3　衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)采用的數(shù)學(xué)模型——受攝二體問題[1]～[8]

太陽(yáng)系各大行星和小行星的運(yùn)動(dòng)、各大行星的自然衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)，以及人造目標(biāo)天體軌道器（人造地球衛(wèi)星、月球衛(wèi)星、火星衛(wèi)星等環(huán)繞型探測(cè)器）的運(yùn)動(dòng)，主要外力源只有一個(gè)。其中，各大行星和小行星的運(yùn)動(dòng)，主要外力源是太陽(yáng)引力；自然衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的主要外力源是相應(yīng)的大行星；軌道器運(yùn)動(dòng)的主要外力源則是相應(yīng)的目標(biāo)天體。對(duì)于上述各類運(yùn)動(dòng)問題，除主要外力源外，其他各種外力作用相對(duì)較小，這就可以將一般N（N≥3）體系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成一個(gè)受到“干擾”的二體系統(tǒng)，相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題通常就稱為受攝二體問題。為了區(qū)別，將這一“受攝二體系統(tǒng)”中對(duì)應(yīng)主要外力源的天體稱為“中心天體”，用符號(hào)P0表示，相應(yīng)的質(zhì)量記作m0，而另一個(gè)待研究其運(yùn)動(dòng)的天體用符號(hào)p表示，質(zhì)量記作m，所要研究的問題，就是上述大小行星、自然衛(wèi)星和人造衛(wèi)星（環(huán)繞型探測(cè)器）在相應(yīng)中心天體引力作用和若干攝動(dòng)因素影響下的運(yùn)動(dòng)軌道問題。

對(duì)于受攝二體問題的軌道運(yùn)動(dòng)，可歸結(jié)為一個(gè)常微初值問題，即

其中G是萬(wàn)有引力常數(shù)，是應(yīng)考慮的各種攝動(dòng)加速度，對(duì)應(yīng)k＞1個(gè)攝動(dòng)源。這里的坐標(biāo)系原點(diǎn)是在中心天體P0的質(zhì)心上，是運(yùn)動(dòng)天體在該坐標(biāo)系中的位置矢量，相應(yīng)的初值條件為

通常引用符號(hào)μ：

對(duì)于小天體（包括各種環(huán)繞型探測(cè)器）而言，相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)天體p的質(zhì)量m＝0，那么運(yùn)動(dòng)方程（1）即變?yōu)橄铝行问剑?/p>

其中μ＝Gm0是中心天體的引力常數(shù)，例如研究人造地球衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)，中心天體是地球，常用的符號(hào)μ＝Gm0＝GE就是地心引力常數(shù)，其值為3.98603×1014（m3/s2）。對(duì)于一個(gè)地球低軌衛(wèi)星，如果在300 km高的近圓軌道上運(yùn)行，地球中心引力加速度（μ/r2）約為9m/s2，而自然存在的各種攝動(dòng)加速度中最大的地球動(dòng)力學(xué)扁率項(xiàng)的相對(duì)大小為10-3，運(yùn)動(dòng)方程（4）對(duì)應(yīng)的就是一個(gè)典型的受攝二體問題，相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌道是一個(gè)緩慢變化的橢圓。如果該衛(wèi)星的質(zhì)量有1t，并同時(shí)存在持續(xù)的100N大小的推力（這一衛(wèi)星相當(dāng)于一個(gè)機(jī)動(dòng)平臺(tái)），相應(yīng)的機(jī)動(dòng)加速度為0.1m/s2，這仍可看作一種攝動(dòng)力，其相對(duì)大小也僅達(dá)到10-2，比月球環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)受到太陽(yáng)的引力攝動(dòng)（2×10-2）還小一些。對(duì)于這樣一個(gè)空間機(jī)動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)，采用受攝二體問題模型來(lái)研究它的運(yùn)動(dòng)規(guī)律仍然有效。

3.1　二體問題與開普勒運(yùn)動(dòng)

受攝二體問題的參考模型即簡(jiǎn)單的二體問題，相應(yīng)的常微初值問題如下：

初值條件同上，即（2）式。這是一個(gè)已完全解決的可積系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)的是眾所周知的開普勒運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌道為二次圓錐曲線——橢圓、拋物線和雙曲線，軌道方程的形式如下：

其中f是真近點(diǎn)角，e是偏心率，這里的符號(hào)p是半通徑，對(duì)橢圓、拋物線和雙曲線三種情況分別有

（7）式和（9）式中的a是軌道半長(zhǎng)徑，（8）式中的q是近星距。

該問題中另一個(gè)關(guān)鍵性的積分直接體現(xiàn)運(yùn)動(dòng)體在軌道上的“位置”，即近點(diǎn)角與時(shí)間t的關(guān)系。同樣，對(duì)上述橢圓、拋物線和雙曲線三種情況有不同的形式，即

上述三式就是著名的開普勒方程的三種形式，可以說(shuō)開普勒運(yùn)動(dòng)的名稱就與此有關(guān)。公式中的τ是運(yùn)動(dòng)體過(guò)近星點(diǎn)的時(shí)刻，f，E和M各稱為真近點(diǎn)角、偏近點(diǎn)角和平近點(diǎn)角，n是平運(yùn)動(dòng)角速度，由下式定義：

