上篇
行為金融的基礎(chǔ)理論與應(yīng)用

第1章
均衡與無套利定價(jià)

金融資產(chǎn)的定價(jià)是金融學(xué)的一個(gè)核心問題。經(jīng)典金融學(xué)解決這個(gè)問題的方法可以分為兩類：一類是均衡定價(jià)，另一類則是無套利定價(jià)。均衡定價(jià)一直是經(jīng)濟(jì)學(xué)的基本理論框架，其核心思想是應(yīng)用效用（生產(chǎn)）函數(shù)來描述行為人的偏好，各行為人追求效用（利潤）最大化而產(chǎn)生對(duì)商品的需求和供給，價(jià)格體系對(duì)供需進(jìn)行調(diào)節(jié)，最終達(dá)到一個(gè)均衡狀態(tài)。

金融資產(chǎn)的基本特性是跨時(shí)期的不確定性。相對(duì)于確定條件下的效用函數(shù)，描述行為人在不確定性條件下決策行為的期望效用具有更豐富的經(jīng)濟(jì)內(nèi)涵。依據(jù)期望效用最大化來形成行為決策成為經(jīng)濟(jì)學(xué)中“理性”行為人的必要條件之一。無套利是均衡條件的重要推論，由于金融資產(chǎn)的復(fù)雜性和相互依存，無套利作為一個(gè)相對(duì)簡單的法則在研究衍生金融資產(chǎn)的定價(jià)中發(fā)揮重要的作用。本章闡述了經(jīng)典金融學(xué)的均衡定價(jià)和無套利定價(jià)的模型構(gòu)架，目的是對(duì)經(jīng)典金融學(xué)定價(jià)方法的基本思想做一個(gè)回顧。

1.1 絕對(duì)定價(jià)與相對(duì)定價(jià)

均衡定價(jià)和無套利定價(jià)是資產(chǎn)定價(jià)的兩個(gè)主要的方法。從定價(jià)方法的內(nèi)涵出發(fā)，可以稱均衡定價(jià)是絕對(duì)定價(jià)，而無套利定價(jià)是相對(duì)定價(jià)（Cochrane,2001）。

均衡定價(jià)的思想來源于新古典主義經(jīng)濟(jì)學(xué)，其中經(jīng)典的研究工作是阿羅-德布魯?shù)囊话憬?jīng)濟(jì)均衡存在定理（Arrow and Debreu,1954）。阿羅-德布魯?shù)哪Ｐ完P(guān)注于一般商品的定價(jià)問題，其模型假設(shè)消費(fèi)者追求最大化效用，生產(chǎn)者追求最大利潤，然后在一定條件下，存在一個(gè)一般經(jīng)濟(jì)均衡的價(jià)格體系，使得商品的供需達(dá)到均衡。金融資產(chǎn)的均衡定價(jià)沿用了這個(gè)思想，不同點(diǎn)在于對(duì)不確定性的處理：首先為投資者對(duì)金融資產(chǎn)的偏好建模——期望效用最大化，然后考慮投資者跨時(shí)期的消費(fèi)-投資決策，最后在均衡條件中確定金融資產(chǎn)的價(jià)格。之所以稱均衡定價(jià)為絕對(duì)定價(jià)，原因在于均衡定價(jià)的分析框架。均衡定價(jià)從行為人的行為決策出發(fā)，在均衡的狀態(tài)下，試圖一攬子解決所有金融資產(chǎn)的定價(jià)問題。均衡定價(jià)的結(jié)果是每種資產(chǎn)參照于它對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)基本來源的暴露來定價(jià)。

無套利是均衡條件的推論，即如果市場(chǎng)達(dá)到均衡，那么一定沒有套利機(jī)會(huì)存在。無套利定價(jià)是將無套利條件從均衡定價(jià)的框架中分離出來作為“公理”，用其直接為金融資產(chǎn)定價(jià)。無套利定價(jià)解決這樣的問題：給定某種金融資產(chǎn)的價(jià)格后，另一種金融資產(chǎn)的價(jià)格是多少。無套利定價(jià)并不關(guān)心金融資產(chǎn)價(jià)格最終是由什么決定的，而是通過金融資產(chǎn)之間的關(guān)系是否滿足無套利條件來判斷金融資產(chǎn)的價(jià)格是否合理，因此，稱其為相對(duì)定價(jià)。相對(duì)定價(jià)的起點(diǎn)要比絕對(duì)定價(jià)高，原因是它必須在已知一些資產(chǎn)的價(jià)格后，為其他資產(chǎn)定價(jià)。

在資產(chǎn)定價(jià)的學(xué)術(shù)研究中，絕對(duì)定價(jià)方法的應(yīng)用是廣泛和深入的，例如，跨時(shí)期的資本資產(chǎn)定價(jià)模型（Merton,1973）、基于消費(fèi)的資產(chǎn)定價(jià)模型（Breeden,1979）。這些模型為金融資產(chǎn)價(jià)格的確定尋找基本的經(jīng)濟(jì)因素，如果模型有效，那么它們可以對(duì)由于政策或經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)改變而使金融資產(chǎn)價(jià)格產(chǎn)生的變化做出正確的預(yù)測(cè)。相對(duì)定價(jià)的經(jīng)典例子是Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型（Black and Scholes,1973）。根據(jù)Black-Scholes公式，股票期權(quán)的價(jià)格可以表示成股票價(jià)格等參數(shù)的函數(shù)。因此，相對(duì)定價(jià)告訴我們無論整個(gè)市場(chǎng)的定價(jià)是否合理，金融資產(chǎn)的價(jià)格首先要滿足某種關(guān)系，如果這種關(guān)系不成立，就會(huì)產(chǎn)生套利機(jī)會(huì)，而追逐這個(gè)機(jī)會(huì)的交易行為會(huì)維持此類關(guān)系的存在。

