行動非常迅速高效的話，資產價格是不可能較大地偏離其基本價值的，套利者自己也無法獲得多少超額收益。這同樣適用于價值被低估的資產。為了獲取利潤，套利者在買進價格低估資產的同時會賣出本質相同的其他資產來對沖風險，這樣就阻止了資產價格或大幅度或長期的低估。

套利行為還含有更多的意思。在某種意義上說，由于非理性投資者買進價格高估的資產而放棄價格低估的資產，所以，他們所獲收益要低于套利者。相對于他們的同類來講，缺乏理性的投資者總在虧錢。像Friedman（1953）指出的那樣，他們不可能永遠在虧損，這些人的財產會一天天減少，最終他們會從市場中消失。即使套利者不能及時消除這些人對資產價格的影響，市場力量也會減少他們的財富擁有量。從長期來看，因為競爭的選擇和套利的存在，市場會保證金融資產的價格保持在其基本價值上。

1.6 小結

“理性”行為人假設是經典金融學中均衡定價理論的核心假設，在“理性”行為人假設中，行為人的期望效用偏好構成“理性”的必要條件之一。均衡定價理論首先為投資者對金融資產的偏好建模——期望效用最大化，然后考慮投資者跨時期的消費-投資決策，最后在均衡條件中確定金融資產的價格。這個價格就是所謂的“絕對”價格，或者稱為基本價值。因此，期望效用的“理性”偏好是經典金融學中絕對定價的出發點。

無套利是市場均衡的必要條件。作為定價方法，無套利定價只能夠確定資產的相對價格。雖然這種定價方法在實際中被廣泛地應用，但如果需要更深入地理解金融資產價格的形成機制，均衡定價理論仍處于核心的地位。

參考文獻

[1]史樹中，《金融經濟學十講》，上海人民出版社2004年版。

[2]Arrow, K. and G. Debreu,1954, Existence of equilibrium for a competitive economy, Econometrica,22,265—290.

[3]Black, F. and M. Scholes,1973, The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy,81,637—654.

[4]Breeden, D. T. ,1979, An intertemporal asset pricing model with stochastic consumption and investment opportunities, Journal of Financial Economics,7,265—296.

[5]Cochrane, J. H. ,2001, Asset Pricing. Princeton, New Jersey:Princeton University Press.

[6]Friedman, M. ,1953, The case for flexible exchange rates, in Essays in Positive Economics, Chicago:University of Chicago Press.

[7]Markowitz, H. ,1952, Portfolio selection, Journal of Finance,7, 77—91.

[8]Merton, R. C. ,1973, An intertemporal capital asset pricing model, Econometrica,41,867—887.

[9]Modigliani, F. and M. H. Miller,1958, The cost of capital, corporation finance, and the theory of vestment, American Economic Review,48, 261—297.

[10]Sharpe, W. and G. Alexander,1990, Investment,4th edition. Englewood, NJ:Prentice-Hall.

[11]Tobin, J. ,1958, Liquidity preference as behavior toward risk, Review of Economic Studies,25,65—86.

[1] 該模型選編自史樹中（2004）第七講。

[2] 在均衡定價的框架下，CAPM的導出仍然與“均值-方差準則”密切相關，其中特別是效用函數需要是“均值-方差效用函數”。

[3] 該例子引自史樹中（2004）。

[4] 這里同樣還要假定投資者總有一定的資金可支配，并且股市允許“賣空”，即允許賣出你并不擁有的股票，只要你能在“未來”交割時，有資金到市場去把股票買回。

[5] 該模型引自史樹中（2004）。

[6] 這里實際上還假定A對當前和未來的重視程度一樣。如果他重當前，輕未來，在這個效用函數的后兩項前乘一個0與1之間的“折現因子”。