第四節 電阻、電感和電容

交流電路中的負載，除耗能元件電阻之外，還有儲能元件電感和電容。電感線圈通?？梢院雎运碾娮?，所以把電感線圈接入直流電路中相當于短路。電容器的兩極板之間是絕緣的，所以，電容器接入直流電路中，僅在接通的瞬間有短暫的充電電流，而穩態時相當于斷路。但是，把電感線圈或電容器接入交流電路中，情況就不一樣了。因此，在交流電路中起作用的共有三種參數：電阻R、電感L和電容C。本節將對這三種基本元件在交流電路中的作用分別一一概述；并對電容器在直流電路中的充電和放電過程加以討論。

一、電阻元件

如圖2-4所示，假定交變電壓u與交變電流i的正方向相同，根據歐姆定律得

即電阻元件上電壓、電流的瞬時值之間存在線性關系。

將式（2-8）兩邊乘以i并對時間變量進行積分，得

式（2-9）表示電能全部消耗在電阻上，轉換為熱能，故電阻是耗能元件。

二、電感元件

1．電磁感應定律

奧斯特于1820年發現了電流的磁效應，即電流產生磁場；法拉第于1831年發現它的逆效應——電磁感應，即利用運動的磁場來獲得電流。運動的磁場也就是變化的磁場，當導體回路所包圍的磁通發生變化時，回路中會產生感應電動勢和感應電流；或者，導體與磁場之間有相對運動致使導體切割磁力線，也能在導體中產生感應電動勢。這兩種情況，本質相同，統稱為電磁感應。電磁感應定律是近代發電機的理論基礎。

有普遍意義的麥克斯韋電磁感應定律具有下列簡單的數學形式：

式中，N為密繞線圈的匝數；Φ為每匝線圈包圍的磁通，單位為韋伯（Wb），簡稱韋，1Wb=1V·s；為Φ的時間變化率。

式（2-10）中負號的含義如下：

習慣上約定：感應電動勢為正值時，表示回路中磁通方向與電動勢方向符合右螺旋關系，如圖2-5a所示，此時感應電動勢是由于原磁通減少（即＜0）而產生的；感應電動勢為負值時，表示回路中磁通方向與電動勢方向不符合右螺旋關系，如圖2-5b所示，此時感應電動勢是因原磁通增加（＞0）而產生的。

設線圈回路是閉合的，e將引起感應電流i，i與e同向。在圖2-5b所示原磁通增加的情況下，既然i與原磁通不符合右螺旋關系，那么i的磁通就與原磁通反向，對原磁通的增加起阻礙作用；反之，在圖2-5a所示原磁通減少的情況下，感應電流i的磁通與原磁通方向相同，即阻礙原磁通的減少。綜上所述，感應電動勢引起的感應電流總是要阻礙回路包圍的原磁通的任何變化，這就是式（2-10）中負號的含義。

麥克斯韋電磁感應定律可簡述如下：回路中的感應電動勢等于回路包圍的磁通鏈（NΦ）變化率的負值（采用國際單位制）。

2．自感

如果通入線圈的電流發生變化，線圈包圍的磁通也隨之變化，變化的磁通將在線圈中引起感應電動勢，這種由回路自身的電流變化引起的電磁感應現象稱為自感應現象。

設通電線圈匝數為N，每匝線圈包圍的磁通為Φ，若線圈是密繞的，則磁通鏈Ψ（Ψ=NΦ）與電流i的比值稱為線圈的自感系數，簡稱自感，又稱電感，記為

式中，磁通鏈Ψ的單位為Wb；電流i的單位為A；電感L的單位是=Ω·s，稱為亨和（H），簡稱亨。

如果一個線圈通過1A電流，產生的磁通鏈為1Wb，那么這個線圈就具有1H的電感。電感較小的單位有

1mH=10^-3H,1μH=10^-6H

由式（2-11）得

應用麥克斯韋電磁感應定律，自感電動勢為

式（2-13）是電工學的一個重要公式。應用此式時，規定自感電動勢e_L的正方向與電流i的正方向一致。式（2-13）中負號表示：當電流增加時，即＞0,e_L＜0，此時自感電動勢的實際方向與電流反向；當電流減小時，即＜0,e_L＞0，此時自感電動勢的實際方向與電流同向。若電流是穩恒的，則=0,e_L=0，此時沒有自感電動勢。

3．交流電路中的電感元件

設圖2-6a所示的電感線圈只具有電感L（其電阻忽略不計），圖中各交變量的正方向一般按下述原則選定：電源電壓u的正方向可以任意選定（在此圖中，當u為正值時，上端的電位高、下端的電位低），電流i的正方向與電壓u的正方向一致，電流i與它產生的磁通φ二者的正方向之間應符合右螺旋定則；規定自感電動勢e_L的正方向與磁通φ的正方向之間也符合右螺旋定則。因此，e_L的正方向與i的正方向一致。

