第二節 貨幣的時間價值

貨幣的時間價值是現代公司財務的基礎觀念之一，因其非常重要并且涉及所有理財活動，有人稱之為理財的“第一原則”。公司在投資于某項目時，至少要取得社會平均的利潤率，否則不如投資于另外的項目或另外的行業。因此，貨幣的時間價值成為財務估價最基本的原則。

一、貨幣時間價值的概念

貨幣時間價值是指在沒有風險的前提下貨幣經過一段時期的有效使用增加的價值，也稱資金的時間價值。西方經濟學家對貨幣時間價值的理解往往是和消費心理因素聯系在一起的。他們認為，投資者進行投資就必須推遲消費，對投資者推遲消費的耐心應該給予回報，這種回報的量與推遲的時間成正比，即推遲的時間越長，回報就越多，單位時間的這種回報與投資的百分比，就是時間價值。

要深入理解貨幣時間價值的概念，必須考察貨幣時間價值形成的條件、形成的來源以及它的假設前提。

1．貨幣時間價值形成的條件

貨幣要具有時間價值必須具有一定的條件，這就是要把貨幣有目的地進行投資，即作為資金投入生產經營過程才能形成時間價值。貨幣時間價值是在生產經營中產生的，正如馬克思指出“作為資本的貨幣的流通本身就是有目的，因為只有在這個不斷更新的運動中才有價值增值”。“如果把它從流通中取出來，那它就凝固為貯藏貨幣，即使藏到世界末日，也不會增加分毫。”從貨幣時間價值形成的條件可以看到增強投資的目的性、有效使用資金、加速資金周轉是提高資金時間價值的重要途徑。

2．貨幣時間價值形成的來源

貨幣時間價值真正的來源是什么呢？是純粹時間的恩賜？是延遲消費的賦予？都不是。它實質上是工人創造的剩余價值的一部分。在發達的商品經濟條件下，資本流通的基本性質規定了以價值增值為特征的資本運動是永無止境的，因此準確的資本流通公式是G—W—G′，其中G′=G+△G，即原來預付的貨幣額G加上一個增值的貨幣額△G。馬克思把這個增值的貨幣額△G叫作剩余價值。價值的增值過程就是剩余價值的生產過程，即超過“一定點”而延長了的價值形成過程。所以，貨幣時間價值形成的真實來源是勞動創造的剩余價值的一部分。

3．貨幣時間價值概念的假設前提

貨幣時間價值有兩種表現形式：一種是絕對數，即時間價值額；另一種是相對數，即時間價值率。時間價值率與銀行存款利率、各種債券利率以及股票的股利率雖然都屬于投資報酬率的不同表現形式，但它們之間是有區別的，只有在不考慮通貨膨脹和沒有風險的條件下，它們才會相等。因此，貨幣時間價值概念是以沒有通貨膨脹、沒有風險作為其假設前提的。

二、貨幣時間價值的計算

（一）復利終值和現值

復利是計算利息的一種方法。按照這種方法，每經過一個計息期，要將所生利息加入本金再計利息，逐期滾算，俗稱“利滾利”。這里所說的計息期，是指相鄰兩次計息的時間間隔，如年、月、日等。除非特別指明，本書計息期為1年。

1．復利終值

例2-1 某人將10000元投資于一項事業，年報酬率為10%，經過1年時間的到期終值金額為：

S =P·（1+i）=10000×（1+10%）=11000（元）

上式中：S指終值，包括本金與利息；P指初始投資，即本金或現值；i指利率。

第n年的期終金額為：

S=P（1+i）n

上式是計算復利終值的一般公式，其中的（1+i）n被稱為復利終值系數或1元的復利終值，用符號（S/P, i, n）表示。例如，（S/P,10%,5）表示利率為10%的5期復利終值的系數。為了便于計算，可編制“復利終值系數表”（見本書附表一）備用。該表的第一行是利率i，第一列是計息期數n，相應的（1+i）n值在其縱橫相交處。通過該表可查出，（S/P,10%,5）為1.6105，在時間價值為10%的情況下，現在的1元和5年后的1.6105元在經濟上是等效的，根據這個系數可以把現值換算成終值。