在實(shí)際的應(yīng)用中，資產(chǎn)定價(jià)問題是通過權(quán)衡選取多少絕對(duì)定價(jià)和多少相對(duì)定價(jià)來解決的，方法的選擇取決于金融資產(chǎn)的類型和計(jì)算的目的，幾乎沒有一個(gè)問題是通過純粹的方法來解決的。例如，資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）和其他因子模型是絕對(duì)定價(jià)的典范，而在應(yīng)用中，則通過計(jì)算金融資產(chǎn)與市場(chǎng)或其他風(fēng)險(xiǎn)因子的β值來估價(jià)，而并不深究是什么經(jīng)濟(jì)因素決定了市場(chǎng)或因子的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)或者β系數(shù)。

1.2 “理性”偏好

經(jīng)濟(jì)學(xué)從描述行為人的決策開始來研究一般商品的定價(jià)問題。首先，行為人面臨一個(gè)各類商品所組成的消費(fèi)集，并必須在這個(gè)集合中進(jìn)行選擇。經(jīng)濟(jì)學(xué)的建模將行為人對(duì)商品的喜好歸結(jié)為他的偏好關(guān)系，即對(duì)各類商品組合按照喜好程度排序，什么樣的商品組合應(yīng)該優(yōu)先選擇，什么其次選擇。因此，偏好就是一種排序關(guān)系，用以表明行為人的選擇行為，可以將其稱為“選擇偏好”。我們用≥來表示消費(fèi)集X中的二項(xiàng)關(guān)系。對(duì)于商品組合x和y（以商品數(shù)量計(jì)），如果x≥y，我們就說“x至少與y一樣好”。如果行為人的偏好關(guān)系滿足完備性和傳遞性兩條公理，那么他的選擇偏好將被定義為“理性”。

完備性 對(duì)于任何在X中的商品組合x和y, x≥y與y≥x至少有一個(gè)成立（任何兩種商品組合均可以比較）；

傳遞性 對(duì)于商品組合x、y和z，如果x≥y, y≥z，則x≥z。

效用函數(shù)是經(jīng)濟(jì)學(xué)建模的核心。為了利用數(shù)學(xué)的最優(yōu)化方法來處理個(gè)人的最優(yōu)選擇，經(jīng)濟(jì)學(xué)中經(jīng)常用效用函數(shù)來描述偏好關(guān)系，即效用函數(shù)u（x）賦予消費(fèi)集中每個(gè)商品組合x一個(gè)數(shù)值，偏好關(guān)系則可以由u（x）的大小來決定。可以證明，如果偏好關(guān)系滿足以上理性的條件，那么這個(gè)偏好關(guān)系就可以用一個(gè)效用函數(shù)來代表。

對(duì)于一般商品，備選的商品集合中的商品組合由商品種類和數(shù)量來刻畫。例如，1個(gè)蘋果和3只鉛筆，效用函數(shù)的輸入變量是商品組合中各種商品的個(gè)數(shù)。對(duì)于具有不確定性的“未定商品”是由“彩票”來描述的。首先要給定不確定條件下的狀態(tài)集Ω，不同的狀態(tài)ω（ω∈Ω）發(fā)生，行為人可以得到商品組合x_ω（x_ω本身是確定條件下的商品組合）。因此，不確定性條件下的消費(fèi)計(jì)劃是一組商品束{x_ω}_ω∈Ω和Ω上的一個(gè)概率分布p（ω），我們將其記為彩票l={{x_ω}_ω∈Ω, p}。所有的彩票構(gòu)成一個(gè)“未定商品空間L”，行為人的選擇發(fā)生在不同的彩票之間，偏好關(guān)系≥就定義在L之上。L上偏好關(guān)系的理性條件要比確定性條件下的苛刻，這個(gè)理性條件是所謂的自反性、傳遞性、完備性、獨(dú)立性公理和阿基米德公理（Archimedean axiom）。當(dāng)這些條件滿足時(shí)，存在一個(gè)效用函數(shù)u（·），使得對(duì)兩個(gè)彩票L₁= {{x_ω}_ω∈Ω, p}和L₂= {{y_ω}_ω∈Ω, p}, L₁≥L₂的充要條件是：U（L₁）≥U（L₂），其中U（L₁）= E[u（x）]=∫_Ωu（x_ω）dp（ω）, U（L₂）= E[u（y）]=∫_Ωu（y_ω）dp（ω）, U（·）被稱為馮·諾伊曼-摩根斯坦期望效用，u（·）被稱為馮·諾伊曼-摩根斯坦效用函數(shù)。

在金融資產(chǎn)定價(jià)的研究中，通常選擇一種消費(fèi)品或無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)作為幣制，效用函數(shù)u（·）是以此幣制計(jì)算的財(cái)富的函數(shù)，而不是上段所提及的“彩票”，也不是金融資產(chǎn)的數(shù)量。我們知道，一般商品（消費(fèi)品）是效用的最終載體，人們直接消費(fèi)它而獲得效用，且獲得效用的大小與商品數(shù)量密切相關(guān)。因此，在研究一般商品的市場(chǎng)定價(jià)中，消費(fèi)以數(shù)量形式直接進(jìn)入效用函數(shù)。金融資產(chǎn)不是效用的最終載體，投資者通過金融資產(chǎn)來跨期分配他的財(cái)富，而后考慮每一期消費(fèi)什么樣的商品。如果將金融市場(chǎng)和商品市場(chǎng)作為一個(gè)整體研究，那么可能的選擇是將“彩票”作為效用函數(shù)的自變量，來統(tǒng)一考慮金融資產(chǎn)和一般商品。但是，這樣將會(huì)使模型變得異常復(fù)雜而難以處理。因此，在研究金融資產(chǎn)的定價(jià)時(shí)，通常的做法是將其作為獨(dú)立的對(duì)象來實(shí)施研究，即研究財(cái)富的跨期分配問題，而不考慮投資者進(jìn)一步的具體消費(fèi)選擇。另一方面，金融資產(chǎn)也不會(huì)以數(shù)量的形式進(jìn)入效用函數(shù)。原因在于，和一般商品相比，金融資產(chǎn)本身不能帶來效用，而金融資產(chǎn)的絕對(duì)價(jià)格并不能決定其“好壞”程度，其相對(duì)“價(jià)格”——跨期的收益率才是問題的核心。金融資產(chǎn)是人們獲取財(cái)富的交易工具，一般來講，隨財(cái)富的增加，人們的效用是遞增的。在考慮金融資產(chǎn)定價(jià)時(shí)，研究的問題是未來不確定的“錢”今天的價(jià)格是多少，而不是將未來可能具體消費(fèi)的商品直接納入考慮的范圍。因此，金融經(jīng)濟(jì)學(xué)常用的效用函數(shù)u（·）是以財(cái)富為自變量的一元函數(shù)，而則是行為人持有的各類金融資產(chǎn)的支付之和。那么，行為人的期望效用就等于。

