1.3　地球坐標系統[2]，[6]～[10]

1.3.1　動力學參考系的實現與J2000.0平赤道參考系

當前的觀測數據，如太陽系行星歷表等，都是在國際天球參考系ICRS（International Celestial Reference System）中描述的，該參考系的坐標原點在太陽系質心，其坐標軸的指向由一組精確觀測的河外射電源的坐標實現，稱作國際天球參考架（ICRF），而具體實現是使其基本平面和基本方向盡可能靠近J2000.0平赤道面和平春分點。由河外射電源實現的ICRS，坐標軸相對于空間固定，所以與太陽系動力學和地球的歲差、章動無關，也脫離了傳統意義上的赤道、黃道和春分點，因此更接近慣性參考系。

引入ICRS和河外射電源實現參考架之前，基本天文參考系是FK5動力學參考系（嚴格地說是由動力學定義，并考慮了恒星運動學改正的參考系），基于對亮星的觀測和IAU 1976天文常數系統，參考系的基本平面是J2000.0的平赤道面，X軸的方向為J2000.0平春分點。很明顯，這樣定義的動力學參考系是與歷元相關的。最新的動力學參考系的實現仍建立在FK5星表的基礎上，相應的動力學參考系即J2000.0平赤道參考系，通常就稱其為J2000.0平赤道坐標系。考慮到參考系的延續性，ICRS的坐標軸與FK5參考系在J2000.0歷元需盡量地保持接近。ICRS的基本平面由VLBI觀測確定，它的極與動力學參考系的極之間的偏差大約為20毫角秒。ICRS的參考系零點（零點的含義見下面第1.3.2小節）的選擇也是任意的，為了實現ICRS和FK5的連接，選擇了23顆射電源的平均赤經零點來作為ICRS的零點。ICRS和FK5動力學參考系的關系由三個參數決定，分別是天極的偏差ξ0和η0，以及經度零點差dα0，它們的值分別為：

于是ICRS和J2000.0平赤道坐標系的關系可以寫為：

和是同一個矢量在不同參考系中的表示，其中常數矩陣B稱為參考架偏差矩陣，由三個小角度旋轉組成。

J2000.0平赤道坐標系，正是當今航天器（特別是地球衛星）軌道力學中普遍采用的一種地心天球參考系GCRS，如無特殊要求，上述參考架偏差就不再提及。

1.3.2　中間赤道及相應的三個基準點

為了更清楚地刻畫天球參考系與地球參考系之間的聯系，下面引進中間赤道的概念。天軸是地球自轉軸的延長線，交天球于天極。由于進動運動，地球自轉軸在天球參考系CRS中的指向隨時間而變化，具有瞬時的性質，從而天極和天赤道也具有同樣的性質。為了區別，IAU2003規范特稱現在所說的這種具有瞬時性質的天極和天赤道為中間赤道和天球中間極CIP（Celestial Intermediate Pole）。

為了在天球參考系中進行度量，需要在中間赤道上選取一個相對于天球參考系沒有轉動的點作為零點，稱其為天球中間零點CIO（Celestial Intermediate Origin）。同樣地，為了在地球參考系中進行度量，需要在中間赤道上選取一個相對于地球參考系沒有轉動的點作為零點，叫作地球中間零點TIO（Terrestrial Intermediate Origin）。CIO是根據叫作天球參考架的一組類星體選定的，接近國際天球參考系的赤經零點（春分點），TIO則是根據叫作地球參考架的一組地面測站選定的，接近國際地球參考系的零經度方向或本初子午線方向（習慣稱為格林尼治方向）。右圖1.3所畫圓周即表示地心參考系中的中間赤道，E為地球質心，γ為春分點。

在天球參考系中觀察時，中間赤道與CIO固結，叫作天球中間赤道，TIO沿赤道逆時針方向運動，周期為1恒星日。反之，在地球參考系中觀察時，中間赤道與TIO固結，叫作地球中間赤道，CIO以同樣周期沿赤道順時針方向運動。這兩種觀察所反映的都是地球繞軸自轉的運動，CIO和TIO之間的夾角是地球自轉角度的度量，叫作地球自轉角ERA（Earth Rotating Angle）。