該表的作用不僅在于已知i和n時查找1元的復利終值，而且可在已知1元復利終值和n時查找i，或已知1元復利終值和i時查找n。

例2-2 某人有1000元，擬投入報酬率為10%的投資機會，經過多少年才可使現有貨幣增加5倍？

（1+10%）n=5

（S/P,10%, n）=5

查“復利終值系數表”，在i=10%的項下尋找5，最接近的值為：

（S/P,10%,16）=4.5950

（S/P,10%,17）=5.0545

根據相似三角形的幾何原理用插值法可得：

（5-4.5950）/（5.0545-4.5950）=（n-16）/（17-16）

n=16.88年

即16.88年后可使現有貨幣增加5倍。

2．復利現值

復利現值是復利終值的對稱概念，指未來一定時間的特定資金按復利計算的現在價值，或者說是為取得將來一定本利和而現在所需要的本金。

復利現值計算，是指已知S、i、n時，求P。

通過復利終值計算已知：S=P·（1+i）n

所以：P=S·（1+i）-n

上式中的（1+i）-n是把終值折算為現值的系數，稱復利現值系數，或稱1元的復利現值，用符號（P/S, i, n）來表示，例如，（P/S,10%,5）表示利率為10%時5期的復利現值系數。為了便于計算，可編制“復利現值系數表”（見本書附表二）。該表的使用方法與“復利終值系數表”相同。

例2-3 某人擬在5年后獲得本利和100000元，假設投資報酬率為10%，他現在應投入多少元？

P =S·（P/S, i, n）=100000×（P/S,10%,5）=100000×0.621=62100（元）

答案是某人應投入62100元。

3．復利息

本金P的n期復利息：

I=S-P

例2-4 本金10000元，投資5年，利率8%，每年復利一次，其本利和與復利息是：

S =10000×（1+8%）5=10000×1.469=14690（元）

I=14690-10000=4690（元）

4．名義利率與實際利率

復利的計算期不一定總是1年，有可能是季度、月或日。當利息在1年內要復利幾次時，給出的年利率叫作名義利率。當利息在1年內要復利而且只復利1次時，給出的年利率叫作實際利率。

例2-5 本金10000元，投資5年，年利率8%，每季度復利一次，則：

每季度利率=8%÷4=2%

復利次數=5×4=20

S =10000×（1+2%）20=10000×1.486=14860（元）

i=14860-10000=4860（元）

當1年內復利幾次時，實際的利息要比名義利率計算的利息高。例2-5的利息比前例要多170元（4860-4690）。例2-5的實際利率高于8%，可用下述方法計算：

（1+i）5=1.486

（S/P, i,5）=1.486

查表得：

（S/P,8%,5）=1.469

（S/P,9%,5）=1.538

用插值法求得實際年利率：

i=8.24%

實際利率和名義利率之間的關系是：

式中：r指名義利率；M指每年復利次數；i指實際利率。

將例2-5數據代入：

S =10000×（1+8.24%）5=10000×1.486=14860（元）

（二）普通年金終值和現值

年金是指等額、定期的系列收支。例如，分期付款賒購、分期償還貸款、發放養老金、分期支付工程款、每年相同的銷售收入等，都屬于年金收付形式。年金的形式有普通年金、預付年金、遞延年金和永續年金四種。

普通年金又稱后付年金，是指各期期末收付的年金。普通的收付形式見圖2-1。橫線代表時間的延續，用數字標出各期的序號；豎線的位置表示支付的時刻，豎線下端數字表示支付的金額。

i=10%, n=3

普通年金終值是指其最后一次支付時的本利和，它是n次支付的復利終值之和。例如，按圖2-1的數據，其第三期末的普通年金終值可計算見圖2-2。

在第一期末的100元，應賺得2期的利息，因此，到第三期末其值為121元；在第二期末的100元，應賺得1期的利息，因此，到第三期末其值為110元；第三期末的100元，沒有計息，其價值是100元，整個年金終值331元。