明確了不確定性條件下的偏好關(guān)系可以用期望效用表示后，理性行為人的決策目標(biāo)就是追求期望效用最大化。除此之外，馮·諾伊曼-摩根斯坦效用函數(shù)u（·）的形式具有更加豐富的內(nèi)涵，原因在于效用函數(shù)的形式還反映了行為人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度，即所謂的“風(fēng)險(xiǎn)偏好”。通常情況下，人們都是“貪財(cái)”的，其效用函數(shù)是財(cái)富的增函數(shù)，即u′（·）＞0，但對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度卻大相徑庭。如何度量人們對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度呢？如果一個(gè)人喜歡參與“公平”的賭局，則稱之為風(fēng)險(xiǎn)喜好的（risk loving）；如果他（她）持不情愿或無所謂的態(tài)度，則稱之為風(fēng)險(xiǎn)厭惡的（risk averse），或?qū)o所謂態(tài)度單列為風(fēng)險(xiǎn)中性。所謂“公平”的賭局，是指期望收益為零（不賠不賺）的賭局。例如，考慮以概率p獲得正收益d₁、以（1-p）的概率獲得負(fù)收益d₂的公平賭局，pd₁+（1-p）d₂=0，那么，如果交易者初始財(cái)富為z₀，則風(fēng)險(xiǎn)厭惡的交易者的效用函數(shù)u（·）應(yīng)滿足：

u（z₀）≥pu（z₀+d₁）+（1 -p）u（z₀+d₂）或等價(jià)地

u（p（z₀+d₁）+（1 -p）（z₀+d₂））≥pu（z₀+d₁）+（1 -p）u（z₀+d₂）

這表明風(fēng)險(xiǎn)厭惡的交易者的效用函數(shù)是凹函數(shù)（u″（·）＜0），不等號(hào)成立時(shí)稱交易者為嚴(yán)格風(fēng)險(xiǎn)厭惡。

阿羅-普拉特（Arrow-Pratt）絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度 R_A（·）（R_A（·）=-u″（·）/u′（·））是度量個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度的指標(biāo)之一，其數(shù)值越大說明要誘使個(gè)體將全部財(cái)富用來購買風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，所要求的風(fēng)險(xiǎn)升水越大。如果R_A（·）作為財(cái)富的函數(shù)是遞增的，則稱個(gè)體表現(xiàn)為絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡遞增，說明隨財(cái)富的增加，個(gè)體反而更不愿意投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)；如果R_A（·）為減函數(shù)，個(gè)體表現(xiàn)為絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡遞減，即隨著財(cái)富的增加，個(gè)體用于購買風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投入也在增加；如果R_A（·）為常數(shù)，則稱個(gè)體表現(xiàn)為常系數(shù)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡，說明用于購買風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的貨幣與個(gè)體擁有的財(cái)富無關(guān)。

當(dāng)個(gè)體表現(xiàn)為絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡遞減時(shí)，個(gè)體用于購買風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的貨幣隨財(cái)富的增加而增長，但是哪一方增加得比較快呢？阿羅-普拉特用相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度R_R（z）≡R_A（z）z來表明這些事。R_R（z）為增函數(shù)，說明隨財(cái)富的增加，用于購買風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的貨幣的比例在下降；R_R（z）為常數(shù)，說明財(cái)富和購買風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)傾向同比例增加；R_R（z）為減函數(shù)，則說明隨財(cái)富的增加，用于購買風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的貨幣的比例在上升。

在不確定條件下，以期望效用表示的是個(gè)體的“總體”選擇偏好（choice preference），它已經(jīng)包含了個(gè)體對(duì)不確定性環(huán)境和風(fēng)險(xiǎn)的考慮，可以稱為廣義的偏好；對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度又稱為個(gè)體的風(fēng)險(xiǎn)偏好（risk preference），這是狹義的偏好概念。

1.3 均衡定價(jià)

金融資產(chǎn)的均衡定價(jià)思想是：首先為投資者對(duì)金融資產(chǎn)的偏好建模——期望效用最大化，然后考慮投資者跨時(shí)期的消費(fèi)-投資決策，最后利用均衡條件確定金融資產(chǎn)的價(jià)格。這一節(jié)中，我們用一個(gè)例子來說明均衡定價(jià)的建模思想。

這里我們假定一個(gè)兩期模型^[1]，即只有現(xiàn)在和未來兩個(gè)時(shí)刻，現(xiàn)在是確定的，未來是不確定的。假定市場(chǎng)中有n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其未來價(jià)格是n個(gè)隨機(jī)變量x₁, x₂, …, x_n；第0種資產(chǎn)是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，其未來價(jià)格x₀是確定值；這n+1種資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)格為p（x₀）, p（x₁）, p（x₂）, …, p（x_n）。這n+1種資產(chǎn)的投資組合可用n+1維向量θ=（θ₀, θ₁, …, θ_n）來表示。那么投資組合的當(dāng)前價(jià)格為

y=θ₀p（x₀）+θ₁p（x₁）+…+θ_np（x_n）

而投資組合的未來價(jià)格為

y=θ₀x₀+θ₁x₁+…+θ_nx_n

假設(shè)有一個(gè)投資者，他在當(dāng)前的財(cái)富稟賦為 ω⁰，未來的財(cái)富稟賦為ω¹。投資者在現(xiàn)在時(shí)刻還持有一個(gè)初始資產(chǎn)組合 。他的效用是用當(dāng)前消費(fèi)z⁰和未來消費(fèi)z¹的期望效用函數(shù)u（z⁰, z¹）來衡量的。投資者可以用稟賦購買金融資產(chǎn)，也可以賣掉初始的投資組合，構(gòu)造新的投資組合，從而跨期分配消費(fèi)，達(dá)到效用最大化。因此，他面臨的最優(yōu)資產(chǎn)選擇問題如下：求當(dāng)前消費(fèi) z⁰和投資組合，使得E[u（z⁰, z¹）]達(dá)到最大。更確切地說，問題可表述為：求資產(chǎn)組合θ¹，使得