1.3.3　三個地心坐標系的定義

（1）地心天球坐標系O-xyz

此坐標系實為歷元（J2000.0）地心天球坐標系，即前面提到的J2000.0平赤道參考系，簡稱地心天球坐標系。其坐標原點O是地心，xy坐標面是歷元（J2000.0）時刻的平赤道面，x軸方向是該歷元的平春分點，它是歷元J2000.0的平赤道與該歷元時刻的瞬時黃道的交點。這是一個在一定意義下（即消除了坐標軸因地球赤道面擺動引起的轉動）的“不變”坐標系，它可以將不同時刻運動天體（如地球衛星）軌道放在同一個坐標系中來表達，便于比較和體現天體軌道的實際變化，已是國內外習慣采用的空間坐標系。注意，在該坐標中，地球非球形引力位是變化的。

（2）地固坐標系O-XYZ

該坐標系即地球參考系（Terrestrial Reference System—TRS），是一個跟隨地球自轉一起旋轉的空間參考系，俗稱地固坐標系。在這個坐標系中，與地球固體表面連接的測站的位置坐標幾乎不隨時間改變，僅僅由于構造或潮汐變形等地球物理效應而有很小的變化。

與ICRS要由ICRF具體實現一樣，地球參考系也要由地球參考框架（TRF）實現。地球參考框架是一組在指定的附著于TRS（笛卡爾、地球物理、測繪等）坐標系中具有精密確定坐標的地面物理點。最早的地球參考框架是國際緯度局（International Latitude Service）根據1900—1905五年的觀測提出的國際習用原點CIO（Conventional International Origin）定義了第三軸的指向，即原來的地球平均地極指向。該原點的縮寫名稱CIO已被現在的天球中間零點CIO所占用，不再采用這個縮寫的國際習用原點稱謂，請讀者注意。

在上述定義下，地固坐標系的原點O是地心，XY坐標面接近1900.0平赤道面[2]，X軸指向接近參考平面與格林尼治子午面交線方向，即本初子午線方向，亦可稱其為格林尼治子午線方向。各種地球引力場模型及其參考橢球體也都是在這種坐標系中確定的，它們應該是一個自洽系統。根據目前狀況，如不加說明，本書所提及的地固坐標系均符合WGS（World Geodetic System）84系統。對于該系統，有

其中GE是地心引力常數，ae是參考橢球體的赤道半徑，f是該參考橢球體的幾何扁率。

在地固坐標系中，測站坐標矢量的三個直角坐標分量Xe，Ye，Ze與球坐標分量（H，λ，φ）之間的關系為

其中

ae是相應的參考橢球體的赤道半徑，f是該參考橢球體的幾何扁率。球坐標的三個分量（H，λ，φ）分別為測站的大地高、大地經度和大地緯度（亦稱測地緯度），有

（3）地心黃道坐標系O-x′y′z′

該坐標系的原點O仍是地心，和日心黃道坐標系只是一個平移關系。x′y′坐標面是歷元（J2000.0）時刻的黃道面，x′軸方向與上述天球坐標系O-xyz的指向一致，即該歷元的平春分點方向。

1.3.4　地固坐標系O-XYZ與地心天球坐標系O-xyz之間的轉換

1.3.4.1　轉換（Ⅰ）——IAU1980規范下的轉換關系

分別用和表示探測器在地心天球坐標系O-xyz和地固坐標系O-XYZ中的位置矢量。探測器的位置矢量在這兩個坐標系之間的轉換關系為

其中坐標轉換矩陣（HG）包含了四個旋轉矩陣，有

這里（PR）是歲差矩陣，（NR）是章動矩陣，（ER）是地球自轉矩陣，（EP）是地球極移矩陣。它們分別由下列各式表達：

（1.31）式中的xp，yp是極移分量；（1.32）式中的格林尼治恒星時SG由下式計算：

這里的μ和Δμ是赤經歲差和章動，J2000.0系統中的格林尼治平恒星時由下式計算：

式中引數t是UT1時間，但計算其他天文量（歲差章動等）時，該引數t則為TDT時間。

（1.34）式中的歲差常數ζA，zA和θA的計算公式如下：

θA是赤緯歲差，相應的赤經歲差μ（或記作mA）為

（1.33）式中的ε是平黃赤交角。IAU（1980）章動序列給出的黃經章動Δψ和交角章動Δε的計算公式，包括振幅大于0″.0001的106項。考慮到一般問題涉及的軌道精度要求，只要取振幅大于0″.005的前20項（按大小排列）即可，由于是周期項（最快的是月球運動周期項），沒有累積效應，故小于0″.005的項引起的誤差只相當于地面定位誤差為米級，對于時間而言的差別小于0s.001。取前20項的公式如下：