如果年金的期數很多，用上述方法計算終值顯然相當繁瑣，由于每年支付額相等，折算終值的系數又是有規律的，所以，可找出簡單的計算方法。

設每次的支付金額為A，利率為i，期數為n，則按復利計算的普通年金終值S為：

等式兩邊同乘（1+i）：

（1+i）S=A（1+i）+A（1+i）2+A（1+i）3+…+A（1+i）n

上述兩式相減：

（1+i）S-S=A（1+i）n-A

是普通年金為1元、利率為i、經過n期的年金終值，記作（S/A, i, n）。可據此編制“年金終值系數表”（見本書附表三），以供查閱。

2．償債基金

償債基金是指為使年金終值達到既定金額每年應支付的金額。

例2-6 擬在5年后還清100000元債務，從現在起每年等額投資一筆款項，假設投資報酬率10%，每年需要投入多少元？

由于有復利因素，不必每年投入20000元（100000÷5），只要投入較少的金額，5年后本利和即達到100000元，可用以清償債務。

可知：

式中的是普通年金終值系數的倒數，稱償債基金系數，記作（A/S, i, n）。它可以把普通年金終值折算為每年需要支付的金額。償債基金系數可根據普通年金終值系數求倒數確定。

將例2-6有關數據代入上式：

有一種折舊方法，稱為償債基金法，其理論依據是“折舊的目的是保持簡單再生產”。為在若干年后購置設備，并不需要每年提存設備的原值與使用年限計算的算術平均數，由于利息不斷增加，每年只需提存較少的數額即按償債基金提取折舊，即可在使用期滿時得到設備原值。償債基金法的年折舊額就是償債基金系數乘以固定資產原值。

3．普通年金現值

普通年金現值，是指為在每期期末取得相等金額的款項，現在需要投入的金額。

例2-7 某人出國3年，請你代付房租，每年年末付租金10000元，設市場利率10%，他應當現在給你在銀行存入多少錢？

這個問題可以表述為：請計算i=10%, n=3, A=10000元之年終付款的現在等效值是多少？

設年金現值為P，則：

P =10000×（1+10%）-1+10000×（1+10%）-2+10000×（1+10%）-3=100000×0.9091+10000×0.8264+10000×0.7513-10000×（0.909+0.8264+0.7513）=10000×2.4868=24868（元）

計算普通年金現值的一般公式：

等式兩邊同乘（1+i）：

P（1+i）=A+A（1+i）-1+A（1+i）-2+…+A（1+i）-（n-1）

后式減前式：

P（1+i）-P=A-A（1+i）-n

是普通年金為1元，利率為i，經過n期的年金現值，記作（P/A, i, n），可據此編制“年金現值系數表”（見本書附表四），以供查閱。

根據例2-7數據計算：

P=A·（P/A, i, n）=10000×（P/A,10%,3）

查表：（P/A,10%,3）=2.487

P=10000×2.487=24870（元）

例2-8 假設以10%的利率借款200000元，投資于某個壽命為10年的項目，每年至少要收回多少現金才是有利的？

據普通年金現值的計算公式可知：

因此，每年至少要收回現金32540元，才能還清貨款本利。

上述計算過程中的是普通年金現值系數的倒數，它可以把普通年金現值折算為年金，稱投資回收系數。

（三）預付年金終值和現值

預付年金是指每期期初支付的年金，又稱即付年金或先付年金。預付年金支付形式見圖2-3。

1．預付年金終值的計算

預付年金終值的計算公式為：

式中各項為等比數列，首項為A（1+i），公比為（1+i），根據等比數列的求和公式：

式中的是預付年金終值系數，或稱1元的預付年金終值。它和普通年終值系數相比，期數加1，而系數減1，可記作[（s/a, i, n+1）-1]，并可利用“年金終值系數表”查得（n+1）期的值，減去1得出1元預付年金終值。

例2-9 A=2000元，i=8%, n=6的預付年金終值是多少？

S=A·[（S/A, i, n+1）-1]=2000×[（S/A,8%,6+1）-1]