這里第一個(gè)等式是確定量的等式，第二個(gè)等式是隨機(jī)量的等式。我們用ω¹取代。我們由此出發(fā)來推導(dǎo)著名的資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）。

為導(dǎo)出CAPM，還需要假定E[u（z⁰, z¹）]=v（z⁰, E[z¹], Var[z¹]），即效用函數(shù)只與現(xiàn)在消費(fèi)以及未來消費(fèi)的均值和方差有關(guān)（均值-方差形式）。^[2]Markowitz在他的資產(chǎn)組合選擇理論中（Markowitz,1952），開始時(shí)沒有使用期望效用函數(shù)，而僅以組合收益率的均值和方差來衡量組合收益的優(yōu)劣，即所謂“均值-方差準(zhǔn)則”。Tobin（1958）發(fā)現(xiàn)在以下兩個(gè)假設(shè)下，都可使期望效用函數(shù)變?yōu)榫?方差形式，即（1）運(yùn)用二次效用函數(shù)；（2）假定隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。

在這樣的假定下，如果再假定ω¹是常數(shù)，那么問題（1-1）可以表達(dá)為均值方差效用的形式。由于,。這樣，問題（1-1）變?yōu)椋呵筚Y產(chǎn)組合θ¹，使得

為簡化表述，我們記v=v（x, y, z），它對(duì)三個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)分別記為v_x, v_y, v_z。要求v_x＞0, v_y＞0, v_z＜0，它們分別意味著：“現(xiàn)在時(shí)刻消費(fèi)越多效用越大”; “未來時(shí)刻消費(fèi)越多效用越大”; “未來消費(fèi)的風(fēng)險(xiǎn)越小越好”。

問題（1-2）的拉格朗日函數(shù)為

根據(jù)一階條件，問題（1-2）的解滿足以下條件：

其中，, 為對(duì)應(yīng)的z⁰, z¹; r₁, …, r_n分別為各金融資產(chǎn)的收益率。

如果市場(chǎng)上有I個(gè)這樣的“同質(zhì)”投資者，即他們各自有稟賦ωⁱ⁰，資產(chǎn)組合θ ⁱ⁰和效用函數(shù)vⁱ；每個(gè)投資者面臨著金融資產(chǎn)的選擇問題：

投資者各自做出最優(yōu)選擇，如果市場(chǎng)上資產(chǎn)價(jià)格使得資產(chǎn)的需求等于供給，即,k = 0,1, …, n，那么稱市場(chǎng)達(dá)到均衡。為簡單起見，我們直接假設(shè)在這種情況下均衡存在。

由式（1-4），可得

其中，由式（1-3），可得

把式（1-6）寫成矩陣形式，則可得

其中E[r]=（E[r₁], …E[r_n]）^T, e=（1, …,1）^T, , …,,，V=（V_jk）_{j, k=1, …, n}=（Cov[r_j, r_k]）_{j, k=1, …n}。因此

上式右端與i無關(guān)，從而可得

令

這是第i個(gè)投資者的最優(yōu)組合中的第k種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)值在其持有資產(chǎn)總價(jià)值中所占的比重。那么由式（1-6）可得

由上式可得

但是

由此即得

代入式（1-9），我們有

對(duì)于固定的k，所有都相等，并且都等于市場(chǎng)組合相應(yīng)的比例系數(shù)。事實(shí)上，由式（1-7），我們可得

其中 。但是由式（1-8）, 與i無關(guān)。因此，wⁱ與i無關(guān)，即對(duì)于固定的k，所有都相等。另一方面，

這樣，對(duì)于任何資產(chǎn)i, -，因而可得

這就是資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）的經(jīng)典形式。

以上用均衡定價(jià)的思想構(gòu)造模型，推出了資本資產(chǎn)定價(jià)模型。我們從研究單個(gè)投資者的消費(fèi)-投資決策出發(fā)，在市場(chǎng)均衡的條件下獲得了均衡的定價(jià)關(guān)系：風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)是定價(jià)的核心，投資者對(duì)不可分散的風(fēng)險(xiǎn)要求相應(yīng)的回報(bào)，風(fēng)險(xiǎn)暴露程度高（β值高）的金融資產(chǎn)期望收益也高。

需要注意的是，以上CAPM的建模主要包括如下假設(shè)：第一，完全競(jìng)爭的市場(chǎng)，即市場(chǎng)上存在著大量的投資者，每個(gè)投資者的財(cái)富相對(duì)財(cái)富總和來說均微不足道。投資者是價(jià)格的接受者，單個(gè)投資者的交易行為對(duì)股票價(jià)格不產(chǎn)生影響；第二，兩時(shí)期的決策模型，即只有現(xiàn)在和未來兩個(gè)時(shí)期，投資者根據(jù)對(duì)未來的預(yù)期來形成現(xiàn)在的決策；第三，不考慮交易成本和稅收的影響；第四，投資人追求期望效用最大化，效用函數(shù)需要是“均值-方差效用函數(shù)”；第五，同質(zhì)性信念假設(shè)，即投資者關(guān)于股票收益率的概率分布預(yù)期是一致的。