應用基爾霍夫電壓定律（如按順時針循行方向），得

e_L=-u或u+e_L=0

于是

式（2-14）就是電感元件上電壓與電流的瞬時值之間的基本關系（導數關系式）。怎樣理解這個關系式呢？一是理解為交變電流i流過電感L時，使電感兩端出現交變的電感電壓降：；另一是反過來理解，就是說為了驅使交變電流流過電感L，必須外加一個交變電壓u，這個電壓應與交變電流在線圈中引起的自感電動勢e_L相平衡：u=-e_L。這兩種理解實質上是一回事。

將式（2-14）兩邊乘以idt，并求積分，得

式中，為磁場能量。

當電感元件中的電流i增大時，磁場能量增大，此時電流能量轉換為磁場能量，即電感元件從電源中吸取能量；當電流i減小時，磁場能量減小，此時磁能轉換為電能，即電感元件向電源輸送能量。綜上，電感是儲能元件。

三、電容

1．電容器和電容

電容器是儲存電荷的容器，它在電路中也是一種儲能元件。凡是用電介質隔開而又互相靠近的兩塊導體，即構成了一個電容器，這兩塊導體稱為電容器的極板。將電容器的兩塊極板分別接到直流電源的正、負極上，如圖2-7所示。在電源電壓U的作用下，就會有電荷向電容器的極板移動，形成暫時的電流。由于極板間相互絕緣，電荷不能通過，故電荷會聚積在電容器的極板上，與電源正極連接的極板上聚積正電荷，與電源負極連接的極板上聚積等量的負電荷。這個電荷的聚積過程稱為電容器的充電過程；反之，電容器極板上電荷的釋放過程稱為電容器放電過程。

電容器充電過程中，由于極板上聚積著等量的正、負電荷，使極板間建立了電場，產生了電壓u_C，u_C的作用與外加電壓U的作用相反，u_C對電荷的繼續聚積起阻礙作用，隨著極板上電荷的增多，u_C越來越大，電路中電荷向極板移動而形成的電流就越來越小。當u_C=U時，電路中電流減小為零，于是電容器的充電過程就結束了。這時電容器極板上聚積了一定的電荷Q（即正極板上電荷為+Q，負極板上電荷為-Q），也就是電容器儲存的電荷。這時，電容器兩極板間的電壓就等于外加電壓U，即使撤去電源，只要兩極板不接通，也不去改變電容器的結構，那么，出于正負電荷±Q相互吸引而不消失，極板間的電壓u_C仍保持不變。

實驗證明，若增加充電電壓U，則充電結束時電容器儲存的電荷Q也隨之正比例增多。即對一定的電容器來說，它儲存的電量Q與其極板間的電壓U的比值是一個常數，我們用它來表示電容器儲存電荷的能力，稱為電容器的電容，記作C，即

電容器的電容在數值上等于使電容器的電壓每升高一個單位所需要的電量。若Q的單位為庫（C），U的單位為伏（V），則電容C的單位是法拉（F），簡稱法，即

1F=1C/V

實際應用時，法拉（F）這個單位太大，通常用微法（μF）或皮法（pF）作單位：

1μF=10^-6F，1pF=10^-12F

【專業指導】 幾千微法容量的電容（比如3300μF）在電工電子或電力電子上已是大容量電容了。在新能源汽車上采用一種高容量的電容，稱為超級電容。在超級電容作為儲能裝置的電動汽車上，超級電容用法（F）作單位，這種電容器能做到1000~2000F/kg以上，法（F）這個單位就不再是大單位了。

電容器的電容C與電容器的結構有關。例如，平行板電容器的電容與極板相對著的面積成正比，與極板間的距離成反比，還與極板間的電介質材料有關；在上述各因素均確定之后，平行板電容器的電容C就確定了。為了獲得較大的電容，就要求極板面積大，而極板間距離小。因此，紙介質電容器通常用絕緣性能較好的電容器紙將兩張鋁箔（或錫箔）分別隔開再卷制而成。

為了避免電容器使用時被擊穿（擊穿時電介質失去絕緣作用，電容器損壞），通常在電容器上標明額定工作電壓，習稱耐壓，即電容器長期工作時所能承受的最大電壓。實際使用時，電容器兩端所加的電壓一般應小于額定工作電壓。

常用的電容器可分為固定電容器、可變電容器和微調電容器（即半可變電容器）三種。固定電容器的電容不能調節，由于采用的電介質不同，固定電容器又可分為云母電容器、紙介質電容器、陶瓷電容器、有機薄膜電容器、電解電容器等。電解電容器的電容較大，可達幾千微法；但耐壓較低，且本身具有正負極性，使用時不能接反。

圖2-8所示為各種電容器的外形圖，各種電容器的代表符號如圖2-9所示。

【專業指導】 常見的有極性電容器有電解電容器和鉭電容器，這兩種電容器只能接在直流電路中，若接入在交流電路中不久就會損壞。早期的混合動力汽車和純電動汽車的變頻器內部正極和負極線之間采用電解電容器，但經使用后發現在低溫環境中，容易出現電解液結晶刺穿絕緣紙的問題。

