4　深空探測器運動涉及的受攝限制性三體問題

4.1　圓型和橢圓型限制性三體問題[9]～[12]

一個N＝（2＋1）的三體系統中，有兩個大天體和一個小天體。由于小天體對兩個大天體的運動沒有影響，因此兩個大天體的運動即對應一個簡單的二體問題，其相對運動（或相對該兩個大天體質心的運動）的解是一圓錐曲線。既然討論構成一個系統的問題，當然排除拋物線和雙曲線的情況，即只有圓運動和橢圓運動，分別對應圓型和橢圓型限制性三體問題。對這樣一類限制性三體問題，就是在兩個大天體運動確定的條件下，研究第三個天體（小天體）的運動。

日—地—月三體系統，相應的三體質量分別記作m1，m2和m，由于月球質量（m）相對日、地質量（m1，m2）均較小，大約有m＝0.012m2，又地球繞日運動的橢圓軌道偏心率約為0.017，故作為一種近似，可將該系統中月球的運動處理成圓型限制性三體問題，如果處理成橢圓型限制性三體問題就更接近真實情況。又如主帶小行星（主帶即處于火星與木星軌道之間的小行星帶，這是太陽系小行星最集中的空間）的運動，主要受太陽和木星的引力作用，木星的軌道偏心率亦較小，因此也常把主帶小行星的運動處理成圓型限制性三體問題。

深空探測器的發射，如月球探測器，發射的初始階段是在近地空間軌道上運動，就相當于一個地球衛星，到達月球附近變為繞月飛行的月球衛星，其運動規律類似于地球衛星，而在地月間的飛行段（如果是地月系探測器，則主要是在地月空間的運行段）則對應一個地—月—探測器三體系統的典型的圓型或橢圓型限制性三體問題。又如火星探測器，從地球上發射的初始階段是在近地空間軌道上運動，亦相當于一個地球衛星；飛出地—月系后還未靠近火星引力范圍前，是一很長的受太陽引力制約的巡航段，對應一個以太陽作為中心天體的受攝二體問題；到達火星引力范圍附近就變為日—火—探測器三體系統的典型的圓型或橢圓型限制性三體問題。太陽系中還不乏類似的實例。

對于上述模型，即使最簡單的圓型限制性三體問題，就求解而言，至今亦未解決。只有當兩個大天體的相對運動速度與小天體的運動速度相比甚小時，可以近似地將兩個大天體看作“靜止”的，對于這樣一種狀態，被稱為限制性三體問題中的兩個不動中心問題，這種類型是可積的，相應的解也已全部給出，但這種簡單的力學模型無助于太陽系動力學和深空探測器軌道力學問題的解決。

4.2　限制性N體問題和受攝限制性三體問題模型[13]，[14]

這里N≥3，即該系統中有n個大天體和一個小天體，例如上面提到的主帶小行星的運動。為了更真實地體現這類小行星的運動及其空間分布的特征（Kirkwood空隙），在考慮主要受力因素（太陽和木星的引力作用）外，進一步考慮土星和火星的引力作用，就在形式上構成一個限制性五體（4＋1）問題。月球探測器除受地、月的引力作用外，還有太陽引力的顯著影響，它就對應一個形式上的限制性四體（3＋1）問題。在上述系統中，不管大天體有多少（即N的數值不同），無論是主帶小行星的運動，還是月球探測器的運動，都是在相應大天體的運動確定情況下來研究小天體的運動。但是，在上述提到的兩個動力學實例中，如果第三、第四個大天體的引力作用不足以明顯改變原限制性三體問題模型的結果，那么即可將其作為原限制性三體問題模型的一些小擾動，這就相當于引進一個受攝限制性三體問題模型。事實上，對于上述兩個實例，在研究過程中（不管是主帶小行星的運動，還是月球探測器的運動）往往就是這樣處理的，在當今對深空探測器的發射軌道和某些特殊目標軌道（如暈軌道）的設計中，同樣是這樣處理的，也就是充分利用限制性三體問題模型所能提供的重要信息。而若形式上采用限制性四體或五體問題模型，相應的三個或四個大天體的運動問題本身就未解決，這類看似更精確或吸引人的模型，卻無助于對限制性問題的解決，至少目前如此。因此，在現實的太陽系中，處理大小天體和人造天體的軌道運動問題時，除上述受攝二體問題模型外，就是受攝限制性三體問題模型，特別是受攝圓型限制性三體問題模型。

4.3　限制性（n＋k）體問題[15]，[16]

這是一個N＝n＋k體系統，其中包含n個大天體和k個小天體，但特指n≥2和k≥2的系統，若k＝1則退化為上一節歸納的兩種系統之一。在這一N＝n＋k系統中有n個大天體和k個小天體，因此它實際上等價于兩個問題，即一個一般n體問題和一個在n個大天體（運動狀態已知）引力作用下的k個小天體的運動問題。盡管k個小天體的質量相對大天體而言很小，它們不會影響大天體的運動，但在某些系統中，k個小天體之間的距離卻很近，相互之間的引力作用需要考慮，否則就變為k個限制性（n＋1）體問題。

關于限制性（n＋k）體問題，在太陽系中也有相應的力學背景。例如，主帶小行星群中兩顆小行星之間的距離可以很近，需要考慮它們之間的引力作用，那么太陽、木星和這兩顆小行星就構成一個限制性（2＋2）體問題；在地球赤道上空一個定點處發射兩顆以上幾噸重的地球“靜止”衛星，相互之間的距離若為百米量級，在精度要求較高的問題中就需要考慮它們之間的相互引力作用，在此情況下，作為橢球體的地球（相當于一個質量密度均勻的球體和橢球體赤道的“多余”部分，視為兩個大天體）和兩個衛星同樣構成一個限制性（2＋2）體問題。在深空探測器的發射中或許也會出現這樣的狀態，如在某個特殊位置附近定點多個探測器，相互之間的引力作用又不可忽視，在此情況下與兩個相應的大天體就構成上述限制性（2＋k）體問題。

4.4　廣義限制性三體問題

在牛頓引力作用下的限制性三體問題中，如果一個大天體有較強的輻射，還需要考慮該大天體的引力后牛頓效應（即對牛頓引力理論的修正），那么不妨稱其為廣義的限制性三體問題。在這種情況下，如果第二個大天體的運動不受上述因素影響（嚴格地說是影響小到可以忽略），那么問題就歸結為研究小天體在運動過程中增加一種非引力和非牛頓引力影響，本書將不涉及這類問題。