金融學(xué)理論研究不斷進(jìn)步發(fā)展，在拓展一個(gè)或多個(gè)CAPM假設(shè)的基礎(chǔ)上形成了新的資產(chǎn)定價(jià)理論。跨時(shí)期資本資產(chǎn)定價(jià)模型（ICAPM; Merton, 1973）就是其中的一個(gè)拓展。跨時(shí)期資本資產(chǎn)定價(jià)模型將CAPM的兩時(shí)期擴(kuò)展為多時(shí)期的動(dòng)態(tài)決策模型，投資者的效用函數(shù)也不需要是“均值-方差”效用函數(shù)而是基于消費(fèi)選擇的效用函數(shù)。在CAPM中，由于投資者的效用是“均值-方差”的，因此其投資決策中唯一關(guān)心的風(fēng)險(xiǎn)來源于股票的方差，因而在分散化個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)之后，只有與市場(chǎng)組合的敏感程度所代表的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)才得到定價(jià)。ICAPM環(huán)境下，投資者考慮的問題是如何在生命周期內(nèi)分配收入來實(shí)現(xiàn)消費(fèi)的效用最大化，由于模型是多時(shí)期的決策模型，隨著時(shí)間的變化，投資者所面臨的投資可行集也會(huì)發(fā)生變化，對(duì)于投資者來說，其關(guān)心的風(fēng)險(xiǎn)不僅來源于市場(chǎng)的波動(dòng)，而且來源于其他影響投資可行集變化的狀態(tài)變量。投資者會(huì)產(chǎn)生對(duì)所有這些風(fēng)險(xiǎn)因素進(jìn)行套期保值的需求，并對(duì)風(fēng)險(xiǎn)暴露程度高的股票要求溢價(jià)。按照ICAPM的思想，股票預(yù)期收益的決定因素應(yīng)該與多種風(fēng)險(xiǎn)因素相關(guān)，而這些風(fēng)險(xiǎn)因素應(yīng)該是可以描繪投資可行集變化的變量。

1.4 無套利定價(jià)

套利是金融學(xué)的重要概念之一，套利行為是“在兩個(gè)不同的市場(chǎng)中，以有利的價(jià)格同時(shí)買進(jìn)和賣出同種或本質(zhì)相同的金融資產(chǎn)或資產(chǎn)組合的行為”（Sharpe and Alexander,1990）。套利行為之所以可以獲利，是因?yàn)槭袌?chǎng)上存在套利機(jī)會(huì)。如果同種或本質(zhì)相同的金融資產(chǎn)具有不同的價(jià)格，那么就會(huì)出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)。

直觀來講，無套利就是指市場(chǎng)上不存在套利機(jī)會(huì)。如果將無套利具體化為資產(chǎn)定價(jià)的前提條件，那么可以將其分解為多個(gè)層次的含義。史樹中（2004）將無套利假設(shè)分為五個(gè)層次：

第一，未來價(jià)值一樣的金融資產(chǎn)（或組合），當(dāng)前應(yīng)該有一樣的定價(jià)。這個(gè)條件也稱為可定價(jià)法則；

第二，金融資產(chǎn)（或組合）的若干倍的當(dāng)前價(jià)值應(yīng)該等于該資產(chǎn)的當(dāng)前價(jià)值的同樣倍數(shù)，簡單地說就是“批發(fā)價(jià)”和“零售價(jià)”相等；

第三，金融資產(chǎn)（或組合）的買價(jià)與賣價(jià)應(yīng)該相同，沒有買賣價(jià)差等交易成本；

第四，金融資產(chǎn)（或組合）的當(dāng)前價(jià)值應(yīng)該等于其組合成分的當(dāng)前價(jià)值之和，即若干份A資產(chǎn)與若干份B資產(chǎn)在一起的資產(chǎn)組合的總價(jià)值，應(yīng)該等于A資產(chǎn)價(jià)格的同樣倍數(shù)與B資產(chǎn)價(jià)格的同樣倍數(shù)之和；

第五，未來價(jià)值為正的組合，當(dāng)前價(jià)值也為正。

對(duì)金融資產(chǎn)定價(jià)就體現(xiàn)了第一層次的無套利假設(shè)。否則，如果對(duì)于未來有不確定價(jià)值的金融資產(chǎn)來說，其當(dāng)前價(jià)值也不確定，那么它在市場(chǎng)上就不可能交易；或者說，在市場(chǎng)上同一種資產(chǎn)可能有多種價(jià)格，從而就有人可以進(jìn)行“低買高賣”的套利活動(dòng)。無套利假設(shè)的第四層次也被稱為“線性定價(jià)法則”。這條“線性定價(jià)法則”如果不成立也意味著存在某種套利機(jī)會(huì)，即我們有可能利用“合起來”買賣一個(gè)資產(chǎn)組合與“分開來”買賣一個(gè)資產(chǎn)組合的差價(jià)，來構(gòu)造一個(gè)盈利的套利策略。

Modigliani and Miller（1958）第一次用無套利假設(shè)作為“公理”來作為金融資產(chǎn)定價(jià)的出發(fā)點(diǎn)，推出了著名的MM原理。自此以后，金融學(xué)家在資產(chǎn)定價(jià)的研究工作中，嘗試將無套利單獨(dú)拿出來，而不使用均衡定價(jià)的復(fù)雜框架，直接對(duì)金融資產(chǎn)定價(jià)，并逐漸發(fā)展成為一套“套利定價(jià)論”，或稱“相對(duì)定價(jià)論”。