從上述內(nèi)容可知，二體問題與開普勒運(yùn)動(dòng)通常是不加區(qū)分的，不過(guò)要說(shuō)明的是：無(wú)論是二體問題，還是開普勒運(yùn)動(dòng)，都應(yīng)包含上述三種軌道，即橢圓、拋物線和雙曲線，只是人們通常關(guān)注的焦點(diǎn)是橢圓軌道罷了，因?yàn)檫@種軌道形式是太陽(yáng)系中天體的主要運(yùn)動(dòng)形態(tài)。

3.2　受攝二體問題的處理

對(duì)于受攝二體問題運(yùn)動(dòng)方程（1）的處理，至今還沒有其他更有效的方法，參考軌道仍采用開普勒軌道，實(shí)際運(yùn)動(dòng)則為緩慢變化的開普勒軌道，相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，在任何時(shí)刻都可以用瞬時(shí)開普勒軌道（如瞬時(shí)橢圓軌道）來(lái)刻畫。具體處理方法，即在上述參考模型解的基礎(chǔ)上利用常數(shù)變易法轉(zhuǎn)化為小參數(shù)方程，從而根據(jù)常微分方程解析理論（邦加雷定理）構(gòu)造所需要的解析解（或稱分析解）——小參數(shù)冪級(jí)數(shù)解，具體采用一階、二階或高階解來(lái)表達(dá)。在常數(shù)變易中，基本參數(shù)通常是采用二體問題完整解中具有明確軌道幾何意義的積分常數(shù)——6個(gè)開普勒根數(shù)a，e，…，M，不妨記作σ：

該式上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置。在二體問題中，開普勒根數(shù)為不變的積分常數(shù)。在中心天體坐標(biāo)系中，這6個(gè)軌道根數(shù)定義為

a：軌道半長(zhǎng)徑，e：偏心率，i：軌道傾角，

Ω：軌道升交點(diǎn)經(jīng)度，ω：近地點(diǎn)幅角，M：平近點(diǎn)角

其中前3個(gè)a，e，i為角動(dòng)量，而后3個(gè)Ω，ω，M則為角變量（Ω和ω是慢變量，M是快變量）。

受攝二體問題（1），經(jīng)常數(shù)變易后轉(zhuǎn)化為下列小參數(shù)方程：

其中ε是對(duì)應(yīng)攝動(dòng)加速度的小參數(shù)，該方程有多種形式，將在后面有關(guān)章節(jié)中具體闡述，相應(yīng)的初值條件是

這里σ0即初始根數(shù)。

采用經(jīng)典攝動(dòng)法（或各種改進(jìn)的攝動(dòng)法）即可構(gòu)造相應(yīng)的受攝軌道根數(shù)變化的小參數(shù)冪級(jí)數(shù)解，取到k階（對(duì)小參數(shù)ε而言）的形式如下：

其中σ（0）是參考軌道，即無(wú)攝軌道根數(shù)。這一解的構(gòu)造方法（攝動(dòng)法）沿用至今，對(duì)變化橢圓和雙曲線軌道均適用。

關(guān)于受攝二體問題（1），在天體力學(xué)和衛(wèi)星軌道力學(xué)的發(fā)展過(guò)程中，也確實(shí)嘗試過(guò)其他解決途徑，如采用區(qū)別于上述無(wú)攝軌道作為參考軌道去構(gòu)造攝動(dòng)解的“中間軌道”法。所謂中間軌道，即比無(wú)攝運(yùn)動(dòng)軌道更接近真實(shí)軌道的一種包含部分?jǐn)z動(dòng)效應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌道。早年的月球中間軌道解（對(duì)應(yīng)Hill問題）就是一個(gè)成功的例子。同樣在建立人造地球衛(wèi)星的軌道解中，針對(duì)地球非球形引力位的特征，亦有過(guò)采用中間軌道解的工作，但這些軌道解實(shí)際上仍舊對(duì)應(yīng)一種包含了部分?jǐn)z動(dòng)效應(yīng)的變化橢圓，并無(wú)實(shí)質(zhì)性的內(nèi)涵，也沒有必要去稱其為非開普勒軌道。而且，無(wú)論是月球繞地球運(yùn)動(dòng)的Hill解，還是在地球衛(wèi)星軌道力學(xué)中所尋找出的中間軌道解，都難以得到直接應(yīng)用，還得借助變化橢圓軌道的處理方式去進(jìn)一步考慮“剩余”攝動(dòng)。因此，直到目前為止，在解決受攝二體問題中，開普勒軌道仍舊是最理想的參考軌道。

對(duì)于上述受攝二體問題（1），在實(shí)際問題處理中，經(jīng)常數(shù)變易轉(zhuǎn)化后的攝動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程中，第六個(gè)變量（或軌道根數(shù)）并未采用真正意義上的無(wú)攝運(yùn)動(dòng)的第六個(gè)積分常數(shù)τ（τ即運(yùn)動(dòng)天體過(guò)近星點(diǎn)的時(shí)刻），亦未采用，而是選擇了平近點(diǎn)角M。其原因很簡(jiǎn)單，一是因?yàn)樵谑軘z運(yùn)動(dòng)中，τ和M0已無(wú)實(shí)用意義，而平近點(diǎn)角M的幾何意義明確，引用方便；二是因?yàn)?/p>

它是兩個(gè)根數(shù)a和τ的組合，在相應(yīng)的攝動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程中出現(xiàn)的就不再涉及攝動(dòng)函數(shù)R中隱含a（通過(guò)M）的問題，因此時(shí)M本身是獨(dú)立的，這可簡(jiǎn)化攝動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程的具體表達(dá)形式。