1.4　月球坐標系統

就月球探測器的運動而言，將涉及三類月心坐標系，即月固坐標系、月心赤道球坐標系和月心黃道坐標系。

1.4.1　三個月心坐標系的定義[6]

與地球赤道面在空間的擺動類似，月球赤道面亦有此擺動現象，即物理天平動，它同樣引起月心赤道坐標系的各種不同定義，這將涉及環月衛星運動的軌道確定和星下點（即衛星與月心連線在月球表面的交點）位置的確定。

（1）月固坐標系O-XYZ

坐標原點O是月心，而Z軸方向是月球的自轉軸方向，XY坐標面即過月心并與自轉軸方向垂直的月球赤道面，X軸指向月球上的“格林尼治”子午線方向：基本平面（XY坐標面）與過月面上Sinus Medii子午面的交線方向，即月球赤道面上指向地球慣性主軸的方向。顯然，在這種坐標系中，相應的月球引力位亦是確定的。各種月球引力場模型及其參考橢球體也都是在這種坐標系中給定的，它們同樣是一個自洽系統。

（2）月心赤道坐標系O-xyz

此類坐標系又有兩種定義。

一種定義是歷元（J2000.0）月心天球坐標系，該坐標系的原點O同樣是月心，但xy坐標面卻是歷元（J2000.0）時刻的地球平赤道面，x軸方向是該歷元的平春分點方向。這一坐標系的選擇，在深空探測中便于將地球坐標系與探測目標天體坐標系（這里指的就是月球坐標系）相聯系，詳見下面第1.5節的內容。

另一種定義與歷元（J2000.0）地心天球坐標系類似，該坐標系的xy坐標面就是歷元（J2000.0）時刻的月球平赤道面，x軸方向是該赤道面上的平春分點方向，這一方向是由月球繞地運行軌道升交點的平黃經Ωm確定的，見后面給出的圖1.4。與處理地球衛星軌道問題類似，這是處理環月探測器軌道問題中必須采用的坐標系，但為了區別上述J2000.0月心天球坐標系，故稱其為歷元（J2000.0）月心平赤道坐標系，或簡稱J2000.0月心赤道坐標系。與地心天球坐標系類似，它也是一個在一定意義下（即消除了坐標軸因月球赤道面擺動引起的轉動）月心“不變”的坐標系，它可以在同一個坐標系中表達不同時刻的探測器軌道，同樣，在該坐標系中，月球非球形引力位也是變化的。

（3）月心黃道坐標系O-x′y′z′

該坐標系的原點O仍是月心，和地心黃道坐標系只是一個平移關系。x′y′坐標面是歷元（J2000.0）時刻的黃道面，x′軸方向與上述天球坐標系O-xyz的指向一致，即該歷元的平春分點方向。

1.4.2　月球物理天平動

（1）兩種物理天平動的表達形式

月球的物理天平動同樣是一個復雜的定點轉動問題。與地球自轉的歲差章動類似，多年來的研究，曾先后給出過多種有關物理天平動的理論，幾乎都以物理天平動的經度分量、傾角分量和節點分量（τ，ρ，σ）的分析解來表達，這三個量就將月球的平赤道與真赤道以分析形式相聯系。

對于平赤道，根據Cassini定律，月球軌道、黃道與月球平赤道交于一點。由于天平動的原因，月球真赤道將通過（τ，ρ，σ）三個量在空間與平赤道聯系起來，見圖1.4。圖中各量的關系如下：

其中Im，Ωm，Lm分別為月球平黃赤交角、軌道升交點平黃經和月球平黃經。

美國噴氣推進實驗室（JPL）的數值歷表（如DE405）卻以另一種形式表達了月球物理天平動，它是直接給出另三個歐拉角（Ω′，is，Λ）每天的具體數值（見圖1.5），可用于計算月球衛星在月固坐標系中的精確位置。

上述兩種物理天平動的表達形式，可通過圖1.5來表明它們之間的關系。圖中xb是月固坐標系的X軸指向，即圖1.4中的ξ′方向。三個歐拉角（Ω′，is，Λ）在圖中已表明清楚，不再加以說明，ε是地球的平黃赤交角。

根據月球自轉理論，給出的天平動三個參數（τ，ρ，σ）的分析表達式，類似于地球的章動序列，亦包含幾百項，最大的周期項振幅超過100角秒（100″），但沒有地球赤道擺動中的長周期項（即周期近26000年的歲差項）。月球自轉理論越來越精確，給出的分析表達式與DE405高精度數值歷表也越來越接近，相差不到1″。但若精度要求高，分析表達式取項太多，不便應用，而數值歷表似乎簡潔易用，但它不便于對某些問題的分析。下面將分別作一比較，從而可以表明，在不同問題中可采用不同的表達形式，即分析解（τ，ρ，σ）或數值歷表（Ω′，is，Λ）。通過比較證實，在涉及弧段不太長（1～2天或更長些）的情況下，探測器定軌或預報，無論是采用數值法還是分析法，涉及物理天平動問題，均可采用下一小節給出的Eckhardt分析解的前四項簡化表達式（1.84）。

（2）兩種物理天平動表達形式的比較

下面首先列出兩種表達式（τ，ρ，σ）的前幾項，作為與數值歷表（Ω′，is，Λ）的比對依據。其一是Hayn結果的前三項[11]：

其二是Eckhardt結果的前四項[12]：

（1.84）式中τ包含了自由項214″.170。兩式中的I＝1°.542461＝5552″.86即前面（1.81）式中已出現過的月球的平黃赤交角。l，l′，F和D各為月球的平近點角、太陽的平近點角、月球的平升交點角距（即F＝l＋ωm，ωm是月球軌道的近地點幅角），和日月平角距，它們的計算公式如下：