查“年金終值系數表”：

（S/A,8%,7）=8.923

S=2000×（8.923-1）=15846（元）

2．預付年金現值的計算

預付年金現值的計算公式：

式中各項為等比數列，首項是A，公比是（1+i）-1，根據等比數列求和公式：

式中的是預付年金現值系數，或稱1元的預付年金現值。它和普通年金現值系數相比，期數要減1，而系數要加1，可記作[（P/A, i, n-1）+1]。可利用“年金現值系數表”查行（n-1）期的值，然后加1，得出1元的預付年金現值。

例2-10 6年分期付款購物，每年初付20000元，設銀行利率為10%，該項分期付款相當于一次現金支付的購價是多少？

P =A·[（P/A, i, n-1）+1]=20000×[（P/A,10%,5）+1]=20000×（3.791+1）=95820（元）

（四）遞延年金

遞延年金是指第一次支付發生在第二期或第二期以后的年金。遞延年金的支付形式見圖2-4。從圖中可以看出，前三期沒有發生支付。一般用m表示遞延期數，本例的m=3。第一次支付在第四期期末，連續支付4次，即n=4。

遞延年金終值的計算方法和普通年金終值類似：

S =A·（S/A, i, n）=1000×（S/A,10%,4）=1000×4.641=4641（元）

遞延年金的現值計算方法有兩種：

第一種方法，是把遞延年金視為n期普通年金，求出遞延期末的現值，然后再將現值調整到第一期初（圖2-4中的0的位置）。

P3=A·（P/A, i, n）=1000×（P/A,10%,4）=1000×3.170=3170（元）

P0=P3·（1+i）-m=3170×（1+10%）-3=3170×0.7513=2381.6（元）

第二種方法，是假設遞延期中也進行支付，先求出m+n期的年金現值，然后，扣除實際并未支付的遞延期m的年金現值，即可得出最終結果。

P（m+n）=1000×（P/A, i, m+n）=1000×（P/A,10%,3+4）=1000×4.868=4868（元）

P（m）=1000×（P/A, i, m）=1000×（P/A,10%,3）=1000×2.487=2487（元）

P（A）=P（m+n）-P（m）=4868-2487=2381（元）

（五）永續年金

無限期定額支付的年金稱為永續年金。例如現實中的存本取息。永續年金沒有終止時間，也就沒有終值。永續年金的現值可以通過普通年金的計算公式導出：

當n→∞時，（1+i）-n的極限為零，故上式可寫成：

例2-11 擬建立一項永久性的獎學金，每年計劃頒發10000元獎金。若利率為10%，現在應存入多少錢？

三、貨幣時間價值計算工具

由于按照前面介紹的貨幣時間價值計算方法手工計算，工作量較大且準確率不高，在實際操作中，人們通常采用貨幣時間價值系數表、財務計算器和Excel財務函數等工具來完成貨幣時間價值的計算工作。

常用的貨幣時間價值系數表包括復利終值系數表、復利現值系數表、年金終值系數表和年金現值系數表，對應不同的年限和利率有不同的系數，方便查閱。但是該方法只是一個近似的計算，特別是對于表中未包含的利率，通常采用內插法計算，使計算的準確度降低。

財務計算器的出現，取代了煩瑣的復利和現值公式的計算，且目前開發出的財務計算器的種類越來越多，目前使用較多的財務計算器型號有HP-12C Platinum、HP 10BII和HP 17BII+。

Excel作為專業的電子表格處理軟件，具有一定的復雜性。要在財務管理中熟練地應用其各種分析方法和分析工具，要求使用者必須具備相當的計算機知識和財會專業知識。其強大的數據處理和數據分析功能，可以很好地滿足現代財務管理的要求，相比起以上兩種方法，通過不同的財務函數的應用，Excel的功能更強大，擴展性更好，學習和應用起來也更加系統。接下來介紹幾種資金的時間價值函數來說明如何利用Excel計算貨幣的時間價值。