電容的形成是很容易的，只要在兩導體之間隔有電介質就能形成。例如，兩條輸電線之間隔著空氣，就構成了線間電容；輸電線與大地之間形成對地電容；電子線路中，晶體管的電極之間存在著極間電容；分布在導線之間、線圈匝間、線圈與機殼之間某些元件之間的分布電容等。這些電容又常稱為寄生電容，它們的數值雖然很小，但在工作頻率較高的情況下，它們的影響往往不能忽略。例如，工業生產中常用的熱工儀表——電子電位差計，其中的分布電容是引進干擾的一個重要原因，必須采取有效的抗干擾措施，才能保證儀表的正常工作和測量精確度。

2．交流電路中的電容元件

將電容元件的兩端接上交變電壓，在u的正方向如圖2-10所示的情況下，當電壓u為正值時，上極板聚積正電荷（+q），下極板聚積負電荷（-q）。根據式（2-16），極板上的電量q隨交變電壓u成正比例變化：q=Cu。電量q的變化，在電路中就要引起電流，即

式（2-17）就是電容元件上電壓和電流的瞬時值之間的基本關系（導數關系式）。式（2-17）是在u和i的正方向相同的情況下得出的，若u和i的正方向相反，則應加一負號。

將式（2-17）兩邊乘以udt，并求積分，得

式中，為電容元件極板間的電場能量。

當電壓u升高時，電場能量增大，此時電容元件從電源吸取電能（充電過程）；當電壓u降低時，電場能量減小，此時電容元件向電源輸送能量（放電過程）。

3．電容器的充電和放電

將電容器和電阻串聯，組成RC串聯電路，簡稱RC電路，接入直流電源，如圖2-11所示。設充電前電容器上的電荷與電壓為零，當開關S閉合于A點時，充電開始u_C與i都不斷變化，但每一瞬時都應有

U=u_R+u_C=Ri+u_C

即

將式（2-17）與式（2-19）消去i，得一元微分方程，即

解之，并按初始條件（t=0時，u_C=0），可得

式中，τ=RC，稱為RC電路的時間常數，單位為秒（s）。

式（2-20）表明，RC電路在充電過程中，電容器的端電壓u_C隨時間按指數規律由0增加到U（外加直流電壓）。

由式（2-19）及式（2-20）可以導出

這表明充電電流i按指數規律由減小到零。

圖2-12中的兩條指數曲線分別表示u_C按指數規律增長和i按指數規律衰減的情況。由圖可見，u_C開始上升得很快，后來逐漸變慢；i開始下降得很快，后來也變慢。

通常認為t=3 ~ 5τ時，充電過程就基本結束。實際上，當t=3τ時，=e^-3≈0.05，則u_C≈U,i≈0。綜上可知，τ值越大，充電時間就越長。這是因為，R越大，初始電流U/R越小，充電就越慢；C越大，最終電量Q越大，充電過程就越長。作為極限情況，若R=0，則τ=0，這時電容器充、放電過程將隨電壓變化而即時完成。

在如圖2-13所示的電路中，充電結束后，將開關S從A點合到B點，于是電容器通過電阻R放電，在閉合回路中形成放電電流，電流方向與充電時相反。隨著電容器放電，極板上電荷減少，電容器的電壓u_C及電路中的放電電流i也隨之衰減。它們仍都按指數規律衰減：

i為負值表明放電電流的方向與充電電流相反。圖2-13所示為放電時u_C與i的變化曲線。

綜上所述，電容器的充電過程就是聚積電荷、建立電壓、將電流能量轉變為電場能量儲存起來的過程；放電則是釋放電荷、電壓衰減、將儲存的場能量轉變為電流能量（這些電流能量最終在電阻上轉變為熱能）的過程。因此，充電時電容器起負載作用；放電時電容器起電源作用。

例2-3 電阻R=5.5kΩ與C=60μF串聯后接到U=220V的直流電源上充電。試求（1）充電開始時的最大電流；（2）若認為t=3τ時充電即告結束，求充電過程約需多少時間？

解 （1）充電開始時的最大電流為

（2）因為時間常數為

τ=RC=5500×60×10^-6s=0.33s

故

t=3τ=3×0.33s≈1s

即充電過程約需1s。

【專業指導】 在電動汽車的高壓蓄電池給高壓用電器供電時，由于高壓用電器（如汽車變頻器、DC/DC轉換器等在直流母線進線端間放置一個較大容量的電容器，電容器可以提高電源的性能，電容器離用電器越近越好，例如在汽車變頻器上，通常將其設計在變頻器內。由于此電容器的存在，蓄電池和變頻器之間的上電繼電器組在上電瞬間會在蓄電池、導線、上電繼電器組上會產生很大的電流（電容器在直流充電過程認為沒有電阻，即只有線路中的電阻進行限流，所以實際電流會很大）。這個很大的電流會燒毀蓄電池、上電繼電器組或導線，所以在上電繼電器組上要設計電容器預充電路，電容器預充電路包括預充繼電器和預充電阻。工作過程是先讓電容器預充電路形成回路，當電容器的電壓被充至蓄電池電壓的90%左右時，一個正式的繼電器電路代替電容器預充繼電器電路。