2.1 線性電阻網絡等效變換

2.1.1 電阻的串聯、并聯和混聯及其等效變換

1．電阻的串聯電路及其等效變換

多個電阻串聯電路可以用一個電阻R來代替。電阻串聯電路及其等效變換電路如圖2-1所示。在圖2-1a中，假定有n個電阻R₁，R₂，…，R_n順序相接，其中沒有分支，稱為n個電阻串聯，U代表總電壓，I代表電流。此電路具有的特點是，通過每個電阻的電流相同。

根據基爾霍夫電壓定律（KVL），有

U=U₁+U₂+…+U_n=R₁I+R₂I+…+R_nI=（R₁+R₂+…+R_n）I=RI

其中等效電阻

上式表明，電阻串聯的等效電阻等于相串聯的各電阻之和。顯然，等效電阻必然大于任一個串聯的電阻，等效電路如圖2-1b所示。

各串聯電阻的電壓與電阻值成正比，即

功率為

p=UI=（R₁+R₂+…+R_n）I²=RI²

n個串聯電阻吸收的總功率等于它們的等效電阻所吸收的功率。

若當n=2（即兩個電阻的串聯）時，則兩個電阻的端電壓分別為

從式（2-1）不難看出，U₁、U₂是總電壓U的一部分，且U₁、U₂分別與阻值R₁、R₂成正比，即電阻值大者分得的電壓大，這就是電阻串聯時的分壓作用。

串聯電阻的分壓作用在實際電路中有廣泛應用，如電壓表擴大量程、作為分壓器使用、直流電機中串電阻起動等。

2．電阻的并聯電路及其等效變換

多個電阻并聯電路可以用一個電阻R來代替。電阻的并聯電路及其等效變換電路如圖2-2所示。在圖2-2a中，假定有n個電阻R₁，R₂，…，R_n并排連接，承受相同的電壓，稱為n個電阻并聯，I代表總電流，U代表電壓。根據基爾霍夫電流定律（KCL），有

顯然，R＜R_k，等效電阻小于任一并聯電阻。等效電路如圖2-2b所示。當電阻并聯時，各電阻流過的電流與電阻值成反比

功率為

n個并聯電阻吸收的總功率等于它們的等效電阻所吸收的功率。

若當n=2（即兩個電阻并聯）時，則兩個電阻并聯時求分流的計算公式為

從式（2-2）不難看出，電阻并聯時各自的電流與各自的電阻值成反比，即電阻值小者分得的電流大。要注意，式（2-2）只適合兩個電阻并聯的情況，不適合3個或3個以上電阻并聯的情況。

3．電阻的混聯電路及其等效變換

既有電阻串聯又有電阻并聯的電路稱為電阻混聯電路。分析混聯電路的關鍵問題是如何判別串、并聯，這是初學者感到較難掌握的地方。判別混聯電路的串、并聯關系一般應掌握以下3點。

1）看電路的結構特點。若兩電阻是首尾相聯，則是串聯；若是首首尾尾相聯，則是并聯。

2）看電壓電流關系。若流經兩電阻的電流是同一個電流，則是串聯；若兩電阻上承受的是同一個電壓，則是并聯。

3）對電路進行變形等效。即對電路作扭動變形，如左邊的支路可以扭到右邊，上面的支路可以翻到下面，彎曲的支路可以拉直等；對電路中的短路線可以任意壓縮與伸長；對多點接地點可以用短路線相聯。這點是針對縱橫交錯的復雜電路非常有效的。一般情況下，電阻串、并聯電路的問題都可以用這種方法來判別。

【例2-1】 求圖2-3a所示電路ab端的等效電阻。

解：將短路線壓縮，c、d、e三個點合為一點，如圖2-3b所示。再將能看出串、并聯關系的電阻用其等效電阻代替，如圖2-3c所示，由圖2-3c就可方便地求得

R_eq=R_ab=[（2Ω+2Ω）∥（4Ω+1Ω）]∥3Ω=1.5Ω

這里，“∥”表示兩元件并聯，其運算規律遵守該類元件的并聯公式。

2.1.2 電阻星形聯結和三角形聯結

電阻的連接形式除串聯、并聯和混聯外，還有既不是串聯又不是并聯的形式，常稱之為Y-△聯結結構，Y-△聯結結構電路圖如圖2-4所示。顯然不能用電阻串、并聯的方法求圖2-4a中12端的等效電阻。如果能將圖2-4a等效為圖2-4b，即用圖2-4b中點畫線圍起來的C電路代換圖2-4a中點畫線圍起來的B電路，那么從圖2-4b就可以用串并聯方法求得12端的等效電阻，給電路問題的分析帶來方便。由圖2-4a等效為圖2-4b就應用到星形電路與三角形電路的互換等效。

1. Y-△等效變換

所謂Y電路等效變換為△電路，就是已知Y電路中3個電阻R₁、R₂、R₃，通過變換公式求出△電路中的3個電阻R₁₂、R₁₃、R₂₃，將之接成△去替換Y電路的3個電阻，從而完成Y電路等效變換為△電路的任務。

由圖2-4所示，經分析得到（推導略去）Y-△等效變換的變換公式為

觀察式（2-3），也可看出規律，即△電路中連接某兩個端鈕的電阻等于Y電路中3個電阻兩兩乘積之和除以與第三個端鈕相連的電阻。在特殊情況下，若Y電路中3個電阻相等，即R₁=R₂=R₃=R_Y，顯然，等效變換的△電路中3個電阻也相等，由式（2-3）不難得到R₁₂=R₂₃=R₁₃=R_△=3R_Y。

2.△-Y等效變換

所謂△電路等效變換為Y電路，就是已知△電路中3個電阻R₁₂、R₁₃、R₂₃，通過變換公式求出Y電路中的3個電阻R₁、R₂、R₃，將之接成Y電路去替換△電路中的3個電阻，從而完成△電路等效變換為Y電路的任務。

由圖2-4所示，經分析得到（推導略去）△-Y等效變換的變換公式為

觀察式（2-4），可以看出這樣的規律，即Y電路中與端鈕i（i=1，2，3）相聯的電阻R_i等于△電路中與端鈕i相連的兩電阻乘積除以△電路中3個電阻之和。在特殊情況下，若△電路中3個電阻相等，即R₁₂=R₂₃=R₁₃=R_△，顯然，等效變換的Y電路中3個電阻也相等，則由式（2-4）不難得到

【例2-2】 試求圖2-5所示電路的電壓U₁。

解：應用△-Y等效變換將圖2-5a等效為圖2-5b，再應用電阻串并聯等效變換求得等效電阻R_ab=3Ω+[（3Ω+9Ω）∥（3Ω+3Ω）]=7Ω，則電流

由分流公式計算，得

U₁=R₁×I₁=3Ω×2A=6V