2.4 節點電位法

上節所講的支路電流法雖然能用來求解電路，但由于獨立方程數目等于電路的支路數，所以對支路數較多的復雜電路，手工求解方程的工作量較大。本節要介紹的節點電位法（簡稱為節點法）是一種改進的分析方法，它可以使方程的個數減少。此方法已經廣泛應用于電路的計算機輔助分析和電力系統的計算，是最普遍應用的一種求解方法。

首先了解什么是節點電位。在電路中，任選某一點為參考節點，其他節點與該參考節點之間的電壓稱為節點電位（或節點電壓）。前面介紹電位時用符號“V”表示，所以有的文獻中在講解節點電位法時，使用“V”作為變量的符號。而節點電位等于獨立節點到參考節點的電壓，所以有的文獻也沿用了電壓符號“U”來表示節點電位。本節中使用“U”加上下標來表示節點電位。

將各支路電流通過支路伏安特性用未知節點電位表示，以節點電位為未知量，依KCL列節點電流方程（簡稱為節點方程），求解出各節點電位變量，進而求得電路中需要求得的電流、電壓及功率等，這種分析方法稱為節點電位法，簡稱為節點法。該方法比支路電流法減少了KVL方程，只需要獨立節點數量的方程。

2.4.1 節點方程及其一般形式

下面舉例來說明在幾種情況下節點電位方程的列寫方法。

1．電路中只有一個獨立節點的情況

以一個獨立節點的電路圖2-16為例，圖中含有兩個節點0和1，這里選擇節點0為參考點，節點1為獨立節點，它對參考節點0的節點電位可以記為U₁₀。列電流方程，以流出該節點的電流的為正、流入的為負，圖2-16中流入節點1的電流為I₁和I₂，流出節點1的電流為I₃。方程如下

由兩點間電壓等于這兩點之間的電位之差，再根據電阻上電壓電流關系有

將I₁、I₂、I₃代入式（2-5）中得

整理得到

即

令G₁₁==G₁+G₂+G₃

G₁₁稱為節點1的自電導。自電導G₁₁恒為正。這是由于本節點電位對連到自身節點的電導支路的電流總是使電流流出本節點的緣故。式（2-6）就是圖2-16中一個獨立節點時，使用節點電位法所列寫的方程。可見，如果電路中只有一個獨立節點，那么就只有一個未知量U₁₀，從而只需要列寫一個節點電位方程。

從式（2-6）可以得出該種電路列寫節點電位的規律：方程左側是節點1的節點電位乘以該節點的自電導，也就是流出節點1的電流和；方程右側為流入節點1的電流和。

由式（2-6）可以解出U₁₀的值，這也就是電阻R₃兩端的電壓U_R3。有興趣的讀者可以進一步求出電阻R₁和R₂兩端的電壓U_R1和U_R2。

2．電路中含有3個獨立節點的情況

有3個獨立節點的電路如圖2-17所示，在圖2-17中，有3個獨立節點，分別為節點1、節點2和節點3。其中節點3電位已知：U₃₀=U_S2，因此還剩下兩個未知量：U₁₀和U₂₀，故只需要列節點1和節點2的節點電壓方程即可求得相應的節點電壓。同求解電路圖2-16方法一樣，分別對獨立節點1和2列方程

求各支路電流

把上述各支路電流帶入方程組中得到

整理得到該電路節點法標準方程

方程中，是自電導；將，稱為互電導。這里自電導恒為正，互電導恒為負。

可以得出此種電路節點法列寫的規律：方程左側為本節點電位乘上該節點的自電導再加上相鄰節點電位乘上互電導；方程右側為電壓源除以與該節點共用的電阻然后疊加。電源正極靠近該節點（向該節點流入電流的方向）符號取正，電源負極靠近該節（從該節點流出電流的方向）點的取負。

需要注意的是，這個電路中有一個節點電位就是一個理想電壓源的電壓值，從而可以得出這樣的規律：如果電路中某一支路含有有理想電壓源（無電阻與之串聯），那么選擇參考節點時盡量選擇理想電壓源的負極端作參考點，則理想電壓源的正極端為獨立節點，那么該節點電位為已知，即為該理想電壓源的電壓，這樣所必須列寫的方程會減少一個，從而簡化了方程求解。

3．電路中含有理想電流源支路的情況

圖2-18所示為含有恒流源支路的節點法電路。其結構同圖2-17，方程也同圖2-17類似，只是替換為：I₃=-I_S，方程如下

整理得到

這種電路的處理辦法：將恒流源放方程右側，方向為灌進該節點時取正號，反之取負號。

因此，對于具有理想電流源支路，該支路上的電阻不起作用，可以忽略不計。列節點法方程時，將恒流源的值放在方程右側，方向為灌進該節點時取正號。N個節點標準方程可以表示如下