Black-Scholes期權(quán)定價(jià)理論（Black and Scholes,1973）是無套利定價(jià)的經(jīng)典范例。股票買入期權(quán)是指以某一約定的執(zhí)行價(jià)格在一定的期限內(nèi)買入某種股票的權(quán)利。如果執(zhí)行期是固定的，則稱為歐式期權(quán)；如果執(zhí)行期可以是到期前的任何時(shí)候，則稱為美式期權(quán)。期權(quán)在它被執(zhí)行時(shí)，如果股票的市價(jià)高于期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格，那么期權(quán)的價(jià)格就是市價(jià)與執(zhí)行價(jià)格之差；如果股票的市價(jià)低于期權(quán)規(guī)定的執(zhí)行價(jià)格，那么期權(quán)價(jià)格為零。由于股票未來的價(jià)格是不確定的，期權(quán)到期執(zhí)行的價(jià)格也是不確定的。我們用一個(gè)簡單的模型來演示無套利定價(jià)的思想。^[3]這個(gè)模型是一個(gè)兩時(shí)期模型，有“現(xiàn)在”和“未來”兩個(gè)時(shí)刻，并且“未來”時(shí)刻就是期權(quán)的執(zhí)行時(shí)刻。股票“現(xiàn)在”的股價(jià)S₀是已知的，而“未來”的股價(jià)只有兩種可能，即aS₀或bS₀，其中a≠b。為簡單起見，這里還假定沒有通貨膨脹和無風(fēng)險(xiǎn)利息，即“現(xiàn)在”與“未來”的貨幣價(jià)值是一樣的。如果期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為K，那么期權(quán)在“未來”時(shí)刻的可能價(jià)格為 C_a= max（aS₀- k,0）和 C_b=max（bS₀-k,0），其中max表示括號(hào)內(nèi)兩個(gè)數(shù)中的大者。在這個(gè)模型框架下，我們求期權(quán)的“現(xiàn)在”的價(jià)格。

根據(jù)無套利假設(shè)，期權(quán)定價(jià)問題可以從不同的思想出發(fā)來得到解決。其中主要的三種是：

第一，風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的思想。由于賣出股票與買入期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)方向相反，用這兩種資產(chǎn)構(gòu)造組合，可以達(dá)到完全保值的作用。設(shè)C₀為“現(xiàn)在”的期權(quán)價(jià)格，投資者賣出一份股票，買進(jìn)x份期權(quán)，而這兩種投資行為的組合使風(fēng)險(xiǎn)完全對(duì)沖，即不管未來出現(xiàn)哪一種情況，它的價(jià)值不變。于是就有方程：

-aS₀+xC_a= -bS₀+xC_b

根據(jù)該方程可以求出購買期權(quán)的份數(shù)x，并由“線性定價(jià)法則”，金融資產(chǎn)（或組合）的當(dāng)前價(jià)值應(yīng)該等于其組合成分的當(dāng)前價(jià)值之和，即：

-S₀+xC₀= -aS₀+xC_a= -bS₀+xC_b

由此可解得期權(quán)的“當(dāng)前”價(jià)格為：

第二，“復(fù)制”的思想。期權(quán)的“未來”價(jià)值雖然是不確定的，但是它完全依賴于股票的不確定的價(jià)格，以至期權(quán)本身可以通過股票交易和銀行存款的組合來“復(fù)制”。這就是說，一份期權(quán)相當(dāng)于y元銀行存款與z份股票的組合。于是由這種組合的“未來”價(jià)值與期權(quán)價(jià)值一致，就得到兩個(gè)方程

y+zaS₀=C_a, y+zbS₀=C_b

由此可解得

再由“線性定價(jià)法則”，有

第三，等價(jià)概率鞅測(cè)度的思想。我們假定“未來”可能有兩種情況，但并未規(guī)定這兩種情況的可能性（概率）各有多大。投資者可以根據(jù)自己所掌握的信息對(duì)這兩種可能做出評(píng)估（主觀概率）。在第五層次的無套利假設(shè)下，要求a與b中必然有一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1，即股市的兩種情況只能是一漲一跌。否則在都上漲時(shí)，投資者可通過“現(xiàn)在”買進(jìn)，“未來”賣出，穩(wěn)能得利；在都下跌時(shí)，投資者可采用相反的策略，同樣穩(wěn)能得利。^[4]在這種假定下，就存在有一種對(duì)未來的可能性估計(jì)，使得“未來”的股價(jià)的平均值恰好就等于“現(xiàn)在”的股價(jià)。這是因?yàn)?span id="th7lr2m" class="content-word-italic">a和b中必然有一個(gè)大于1，另一個(gè)小于1，從而存在0與1之間的數(shù)q（概率）使得aq+（1-q）b=1，即。而“現(xiàn)在”的期權(quán)價(jià)格應(yīng)該就是在這種可能性估計(jì)下的“未來”的期權(quán)價(jià)格的平均值，即

這三種觀點(diǎn)所得到的期權(quán)價(jià)格雖然完全一樣，但是第三種觀點(diǎn)在模型的假定上要比前兩種觀點(diǎn)更強(qiáng)。具體地說，在前兩種觀點(diǎn)中，只要求a≠b，而在第三種觀點(diǎn)中還要求1在a, b之間，否則q就不在0,1之間，不可能解釋為一種狀態(tài)發(fā)生的概率。也就是說，在第三種觀點(diǎn)中，對(duì)無套利假設(shè)的要求最高。

真正的Black-Scholes模型要比上面的例子復(fù)雜得多，核心的原因是模型必須更加接近于現(xiàn)實(shí)。Black-Scholes模型假設(shè)時(shí)間的變化是連續(xù)的，股價(jià)的變化也是連續(xù)的。股價(jià)變化用幾何布朗運(yùn)動(dòng)來表示；同時(shí)，還假定有一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)來作為股價(jià)的參照物。Black and Scholes（1973）的原始論文中用的是風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖的方法，由此推出一個(gè)偏微分方程，該偏微分方程的解就是Black-Scholes期權(quán)定價(jià)公式。

Black-Scholes模型之后，一些金融學(xué)學(xué)者應(yīng)用第二種和第三種觀點(diǎn)來研究衍生金融工具的定價(jià)，從而使得無套利定價(jià)理論更為豐富。第二種觀點(diǎn)隱含著一種“完全市場(chǎng)”的概念。在完全市場(chǎng)中，每一種衍生金融資產(chǎn)都可以應(yīng)用其他資產(chǎn)組合來“復(fù)制”，從而衍生金融資產(chǎn)的價(jià)格也就可以應(yīng)用其他資產(chǎn)的價(jià)格并根據(jù)線性定價(jià)法則來決定。第三種觀點(diǎn)表達(dá)為嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式后，稱為資產(chǎn)定價(jià)基本定理。它可以表述為：（完整的）無套利假設(shè)等價(jià)于存在對(duì)未來的不確定性的一種估計(jì)（數(shù)學(xué)上稱為“等價(jià)鞅測(cè)度”），在考慮折現(xiàn)之后，使得金融資產(chǎn)的價(jià)格等于未來價(jià)格的平均值。

