2.5 網孔電流法

網孔電流法也是著眼于減少方程個數的一種改進的分析方法。上一節所講的節點電壓自動滿足KVL，僅應用KCL列方程就可求解電路；對于有b條支路n個節點的電路，其網孔數為b-（n-1），即是獨立方程的個數。本節討論的網孔電流法是自動滿足KCL，僅應用KVL就可以求解電路的方法。該法簡稱為網孔法。

2.5.1 網孔方程及其一般形式

欲使方程數目減少必使求解的未知量數目減少。在一個平面電路里，因為網孔是由若干條支路構成的閉合回路，所以它的網孔個數必定少于支路個數。如果設想在電路的每個網孔里有一假想的電流沿著構成該網孔的各支路循環流動，就把這一假想的電流稱為網孔電流。

對平面電路，以假想的網孔電流作未知量，依KVL列出網孔電壓方程式（網孔內電阻上電壓通過歐姆定律換算為電阻乘電流表示），求解出網孔電流，進而求得各支路電流、電壓、功率等，這種求解電路的方法稱為網孔電流法。下面以圖2-23所示電路為例來列出網孔的KVL方程，并從中總結出列寫網孔KVL方程的簡便方法。

本電路共有6條支路、4個節點，網孔電流如圖所標分別為I_m1、I_m2、I_m3，其參考方向即作為列寫方程的繞行方向。按網孔列寫KVL方程如下：

網孔1 R₁I_m1+R₅（I_m1-I_m3）+R₂（I_m1-I_m2）+U_S2-U_S1=0

網孔2 R₂（-I_m1+I_m2）+R₆（I_m2-I_m3）+R₃I_m2-U_S2=0

網孔3 R₄I_m3+R₆（-I_m2+I_m3）+R₅（-I_m1+I_m3）=0

為了便于解出方程（也可以參考相關書籍，應用克萊姆法則求解或在計算機上應用MATLAB工具軟件求解，這里不贅述），上述3個方程，需要按未知量順序排列并加以整理，同時將已知激勵源也移到等式右端。這樣上面3個方程整理為

解上述方程組即可得電流I_m1、I_m2、I_m3，進而確定各支路電流或電壓、功率。如果用網孔法分析電路，就都有如上的方程整理過程，比較麻煩。將式（2-10）歸納為

比較式（2-10）和式（2-11），不難發現：R₁₁=R₁+R₂+R₅，是網孔1的所有電阻之和，稱為網孔1的自電阻。同理，R₂₂=R₂+R₃+R₆、R₃₃=R₄+R₅+R₆分別為網孔2和網孔3的自電阻，且自電阻恒為正。這是因為本網孔電流方向與網孔繞行方向一致，由本網孔電流在各電阻上產生的電壓方向必然與網孔繞行方向一致；R₁₂=R₂₁為網孔1和網孔2之間的互電阻，且R₁₂=R₂₁=-R₂為兩網孔共有電阻的負值。在網孔法中，互電阻恒為負。這是由于規定各網孔電流均以順時針為參考方向，所以另一網孔在共有電阻上產生的電壓總是與本網孔繞行方向相反。同理，可解釋R₁₃=R₃₁=-R₅和R₂₃=R₃₂=-R₆；式（2-11）中等式右端的U_S11、U_S22、U_S33分別為3個網孔的等效電壓源的代數和，與網孔繞行方向相反的電壓源為正，一致的為負，如U_S11=U_S1-U_S2，U_S1的方向與網孔1的繞行方向相反，而U_S2的方向與網孔1的繞行方向一致。可以推廣到m個網孔的電路，有興趣的讀者可自行推導。

2.5.2 網孔法解題步驟

1．解題步驟

從上節的內容可以歸納出網孔法的解題步驟如下。

1）選網孔為獨立回路，標出順時針的網孔電流方向和網孔序號。

2）若電路中存在實際電流源，則先將其等效變換為實際電壓源后，用觀察自電阻、互電阻的方法列出各網孔的KVL方程（以網孔電流為未知量）。

3）求解網孔電流。

4）由網孔電流求各支路電流。

5）由各支路電流及支路的伏安特性關系式求各支路電壓。

【例2-13】 試用網孔電流法求解圖2-24所示電路中的各支路電流。

解：網孔序號及網孔繞行方向如圖2-24所示，列寫網孔方程組為

整理為

聯立求解得

I_m1=-1A

I_m2=1A

I_m3=1A

從而求得各支路電流為

I₁=I_m1=-1A

I₂=I_m2=1A

I₃=I_m3=1A

I₄=-I_m1+I_m3=2A

I₅=I_m1-I_m2=-2A

I₆=-I_m2+I_m3=0A

2．含理想電流源及受控源的情況分析

（1）含理想電流源的情況分析

理想電流源不能變換為電壓源，而網孔方程的每一項均為電壓。下面舉例說明如何處理這類問題。

【例2-14】 用網孔法求圖2-25所示電路的各支路電流。

解：網孔序號及網孔電流參考方向如圖中所選，題中有兩個理想電流源，其中6A的理想電流源只流過一個網孔電流，則可知I_m1=6A。這樣就不必再列網孔1的KVL方程，而只需要列出網孔2和網孔3的KVL方程。為了列網孔2和網孔3的KVL方程，設2A電流源的電壓為U_x（如圖2-25所示），所得方程為

多了未知量U_X，必須再增列一個方程，由2A理想電流源支路得到補充方程

I_m2-I_m3=2

將以上4式聯立求解得

I_m2=3.5A

I_m3=1.5A

各支路電流均可用網孔電流求得

I₁=I_m1=6A

I₂=I_m2=3.5A

I₃=I_m3=1.5A

I₄=I_m1-I_m2=2.5A

I₅=I_m1-I_m3=4.5A

I₆=I_m2-I_m3=2A

由本例可看出，當理想電流源所在支路只流過一個網孔電流時，該網孔電流被理想電流源限定；當理想電流源所在支路流過兩個網孔電流時，可用增設理想電流源的電壓為未知數的方法來處理。

（2）含受控源的情況分析

在列含受控源電路的網孔方程時，可先將受控源作為獨立電源處理，然后將受控源的控制量用網孔電流表示，再將受控源作用反映在方程右端的項移到方程左邊，以得到含受控源電路的網孔方程。下面以例2-15進行說明。

【例2-15】 用網孔法求圖2-26所示電路的網孔電流，已知μ=1，α=1。

解：標出網孔電流及序號，網孔1和2的KVL方程分別為

6I_m1-2I_m2-2I_m3=16

-2I_m1+6I_m2-2I_m3=-μU₁

對網孔3，滿足

I_m3=αI₃

補充兩個受控源的控制量與網孔電流關系方程，即

U₁=2I_m1；I₃=I_m1-I_m2

將μ=1、α=1代入，聯立求解得I_m1=4A，I_m2=1A，I_m3=3A