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3.1 射影幾何與幾何變換

射影幾何是研究圖形的射影性質(zhì),即經(jīng)過射影變換后依然保持不變的圖形性質(zhì)的幾何學分支學科。機器視覺中常涉及歐式幾何(Euclidean Geometry)、仿射幾何(Affine Geometry)、射影幾何(Projective Geometry)和微分幾何(Differential Geometry)。

常用的空間幾何變換有剛體變換、空間相似變換(含平移、旋轉(zhuǎn)、相似變換)、仿射變換、投影變換(也叫透視變換)與非線性變換等。其中仿射變換為射影變換的特例,在射影幾何中已證明,如果射影變換使無窮點仍變換為無窮遠點,則變換為仿射變換。經(jīng)仿射變換后,線段間保持其平行性,但不保持垂直性。平面仿射變換的實質(zhì)是平面與平面之間的平行投影。平面透視變換的實質(zhì)是平面與平面之間的中心投影。

射影變換保持直線、直線與點的接合性及直線上點列的交比不變。仿射變換除具有以上不變性外,還能保持直線與直線的平行性、直線上點列的簡比不變。歐式變換除具有仿射的不變性外,還能保持兩條相交直線的夾角和任意兩點的距離不變。

3.1.1 空間幾何變換

1. 二維變換

1)平移變換:二維平移可以寫成x=x+t或者

或者

式中,I是2×2的單位矩陣,x為二維向量,t為二維平移向量,0是零向量。

2)旋轉(zhuǎn)+平移:該變換也稱為二維剛體運動或二維歐式變換,θ為旋轉(zhuǎn)角,t為平移向量,則變換關(guān)系可以寫成

式中

R是一個正交旋轉(zhuǎn)矩陣,有

RTR=1,‖R‖=1

3)縮放平移:也叫相似變換,該變換可以表示為

或者

相似變換能保持直線間的夾角不變。

4)仿射變換:仿射變換可以表示為

式中,A是2×3矩陣,即

仿射變換后平行線將保持平行性。

5)投影變換:也叫透視變換或同態(tài)變換,作用在齊次坐標上,變換公式為

式中,是一個任意的3×3矩陣,是齊次的,即它只在相差一個尺度量的情況下是已定義的,而僅尺度量不同的兩個是等同的。要想獲得非齊次結(jié)果,得到的齊次坐標必須經(jīng)過規(guī)范化,即

式中,(x,y)為變換前坐標,(x′,y′)為變換后的坐標。

由于變換是齊次的,同一個投影變換矩陣可以相差一個非零常數(shù)因子,因此投影變換僅有8個自由度,直線在投影變換后仍然是直線。圖3-1為圖像二維變換的效果。

2. 三維變換

1)平移:三維平移可以寫為x=x+t3D或者

式中,I3D是3×3的單位矩陣,t3D為三維向量。

2)旋轉(zhuǎn)+平移:該變換也稱為三維剛體運動,即三維歐式變換,可以寫成

式中,R3D是一個3×3的正交矩陣,有和‖R3D‖=1。

3)縮放旋轉(zhuǎn):該變換可以表示為

圖3-1 圖像二維變換

a)原圖像 b)仿射變換后的圖像 c)投影變換后圖像

它能夠保持直線和平面間的夾角。

4)仿射變換:仿射變換可以表示為

式中A3D是3×4矩陣,即

仿射變換后原來的平行線和平行面會保持平行性。

5)投影變換:也叫三維透視變換或同態(tài)映射,作用在齊次坐標上,表示為

式中,是一個任意的4×4齊次矩陣。與二維投影變換相同,要想獲得非齊次結(jié)果,得到的齊次坐標就必須經(jīng)過規(guī)范化。由于變換是齊次的,射影變換可以相差一個非零常數(shù)因子,因此三維投影變換有15個自由度。直線在投影變換后仍然是直線。

3.1.2 三維到二維投影

在計算機視覺與計算機圖形學中,最常用的是三維透視投影,如圖3-2所示。投影變換將三維空間坐標中的點映射到二維平面中,即空間中點的三維信息投影后變成圖像亮度信息,丟失了圖像的三維信息,投影后就不可能恢復該點到圖像的距離了,因此二維傳感器沒有辦法測量到表面點的距離。

圖3-2中點Px,y,z)與成像平面上的對應點pxpyp,zp)在深度方向的大小分別為dz。根據(jù)相似三角形,在圖3-2中有

圖3-2 透視投影示意圖

a)整個三維空間 b)yz平面

以及

進一步可以得到三維空間中點Px,yz)與成像平面上對應點pxp,yp,zp)對應關(guān)系為

d為相機焦距時,有

因而有

式中,為投影矩陣。

以上分析基于理想條件,即光學中心在像平面坐標原點,相機沒有旋轉(zhuǎn)和平移。如果光學中心位于像平面中心(u0,v0)的位置且傳感器軸間傾斜s,則M矩陣被修正為如下形式:

式中,αβ為歸一化焦距。

如果相機與世界坐標系有旋轉(zhuǎn)和平移,則

式中,為旋轉(zhuǎn)和平移組合而成的矩陣。

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