1.5 均衡與無套利

傳統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)學(xué)定價(jià)理論都是根據(jù)行為人的需求和供給，在一般經(jīng)濟(jì)均衡框架中形成的。金融學(xué)家則直接從無套利的假設(shè)出發(fā)，也可以得到金融資產(chǎn)的價(jià)格。那么，均衡框架和無套利之間有什么樣的邏輯關(guān)系？這一節(jié)中，我們用一個(gè)簡單的投資-消費(fèi)模型^[5]來說明無套利假設(shè)其實(shí)只是“均衡定價(jià)”的推論，即達(dá)到一般均衡的價(jià)格體系一定是無套利的。

模型仍然是兩時(shí)期的，只有“現(xiàn)在”與“未來”兩個(gè)時(shí)刻，“現(xiàn)在”的股價(jià)S₀是已知的，而“未來”的股價(jià)可能有兩種情況，或是變成aS₀，或是變成bS₀，其中a≠b。“現(xiàn)在”與“未來”的貨幣價(jià)值是一樣的，既無通貨膨脹，也無銀行利息。投資者A所追求的目標(biāo)是他的消費(fèi)期望效用最大。因此，首先有一個(gè)描述其效用的馮·諾伊曼-摩根斯坦效用函數(shù)u（c），且u是c的遞增函數(shù)。在此模型中，當(dāng)A要對(duì)自己的投資消費(fèi)行為進(jìn)行決策時(shí)，需要根據(jù)他所掌握的信息，對(duì)“未來”有一個(gè)估計(jì)。于是他估計(jì)股票價(jià)值為aS₀（以后我們稱這一狀態(tài)為狀態(tài)a）的概率為p，而為bS₀（以后我們稱這一狀態(tài)為狀態(tài)b）的概率為1-p。這個(gè)（p,1-p）可能是確實(shí)要發(fā)生的“客觀概率”，也可能是A根據(jù)自己掌握的信息來判斷的“主觀概率”。根據(jù)馮·諾伊曼-摩根斯坦的期望效用函數(shù)理論，A的未來不確定消費(fèi)的效用就等于其不確定效用的數(shù)學(xué)期望。也就是說，如果A在狀態(tài)a的消費(fèi)價(jià)值為c_a，在狀態(tài) b 的消費(fèi)價(jià)值為 c_b，那么其未來消費(fèi)的效用就是 pu（c_a）+（1-p）u（c_b）。這里，我們假定投資者的馮·諾伊曼-摩根斯坦效用函數(shù)不隨時(shí)間變化，A的總消費(fèi)效用函數(shù)就是他的當(dāng)前消費(fèi)效用與未來消費(fèi)效用之和，那么他的總效用就是

U（c₀; c_a, c_b）=u（c₀）+pu（c_a）+（1-p）u（c_b）

其中c₀是當(dāng)前消費(fèi)價(jià)值，c_a和c_b分別是兩種未來消費(fèi)價(jià)值。^[6]

現(xiàn)在我們要討論的問題是：A怎樣通過他對(duì)銀行和股市的投資，來使他的總消費(fèi)效用最大。這里還需假定A在現(xiàn)在有稟賦資金e₀，在未來兩個(gè)狀態(tài)下分別有稟賦資金e_a和e_b，于是如果A在當(dāng)前向銀行存款x_d（如果x_d＜0意味著貸款），在股市買入股票x_s（如果x_s＜0意味著“賣空”），在未來從銀行取款，在股市賣出股票，那么我們就有

c₀=e₀-x_d=S₀x_s; c_a=e_a+x_d+aS₀x_s; c_b=e_b+x_d+bS₀x_s

這樣，對(duì)A來說，最優(yōu)投資-消費(fèi)決策問題就是

max U（c₀; c_a, c_b）=u（c₀）+pu（c_a）+（1-p）u（c_b）

s. t. c₀= e₀-x_d-S₀x_s≥0

c_a= e_a+x_d+aS₀x_s≥0

c_b= e_b+x_d+bS₀x_s≥0

事實(shí)上，只要假設(shè)u是遞增函數(shù)，如果a和b不在1兩邊，那么這個(gè)問題一定沒有解。這是因?yàn)榇藭r(shí)就會(huì)出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)，A只需要通過當(dāng)前向銀行借款，低價(jià)買入股票，未來高價(jià)賣出股票（或者現(xiàn)在高價(jià)賣空股票，把錢存入銀行，未來低價(jià)買入股票來平倉）就能增加他的總效用，并且這樣做是無止境的。也就是說，我們可以在變量的約束范圍內(nèi)使u趨向于無限大。另一方面，如果這一問題有解x-_d, x-_s，那么作為上述結(jié)論的逆否命題，（完整的）無套利假設(shè)一定成立。

也就是說，如果我們需要用均衡框架來討論金融問題，無套利假設(shè)的成立其實(shí)也是必要條件。如果假定函數(shù)的可導(dǎo)性，那么我們還可以從問題解的一階條件得到

即

其中

由上可以得到，

與上節(jié)的第三種觀點(diǎn)相比較，令，那么，這就得到了前面的“等價(jià)概率鞅測(cè)度”。也就是說，這其實(shí)就是另一種特殊方式的資產(chǎn)定價(jià)基本定理的證明。后一等式在假定未來股價(jià)aS₀和bS₀已知的條件下，給出了現(xiàn)在股價(jià)的定價(jià)公式。

以上模型說明，如果我們要從行為人的最優(yōu)投資-消費(fèi)的問題出發(fā)，在得到股價(jià)定價(jià)關(guān)系的同時(shí)，同樣可以得到資產(chǎn)定價(jià)基本定理，即最優(yōu)投資-消費(fèi)問題有解的必要條件是無套利假設(shè)成立，或者資產(chǎn)定價(jià)基本定理成立。