相應的赤經和赤緯章動Δμ和Δθ為

其中平黃赤交角的計算公式如下：

（1.40）式中涉及的與太陽和月球位置有關中的5個基本幅角αi（i＝1，…，5）的計算公式為

其中1r＝360°，章動序列前20項的有關系數見表1.2。如果按前面所說的米級精度考慮，公式（1.40）右端的A1j和B1j除表1.2中列出的A11和B11外亦可略去，但具體工作中的取項多少，不僅需要符合精度要求，還應考慮到相應軟件的功能和適應性，如功能的擴張等因素。上述計算章動量的各式（1.40）～（1.43）中出現的t，即（1.37）式中所定義的世紀數T，但對應的是TDT時間。

上述內容中涉及的各旋轉矩陣Rx（θ），Ry（θ），Rz（θ）的計算公式見（1.20）～（1.22）式。注意，旋轉矩陣Rx（θ），…是正交矩陣，有。

1.3.4.2　轉換（Ⅱ）——IAU2000規范下的轉換關系

在IAU2000規范下，地心天球參考系（GCRS）到國際地球參考系（ITRS）的轉換過程由下式表述：

其中［GCRS］和［ITRS］各對應前面IAU1980規范下的地心天球坐標系和地固坐標系。為了表達的連貫性，仍采用同一位置矢量在兩個坐標系中的符號和來表達變換關系，即

M（t）是歲差、章動矩陣，R（t）是地球自轉矩陣，W（t）是極移矩陣。

關于歲差、章動矩陣M（t），基于春分點的轉換關系，歲差、章動矩陣可以寫為：

其中N（t），P（t）和B分別為章動、歲差和參考架偏差矩陣，其中參考架偏差矩陣B已在前面有過說明，它是一個旋轉量很小的常數矩陣，在直接引用J2000.0平赤道坐標系作為地心天球坐標系時，就作為單位陣略去，不再考慮，如有特殊需要，考慮它也極其簡單，見（1.24）式。于是有

各矩陣的計算方法由下面分別給出。

（1）歲差、章動量的計算

在第24屆國際天文聯合會大會（2000年8月，Manchester）上通過決議，從2003年1月1日起正式采納IAU2000歲差—章動模型取代IAU1976歲差模型和IAU1980章動理論。關于歲差章動的計算就是基于IAU2000模型，根據不同精度要求，又分為IAU2000A模型和IAU2000B模型，前者精度為0.2mas（毫角秒），后者的精度稍低，為1mas，下面對此作一簡要介紹。

關于歲差量的計算，由標準歷元J2000.0到計算歷元，平赤道坐標系之間轉換的三個赤道歲差參數ζA，zA，θA，由下式計算：

其中t是自標準歷元J2000.0起算的計算歷元（TT時刻）的儒略世紀數，即

關于章動量的計算，IAU2000模型的黃經章動Δψ和交角章動Δε的計算公式如下：

該式中t的意義同前，見（1.49）式，Δψp，Δεp是行星章動的長周期項，有

章動序列中的幅角αi同樣表示成5個基本幅角的線性組合形式：

式中nik是整數，5個與太陽、月亮位置有關的基本幅角Fk由下式表達：

這5個與太陽、月球位置有關的基本幅角Fk（k＝1，…，5），分別為月球的平近點角、太陽的平近點角、月球的平升交點角距、日月平角距和月球軌道升交點平黃經。這5個基本幅角Fk（k＝1，…，5）就是前面IAU1980章動序列中出現的5個基本幅角αi（i＝1，…，5），見（1.43）式。

為了比較，對應IAU1980章動序列的前20項系數，同樣列出IAU2000B章動模型前20項系數的主要部分于表1.3：

（2）歲差矩陣P（t）的計算

1）經典的三次旋轉

其中各旋轉角的計算公式見（1.48）式。

2）歲差矩陣P（t）的四次旋轉

其中后三個旋轉角的計算公式如下：

ε0的計算見（1.63）式。（1.60）式中t的意義同前，見（1.49）式。

（3）章動矩陣N（t）的計算

其中Δμ＝ΔψcosεA，Δθ＝ΔψsinεA是赤經和赤緯章動，Δψ是黃經章動，Δε是交角章動，εA為瞬時平赤道面與黃道面的交角，稱為平黃赤交角，計算公式為

ε0即歷元（J2000.0）平黃赤交角。

（4）地球自轉矩陣R（t）的計算

這與IAU1980規范有差別，涉及時刻t的格林尼治恒星時SG的計算，前面已有介紹，IAU2000規范中格林尼治真恒星時GST與地球自轉角ERA有嚴格區別（見圖1.3）。在此前提下，矩陣R（t）的計算公式變為如下形式：