1．年金終值函數FV

在Excel中，可以用FV函數計算年金終值。語法結構為FV（rate, nper, pmt, pv, type）。其中各項的含義為：rate為各期利率，是一個固定值。nper為總投資（或貸款）期，即該項投資（或貸款）的付款期總數。pmt為各期所應付給（或得到）的金額，其數值在整個年金期間（或投資期內）保持不變，通常pmt包括本金和利息，但不包括其他費用及稅款。如果忽略pmt，則必須包括pv函數。pv為現值，即從該項投資（或貸款）開始計算時已經入賬的款項，或一系列未來付款當前值的累積和，也稱為本金。如果省略pv，則假設其值為零，并且必須包括pmt參數。type為數字0或1，用以制定各期的付款時間是在期初還是期末。0表示在期末，1表示在期初。如果省略type，則假設其值為零。

在所有參數中，現金流出的款項表示為負數，現金流入的款項表示為正數。

例2-12 某項投資的投資期為10年，每年投資500萬元，年投資回報率為10%，每年年末支付。使用Excel函數計算該項目終值。

在Excel工作表中輸入各項目名稱及相應的數據，選定F2單元格，在其中輸入公式“FV=（A2, B2, C2, D2, E2）”，按回車鍵后，結果顯示如圖2-5所示。

2．年金現值函數PV

在Excel中，可以用PV函數計算年金現值。語法結構為PV（rate, nper, pmt, fv, type）。其中，rate、nper、pmt、fv、type等各參數含義及要求同上。

例2-13 某項投資的投資期為10年，每年投資500萬元，年投資回報率為10%，每期年末支付。使用Excel函數計算該項目現值。

在Excel工作表中輸入各項目名稱及相應的數據，選定F2單元格，在其中輸入公式“PV=（A2, B2, C2, D2, E2）”，按回車鍵后，結果顯示如圖2-6所示。

3．年金中的利息函數IPMT

在已知期數、利率及現值或終值的條件下，可以用Excel中的IPMT函數計算返回年金處理的每期固定付款每期所含的利息。語法結構為IPMT（rate, per, nper, pmt, pv，fv）, rate、nper、fv、type等各參數含義及要求同上。per用于計算器利息數額的期次，必須在1～nper之間。pv為現值，即從該項投資（或貸款）開始計算時已經入賬的款項，或一系列未來付款當前值的累積和，也稱為本金。

例2-14 某項投資的投資期為10年，每年投資500萬元，投資項目的現值為3072.28萬元，年投資回報率為10%，每期年末支付。使用Excel函數計算該項目第一年的利息額。

在Excel工作表中輸入各項目名稱及相應的數據，選定F2單元格，在其中輸入公式“IPMT=（A2,1, B2, E2）”，按回車鍵后，結果顯示如圖2-7所示。

4．年金中的本金函數PPMT

在已知期數、利率及現值或終值的條件下，應用Excel中的PPMT函數可以求得返回年金處理的每期固定付款所含的本金。語法結構為PPMT（rate, per, nper, pv, fv, type）。語法結構中各參數的要求同上。

例2-15 某項投資的投資期為10年，投資項目現值為3072.28萬元，年投資回報率為10%，每期年末支付。使用Excel函數計算該項目第一年支付的本金。

在Excel工作表中輸入各項目名稱及相應的數據，選定F2單元格，在其中輸入公式“PPMT=（A2,1, B2, E2）”，按回車鍵后，結果顯示如圖2-8所示。

5．利率函數RATE

在已知期數、期付款金額和現值的情況下，可以用Excel中的利率函數RATE（）計算返回年金的每期利率。利率函數的語法結構為RATE（nper, pmt, pv, fv, type, guess），語法結構中的nper、pmt、pv、fv、type等各參數含義及要求同上。guess為預期利率（估計值）。如果省略預期利率，則假設該值為10%。

例2-16 某投資項目現值為3072.28，總投資期為10年，每期年末支付，每年支付款項為500萬元。使用Excel函數計算該項目的年利率。

在Excel工作表中輸入各項目名稱及相應的數據，選定A2單元格，在其中輸入公式“RATE=（B2, C2, F2, E2）”，按回車鍵后，結果顯示如圖2-9所示。