均衡定價(jià)給出了行為人“理性”條件下金融資產(chǎn)的“絕對(duì)”價(jià)格。這個(gè)絕對(duì)價(jià)格也可以稱為金融資產(chǎn)的基本價(jià)值。無套利作為金融市場(chǎng)的基本原則更易于理解并具有實(shí)際的意義，因?yàn)樘桌袨槭谴偈故袌?chǎng)回到基本價(jià)值的力量。由Friedman（1953）對(duì)套利行為的分析就證明了這種情形。

假定有一種金融資產(chǎn)，由于非理性的投資者相互關(guān)聯(lián)的搶購“哄抬”，其價(jià)格已經(jīng)超過基本價(jià)值。察覺到這種價(jià)格高估，聰明的投資者或套利者將賣出甚至賣空這種高價(jià)資產(chǎn)，同時(shí)買進(jìn)本質(zhì)相似的其他資產(chǎn)進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖。如果能找到這種可替換的資產(chǎn)，套利者又能對(duì)之進(jìn)行買賣的話，他們一定有利可圖，因?yàn)樗麄冊(cè)谫u出高價(jià)資產(chǎn)后，同時(shí)又買進(jìn)了同樣或相似的價(jià)格偏低的資產(chǎn)。這樣買賣的結(jié)果是使得被高估的資產(chǎn)價(jià)格回到其基本價(jià)值上。事實(shí)上，如果可替代資產(chǎn)存在，套利者之間的逐利競(jìng)爭又使得他們的行動(dòng)非常迅速高效的話，資產(chǎn)價(jià)格是不可能較大地偏離其基本價(jià)值的，套利者自己也無法獲得多少超額收益。這同樣適用于價(jià)值被低估的資產(chǎn)。為了獲取利潤，套利者在買進(jìn)價(jià)格低估資產(chǎn)的同時(shí)會(huì)賣出本質(zhì)相同的其他資產(chǎn)來對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)，這樣就阻止了資產(chǎn)價(jià)格或大幅度或長期的低估。

套利行為還含有更多的意思。在某種意義上說，由于非理性投資者買進(jìn)價(jià)格高估的資產(chǎn)而放棄價(jià)格低估的資產(chǎn)，所以，他們所獲收益要低于套利者。相對(duì)于他們的同類來講，缺乏理性的投資者總在虧錢。像Friedman（1953）指出的那樣，他們不可能永遠(yuǎn)在虧損，這些人的財(cái)產(chǎn)會(huì)一天天減少，最終他們會(huì)從市場(chǎng)中消失。即使套利者不能及時(shí)消除這些人對(duì)資產(chǎn)價(jià)格的影響，市場(chǎng)力量也會(huì)減少他們的財(cái)富擁有量。從長期來看，因?yàn)楦?jìng)爭的選擇和套利的存在，市場(chǎng)會(huì)保證金融資產(chǎn)的價(jià)格保持在其基本價(jià)值上。

1.6 小結(jié)

“理性”行為人假設(shè)是經(jīng)典金融學(xué)中均衡定價(jià)理論的核心假設(shè)，在“理性”行為人假設(shè)中，行為人的期望效用偏好構(gòu)成“理性”的必要條件之一。均衡定價(jià)理論首先為投資者對(duì)金融資產(chǎn)的偏好建模——期望效用最大化，然后考慮投資者跨時(shí)期的消費(fèi)-投資決策，最后在均衡條件中確定金融資產(chǎn)的價(jià)格。這個(gè)價(jià)格就是所謂的“絕對(duì)”價(jià)格，或者稱為基本價(jià)值。因此，期望效用的“理性”偏好是經(jīng)典金融學(xué)中絕對(duì)定價(jià)的出發(fā)點(diǎn)。

無套利是市場(chǎng)均衡的必要條件。作為定價(jià)方法，無套利定價(jià)只能夠確定資產(chǎn)的相對(duì)價(jià)格。雖然這種定價(jià)方法在實(shí)際中被廣泛地應(yīng)用，但如果需要更深入地理解金融資產(chǎn)價(jià)格的形成機(jī)制，均衡定價(jià)理論仍處于核心的地位。

參考文獻(xiàn)

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[5]Cochrane, J. H. ,2001, Asset Pricing. Princeton, New Jersey:Princeton University Press.

[6]Friedman, M. ,1953, The case for flexible exchange rates, in Essays in Positive Economics, Chicago:University of Chicago Press.

[7]Markowitz, H. ,1952, Portfolio selection, Journal of Finance,7, 77—91.

[8]Merton, R. C. ,1973, An intertemporal capital asset pricing model, Econometrica,41,867—887.

[9]Modigliani, F. and M. H. Miller,1958, The cost of capital, corporation finance, and the theory of vestment, American Economic Review,48, 261—297.

[10]Sharpe, W. and G. Alexander,1990, Investment,4th edition. Englewood, NJ:Prentice-Hall.

[11]Tobin, J. ,1958, Liquidity preference as behavior toward risk, Review of Economic Studies,25,65—86.

[1] 該模型選編自史樹中（2004）第七講。

[2] 在均衡定價(jià)的框架下，CAPM的導(dǎo)出仍然與“均值-方差準(zhǔn)則”密切相關(guān)，其中特別是效用函數(shù)需要是“均值-方差效用函數(shù)”。

[3] 該例子引自史樹中（2004）。

[4] 這里同樣還要假定投資者總有一定的資金可支配，并且股市允許“賣空”，即允許賣出你并不擁有的股票，只要你能在“未來”交割時(shí)，有資金到市場(chǎng)去把股票買回。

[5] 該模型引自史樹中（2004）。

[6] 這里實(shí)際上還假定A對(duì)當(dāng)前和未來的重視程度一樣。如果他重當(dāng)前，輕未來，在這個(gè)效用函數(shù)的后兩項(xiàng)前乘一個(gè)0與1之間的“折現(xiàn)因子”。