GMST，EE分別為格林尼治平恒星時和二分差（equation of the equinoxes），計算公式如下：

（1.65）式中的θ（UT1）即地球自轉角ERA，它是世界時UT1的線性函數，計算公式為

其中d為自標準歷元J2000.0起算的世界時儒略日數（對應UT1時刻），即

（1.66）式右端求和項的幅角和振幅列于下表1.4：

該表中的αk與（1.50）式中的αi同類型，涉及的基本幅角Fk（F，D，Ω），見（1.55）～（1.57）式。

與地球自轉角不同，格林尼治真恒星時GST是從真春分點起量的，它與ERA的關系為

其中EO稱為零點差，與歲差、章動在中間赤道上的分量有關。根據IAU 2006/2000A歲差-章動模型，零點差的表達式（包含在1975—2025年之間，所有大于0.5μas的項）為

其中t是從J2000.0起算的儒略世紀數，參數αk和振幅Ck見表1.4。

（5）極移矩陣W（t）的計算

其中xp，yp是天球中間極CIP在地球參考系ITRS中的兩個極移分量，s′稱為地球中間零點TIO的定位角，它提供TIO在CIP赤道上的位置，是xp，yp的函數：

s′（t）無法事先獲得，但其量級很小，可以用下列線性公式作為其近似：

其中t的定義同前，即計算時刻距標準歷元J2000.0的儒略世紀數。

1.3.5　IAU1980規范與IAU2000規范之間的對應關系

上述IAU2000新規范與IAU1980規范之間，除歲差章動等有關參數有較小差別外，地球坐標系與天球坐標系的定義與相關符號的采用也與在老規范前提下的習慣用法有所差別，下面厘清兩者相關計算公式之間的對應關系。

在IAU2000規范中，天球參考系（celestial reference system——CRS）到地球參考系（terrestrial reference system——TRS）的轉換關系為

其中M（t）是歲差、章動矩陣，R（t）是地球自轉矩陣，W（t）是極移矩陣。而在IAU1980規范下的習慣用法，即記衛星在地球參考系和天球參考系的位置矢量分別為和，則上述轉換關系（1.74）可類似地寫成下列形式：

應有如下的對應關系：

根據上述比較不難看出，關于歲差（按三次旋轉考慮）、章動和地球自轉（兩個規范的格林尼治恒星時SG稍有差異）三個相關矩陣，除相應的參數稍有微小差別外，轉換過程和計算公式完全相同；唯有極移矩陣的表達形式有差別，按IAU2000規范，極移矩陣W（t）應由前面（1.71）式表達，即

除增加一個微小的轉動矩陣Rz（s′）外，剩下兩個轉動矩陣Rx（-yp）Ry（-xp）卻與上述（1.80）式的轉動次序相反。但因為極移量xp，yp很小，這樣的轉動次序改變引起的差別應該比極移量更小，最終的轉換（指地球參考系與天球參考系的轉換）結果不會有明顯差別，作者已通過實際算例得到證實。

不僅地球自轉矩陣如此，IAU2000與IAU1980兩個規范，在地球參考系與天球參考系的位置矢量與之間的完整轉換中，亦無明顯差別。如新老規范對章動序列均取到前20項，兩個規范計算出的格林尼治恒星時與標準值（年歷所載）之差都不超過0s.001，相應的位置量轉換（包括IAU2000規范中的兩種歲差矩陣的轉換方法）之差都在米級以內。

1.3.6　關于地球赤道面擺動引起坐標系選擇的復雜性問題

對人造地球衛星的軌道運動而言，必然涉及地固坐標系與地心天球坐標系，而地球赤道面的擺動，就導致在相關領域中給坐標系的選擇帶來一些麻煩甚至混亂。關于這一問題，將在后面第4章的第4.4.5小節中詳細論述。

1.3.7　一些與衛星測量、姿態以及軌道誤差表達有關的坐標系

對于衛星測量、姿態以及軌道誤差的描述等，有其特定的要求，需要定義相應的空間坐標系。除此之外，還有衛星星下點（即衛星-地心的連線與地球表面的交點）位置的計算等，將涉及具體坐標系的定義和衛星軌道，故在后面第2章建立軌道概念后再具體介紹。