其中角度F和D在前面地球坐標系涉及的計算公式中出現過，見（1.55）和（1.56）式。

下面將采用（τ，ρ，σ）的分析表達式（1.83）和（1.84）與DE405數值歷表值（Ω′，is，Λ）通過坐標轉換來進行比較。（Ω′，is，Λ）涉及月心天球坐標系O-xeyeze，這里所說的月心天球坐標系中，xeye坐標面即前面定義的J2000.0地球平赤道面，為了區別起見，將該坐標系中的坐標矢量記做，月固坐標系O-XYZ（即圖1.3中的O-ξ′η′ζ′）中相應的坐標矢量記做。對這兩種坐標系，分別采用上述兩種天平動表達形式（數值和分析）建立坐標轉換關系，有

其中兩個轉換關系分別由下兩式表達：

（1.89）式的第一行是按圖1.5給出的，而第二行是按圖1.4給出的，兩者實為同一轉換關系。上述（1.88）和（1.89）式分別給出的兩種轉換矩陣之間的差別取決于（τ，ρ，σ）的取項多少，分別計算2003年11月1日0時，2004年6月15日0時和2008年1月1日0時月球表面一點的空間坐標轉換到月固坐標系中的位置，結果表明，兩種轉換之差為千米級，相應轉換矩陣元素的最大差別達到10-3。具體采用哪一種轉換關系應根據不同問題的具體要求而定。

根據上述比較可知，直接采用分析解的簡化表達式，在某些問題中是不能滿足精度要求的。但在考慮物理天平動對環月探測器軌道的影響時，在一定精度要求的前提下，則無妨，因為它是通過非球形引力位（最大的J2項僅為10-4的量級）來體現的。定軌或預報中涉及軌道外推弧段為102時（對低軌探測器為1～2天的間隔），要保證10米級甚至米級精度，采用Eckhardt的前四項表達形式（1.84）是可以達到的。

鑒于上述比較結果，加上要建立月球衛星軌道理論，了解軌道變化的規律，或直接反映月球衛星相對月心坐標系的幾何狀況，又必須采用月心赤道坐標系，而不是月心地球赤道坐標系（即前面定義的J2000.0月心天球坐標系），那么采用（τ，ρ，σ）的分析表達式來建立歷元月心平赤道坐標系O-xyz與月固坐標系（對應真赤道）O-ξ′η′ζ′之間的關系，顯然是可取的。而若要通過歷元月心平赤道坐標系O-xyz與月心天球坐標系O-xeyeze之間的轉換關系（即利用高精度的Ω′，is，Λ值）來計算月球衛星在月固坐標系中的精確位置也很簡單，有

是通過定軌或預報給出月心平赤道坐標系中月球衛星的位置矢量。這里變換矩陣（N）并不涉及物理天平動的表達形式，轉換的精度只取決于月球衛星定軌或預報的精度。

1.4.3　三個月心坐標系之間的轉換關系

（1）月固坐標系O-XYZ與月心赤道坐標系O-xyz之間的轉換

對于月球衛星的運動，要構造相應的軌道分析解，就不必像對待人造地球衛星那樣，為了避免歲差章動的影響，引進混合形式的軌道坐標系[13]～[15]，完全可以在歷元月心平赤道坐標系中考慮問題。該坐標系的xy坐標面即采用歷元（如J2000.0）平赤道，x軸方向采用相應的平春分點方向，該方向可由月球軌道升交點的平黃經Ωm來確定。在分析法定軌和數值法定軌以及預報中均采用這種統一坐標系，只需要給出相應的由物理天平動引起的坐標系附加攝動即可，而這種附加攝動并不復雜，作者已經具體給出[16]。為此，首先要建立歷元月心赤道坐標系與月固坐標系之間的轉換關系。

分別記月心赤道坐標系（即歷元月心平赤道坐標系）O-xyz和月固坐標系（對應真赤道）O-ξ′η′ζ′中月球衛星的坐標矢量為和，兩者之間的轉換關系為

其中Rz（-Ωm），Rx（-I），Rz（-σ），Rx（I＋ρ），Rz（-（φ＋τ-σ））是正交矩陣。在建立月球衛星軌道解時，涉及坐標系附加攝動問題，需要給出上述轉換關系的具體表達形式。略去推導過程，且僅保留τ，σ，ρ的一階量，可得

若記（1.84）式為

且取合理近似：

并利用下列近似：

可進一步將矩陣（A）中的元素aij簡化如下：

（2）月心天球坐標系與地心天球坐標系之間的轉換

由于目前對月球探測器的測控都是由地面測控站來完成的，這就涉及歷元地心天球坐標系，同時出現了歷元地心天球坐標系、歷元月心天球坐標系和歷元月心赤道坐標系。它們之間的轉換，會涉及月球的地心坐標，這同樣可由兩種途徑獲得，一種是高精度的數值歷表（如JPL歷表），另一種即精度較低的分析歷表，或精度稍高一些的半分析歷表。

月球在J2000.0地心黃道坐標系中的平均軌道根數為

上式中出現的t和d分別為由標準歷元J2000.0起算的世紀數和儒略日，定義在前面已介紹過，不再重復。

由于月球軌道攝動變化較大，最大的周期項振幅可達2×10-2，下面給出考慮了主要周期項、位置精度可達10-3的計算方法。

首先計算月球的地心黃道坐標（λ，β，π），公式如下：

由上述（λ，β，π）計算月球的地心赤道坐標

這是瞬時平赤道坐標系中的位置矢量。相應的歷元J2000.0地心平赤道坐標系中的位置矢量需經歲差改正，有

上述各式中出現的t，與前面（1.97）式中出現的t意義相同。