3.2 成像模型

《墨經(jīng)》在兩千多年前記載了關(guān)于小孔成像的描述。公元1544年人們利用小孔成像原理觀察日蝕現(xiàn)象，如圖3-3。在投影變換中，透視投影被用來(lái)描述小孔成像模型和透鏡成像模型。前面已經(jīng)提到，相機(jī)成像模型描述相機(jī)從三維場(chǎng)景到二維像平面上的變換過程。相機(jī)成像模型一般可分為線性模型和非線性模型。線性模型可用針孔成像模型表示。當(dāng)考慮到鏡頭畸變等因素時(shí)，相機(jī)成像模型為非線性。

假設(shè)在圖像平面前的固定距離處有一個(gè)理想的小孔，如圖3-4所示，并且，小孔周圍是不透光的，那么只有經(jīng)過小孔的光才能夠到達(dá)像平面。光是沿著直線傳播的，因此圖像上的每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)方向，即從這個(gè)點(diǎn)出發(fā)穿過小孔。

3.2.1 線性模型

在大部分應(yīng)用環(huán)境中，實(shí)際的相機(jī)可采用理想的小孔成像模型近似表示。小孔成像模型是各種相機(jī)模型中最簡(jiǎn)單的一種，它是相機(jī)的一個(gè)近似線性模型。在相機(jī)坐標(biāo)系下，任一點(diǎn)P（X_w，Y_w，Z_w）在像平面的投影位置，也就是說(shuō)，任一點(diǎn)的投影點(diǎn)P（X，Y）都是OP（即光心與點(diǎn)P（X_w，Y_w，Z_w）的連線）與像平面的交點(diǎn)，其幾何關(guān)系如圖3-5所示。

小孔成像模型的投影公式為

簡(jiǎn)寫為

3.2.2 非線性模型

實(shí)際的成像過程中，由于相機(jī)鏡頭的加工誤差、裝備誤差等原因會(huì)產(chǎn)生相機(jī)畸變，使成像點(diǎn)偏離原來(lái)應(yīng)成像的位置，所以線性模型不能準(zhǔn)確地描述相機(jī)的成像幾何關(guān)系。非線性模型可用式（3-27）來(lái)描述。

式中，（x₀，y₀）是經(jīng)過畸變的點(diǎn)，（x_d，y_d）是線性模型計(jì)算出來(lái)的圖像點(diǎn)坐標(biāo)理想值，δ_x（x，y）、δ_y（x，y）是非線性畸變，公式為

式中，k₁x（x²+y²）和k₂y（x²+y²）是徑向畸變，p₁（3x²+y²）+2p₂xy和p₂（3x²+y²）+2p₁xy是離心畸變，s₁（x²+y²）和s₂（x²+y²）是薄棱鏡畸變，k₁、k₂、p₁、p₂、s₁、s₂是畸變參數(shù)。

在相機(jī)標(biāo)定過程中，通常不考慮離心畸變和薄棱鏡畸變，因?yàn)閷?duì)于引入的非線性畸變因素，往往需要使用附加的非線性算法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化，而大量研究表明，引入較多的非線性參數(shù)不僅對(duì)標(biāo)定精度的提高作用不大，還會(huì)造成解的不穩(wěn)定性，而且一般情況下只使用徑向畸變就足以描述非線性畸變，則

式中，r為徑向半徑，。式（3-29）表明，相機(jī)畸變程度與r有關(guān)。r越大，證明畸變?cè)絿?yán)重，位于邊緣的點(diǎn)偏離越大。

將式（3-29）代入式（3-25）可得

簡(jiǎn)寫為