式中，U₁₀，U₂₀，…，U_（N-1）0，U_N0為各個獨立節點電壓。G_N1，G_N2，…，G_N（N-1）為與節點N連接的互電導，恒為負。G_NN為節點N的自電導，恒為正。U_Sj和R_j表示有j條支路與N節點連接，該支路含有獨立電壓源U_S和與之串聯的電阻R，取的代數和。I_Sk表示有k個含有理想電流源的支路與N節點相連，這些電流源的值取代數和。含電阻的電流源支路與含有理想電流源支路情況下電流符號的取法可以參考前面章節中的總結。

4．電路中兩個節點間有理想電壓源的情況

圖2-19的電路中節點3和節點2之間只有一個獨立源。如果理想電壓源沒有串聯電阻，就不能變換為等效的電流源。在列寫節點方程時，有三種方法：一是選某一理想電壓源的一端作為參考節點；二是在理想電壓源支路中增設電流未知量；三是列廣義節點KCL方程。下面舉例來說明對這些情況的處理方法。

【例2-9】 電路如圖2-19所示，用節點法求I_x。

解：本例n=4，則共有3個獨立節點，接地點為參考節點，3個電源中有兩個理想電壓源。當遇到含理想電壓源電路時，常選某一理想電壓源的一端為參考節點，現選14V理想電壓源的負極端為參考節點，并標出獨立節點序號，在節點2與節點3之間為8V理想電壓源，可增設此支路電流I為未知數，現以U₁、U₂、U₃和I為未知數列方程

U₁=14（節點電壓為理想電壓源電壓）

-1U₁+（1+0.5）U₂+I=3

-0.5U₁+（1+0.5）U₃-I=0

補充節點2、節點3之間的電壓關系U₂-U₃=8，解得

U₁=14V，U₂=12V，U₃=4V，I=-1A

在以上解題過程中，對兩個理想電壓源的處理分別應用了前面所述第一種（即選14V理想電壓源的負極端為參考節點）和第二種（即在8V理想電壓源支路增設此支路電流I為未知數）兩種方法。若采用的是第三種方法（即列廣義節點KCL方程），以本題為例，將節點2、3及8V理想電壓源用虛線框起來，則構成一個假想的封閉面，也稱作廣義節點。對此廣義節點列KCL方程得

-（1+0.5）U₁+（1+0.5）U₂+（1+0.5）U₃=3

此方程與U₁=14，U₂-U₃=8三式聯立，得

U₂=12V，U₃=4V

從例2-9可以看出，如果電路中兩個獨立節點之間具有理想電壓源，應設該支路的電流為未知量，并將其放在方程左側；流出該節點取正、流入該節點取負；并增加一個補充方程，補充方程為兩個獨立節點間的電位差等于該理想電壓源的電壓值。

5．電路中含受控源情況

若要對含受控源的電路列節點方程，則可以先將受控源當獨立源看待，將其作用的項列到方程右邊，而后再找到受控源的控制量與節點電位的關系，將此關系代入節點方程，再將方程右邊反映受控源作用的項移到方程左邊，得到含受控源電路的節點方程。下面舉例來說明對含受控源問題的處理方法。

【例2-10】 用節點法求圖2-20所示電路的U和I。

解：此電路共有兩個節點，設節點0為參考節點，將電流控制電流源看作獨立電流源，列寫節點1的節點方程

由于上式有兩個未知量，因此無法直接求出U₁，需要再列出一個方程，用節點電位表示控制量I，有

I=1×（U₁-6）=U₁-6

以上兩式聯立求解，可得

U₁=7V

I=1A

則

U=U₁=7V

【例2-11】 用節點法求圖2-21所示電路的各節點電位。

解：設節點0為參考節點。將受控電壓源3I₁和受控電流源6I_x分別看作理想電壓源和理想電流源，對節點1、2、3分別列節點方程

在以上各式中，由于出現了I₁和I_x兩個未知量，因此需要再列寫兩個補充方程，到控制支路找出I₁和I_x與各節點電位的關系，有

將兩個大括號中的五式聯立求解，可得

U₁=5V，U₂=-3.968V，U₃=4.192V

2.4.2 節點法解題步驟

從上節的內容可以歸納出節點法的解題步驟如下。

1）選定參考節點，標出各獨立節點序號，將獨立節點電位作為未知量，其參考方向由獨立節點指向參考節點。

2）用觀察法對各個獨立節點列寫以節點電位為未知量的KCL方程。

3）聯立求解第2）步得到的（n-1）個方程，解得各節點電位。

4）指定各支路方向，并由節點電位求得各支路電壓。

5）應用支路的伏安特性關系，由支路電壓求得各支路電流。

【例2-12】 在圖2-22所示電路中，R₁=R₂=R₃=4Ω，R₄=R₅=2Ω，U_S1=4V，U_S5=12V，I_S3=3A。試用節點法求電流I₁和I₄。

解：選圖中節點3為參考節點，標出1和2兩個獨立節點，選U₁₀和U₂₀為兩個未知量。

用觀察法列節點方程

將數據代入方程得

聯立求解得