3.1 射影幾何與幾何變換

射影幾何是研究圖形的射影性質(zhì)，即經(jīng)過射影變換后依然保持不變的圖形性質(zhì)的幾何學分支學科。機器視覺中常涉及歐式幾何（Euclidean Geometry）、仿射幾何（Affine Geometry）、射影幾何（Projective Geometry）和微分幾何（Differential Geometry）。

常用的空間幾何變換有剛體變換、空間相似變換（含平移、旋轉(zhuǎn)、相似變換）、仿射變換、投影變換（也叫透視變換）與非線性變換等。其中仿射變換為射影變換的特例，在射影幾何中已證明，如果射影變換使無窮點仍變換為無窮遠點，則變換為仿射變換。經(jīng)仿射變換后，線段間保持其平行性，但不保持垂直性。平面仿射變換的實質(zhì)是平面與平面之間的平行投影。平面透視變換的實質(zhì)是平面與平面之間的中心投影。

射影變換保持直線、直線與點的接合性及直線上點列的交比不變。仿射變換除具有以上不變性外，還能保持直線與直線的平行性、直線上點列的簡比不變。歐式變換除具有仿射的不變性外，還能保持兩條相交直線的夾角和任意兩點的距離不變。

3.1.1 空間幾何變換

1. 二維變換

1）平移變換：二維平移可以寫成x′=x+t或者

或者

式中，I是2×2的單位矩陣，x為二維向量，t為二維平移向量，0是零向量。

2）旋轉(zhuǎn)+平移：該變換也稱為二維剛體運動或二維歐式變換，θ為旋轉(zhuǎn)角，t為平移向量，則變換關(guān)系可以寫成

式中

R是一個正交旋轉(zhuǎn)矩陣，有

R^TR=1，‖R‖=1

3）縮放平移：也叫相似變換，該變換可以表示為

或者

相似變換能保持直線間的夾角不變。

4）仿射變換：仿射變換可以表示為

式中，A是2×3矩陣，即

仿射變換后平行線將保持平行性。

5）投影變換：也叫透視變換或同態(tài)變換，作用在齊次坐標上，變換公式為

式中，是一個任意的3×3矩陣，是齊次的，即它只在相差一個尺度量的情況下是已定義的，而僅尺度量不同的兩個是等同的。要想獲得非齊次結(jié)果，得到的齊次坐標必須經(jīng)過規(guī)范化，即

和

式中，（x，y）為變換前坐標，（x′，y′）為變換后的坐標。

由于變換是齊次的，同一個投影變換矩陣可以相差一個非零常數(shù)因子，因此投影變換僅有8個自由度，直線在投影變換后仍然是直線。圖3-1為圖像二維變換的效果。

2. 三維變換

1）平移：三維平移可以寫為x′=x+t_3D或者

式中，I_3D是3×3的單位矩陣，t_3D為三維向量。

2）旋轉(zhuǎn)+平移：該變換也稱為三維剛體運動，即三維歐式變換，可以寫成

式中，R_3D是一個3×3的正交矩陣，有和‖R_3D‖=1。

3）縮放旋轉(zhuǎn)：該變換可以表示為

它能夠保持直線和平面間的夾角。

4）仿射變換：仿射變換可以表示為

式中A_3D是3×4矩陣，即

仿射變換后原來的平行線和平行面會保持平行性。

5）投影變換：也叫三維透視變換或同態(tài)映射，作用在齊次坐標上，表示為

式中，是一個任意的4×4齊次矩陣。與二維投影變換相同，要想獲得非齊次結(jié)果，得到的齊次坐標就必須經(jīng)過規(guī)范化。由于變換是齊次的，射影變換可以相差一個非零常數(shù)因子，因此三維投影變換有15個自由度。直線在投影變換后仍然是直線。

3.1.2 三維到二維投影

在計算機視覺與計算機圖形學中，最常用的是三維透視投影，如圖3-2所示。投影變換將三維空間坐標中的點映射到二維平面中，即空間中點的三維信息投影后變成圖像亮度信息，丟失了圖像的三維信息，投影后就不可能恢復該點到圖像的距離了，因此二維傳感器沒有辦法測量到表面點的距離。

圖3-2中點P（x，y，z）與成像平面上的對應點p（x_p，y_p，z_p）在深度方向的大小分別為d和z。根據(jù)相似三角形，在圖3-2中有

以及

進一步可以得到三維空間中點P（x，y，z）與成像平面上對應點p（x_p，y_p，z_p）對應關(guān)系為

當d為相機焦距時，有

因而有

式中，為投影矩陣。

以上分析基于理想條件，即光學中心在像平面坐標原點，相機沒有旋轉(zhuǎn)和平移。如果光學中心位于像平面中心（u₀，v₀）的位置且傳感器軸間傾斜s，則M矩陣被修正為如下形式：

式中，α和β為歸一化焦距。

如果相機與世界坐標系有旋轉(zhuǎn)和平移，則

式中，為旋轉(zhuǎn)和平移組合而成的矩陣。