第五節(jié) 電路的基本定律

一、電路基本定律有哪些

電路的基本定律，除歐姆定律外，主要還有基爾霍夫電流定律與基爾霍夫電壓定律。

凡運(yùn)用歐姆定律和電阻串、并聯(lián)公式就能求解的電路都稱為簡單電路；否則，就是復(fù)雜電路。求解復(fù)雜電路時(shí)，一般要應(yīng)用基爾霍夫的兩條定律，它們不僅適用于簡單電路，也適用于復(fù)雜電路。

這里先介紹幾個名詞：支路、節(jié)點(diǎn)和回路。

電路中每一段不分支的電路，稱為支路，如圖1-28中CD、CGFD、CABD都是支路。電路中三條或三條以上支路相交的點(diǎn)，稱為節(jié)點(diǎn)，如圖1-28中的C、D都是節(jié)點(diǎn)。電路中任一閉合路徑稱為回路，如圖1-28中BACDB、CGFDC、BACGFDB都是回路。

二、基爾霍夫電流定律

基爾霍夫電流定律又稱為基爾霍夫第一定律（Kirchhoff′s Current Law，KCL）：對電路中任一節(jié)點(diǎn)來說，流入節(jié)點(diǎn)的電流總和等于從該節(jié)點(diǎn)流出的電流總和，即

例如，就圖1-28中的節(jié)點(diǎn)C來說，可寫成

I₁+I₂=I₃

設(shè)流入節(jié)點(diǎn)的電流為正，流出節(jié)點(diǎn)的電流為負(fù)，則對圖1-28的節(jié)點(diǎn)C來說，也可寫成

I₁+I₂+（-I₃）=0

因此，式（1-21）又可寫成

這就是說，在電路的任一節(jié)點(diǎn)上，電流的代數(shù)和為零。

基爾霍夫電流定律實(shí)質(zhì)上是說明了電流的連續(xù)性：因?yàn)殡娏魇请姾蛇B續(xù)運(yùn)動形成的，電路中任一節(jié)點(diǎn)都不可能持續(xù)不斷地聚積電荷；如果∑I>0，則表示流入該節(jié)點(diǎn)的電流大于流出的電流，這意味著正電荷q=（∑I）·t持續(xù)不斷地聚積于該節(jié)點(diǎn)，從而使該節(jié)點(diǎn)的電位不斷升高；反之，若∑I<0，則該節(jié)點(diǎn)的電位就會不斷降低。顯然，這兩種情況都是不應(yīng)發(fā)生的，因?yàn)殡娢坏纳祫荼匾痣妷号c電流的改變，而我們討論的電路是穩(wěn)恒狀態(tài)的電路，即電路中各支路電壓與電流都是穩(wěn)定不變的。

基爾霍夫電流定律適用于節(jié)點(diǎn)，也可推廣應(yīng)用于某些閉合區(qū)域——稱為廣義節(jié)點(diǎn)。例如圖1-29中，可將晶體管看作一個廣義節(jié)點(diǎn)S，根據(jù)∑I=0，有

I_B+I_C-I_E=0

如已知發(fā)射極電流I_E=1mA，集電極電流I_C=0.98mA，則基極電流為

I_B=I_E-I_C=0.02mA

【專業(yè)指導(dǎo)】 可用基爾霍夫電流定律解釋，在電動汽車中變頻器的三相輸出中，為什么三相電機(jī)U、V、W三相中，只有兩相上加裝了電流傳感器。

三、基爾霍夫電壓定律

基爾霍夫電壓定律又稱克希荷夫第二定律（Kirchhoff′s Voltage Law，KVL）：對電路中任一回路來說，電動勢（電位升）的代數(shù)和等于電壓降（電位降）的代數(shù)和，即

如果電路中的電壓降都是電阻電壓降，則式（1-23）也可寫成

∑E=∑RI

例如，就圖1-28中的回路ACDBA而言，按順時(shí)針方向循行一周，可寫出方程為

E₁=R₁I₁+R₃I₃

對回路ACGFDBA，也順時(shí)針循行一周，得

E₁-E₂=R₁I₁-R₂I₂

應(yīng)用基爾霍夫電壓定律列方程時(shí)，式中各項(xiàng)符號的正負(fù)，按下述原則確定：

1）回路循行的方向可任意選擇，順時(shí)針或逆時(shí)針均可。

2）電動勢正負(fù)號的確定：先假定各電動勢的正方向（若電動勢實(shí)際方向已知，可選定正方向與實(shí)際方向一致；否則，可任意假定正方向），若正方向與回路循行方向相同，則該電動勢取正號，相反則取負(fù)號。

3）電壓降正負(fù)號的確定：先假定各回路電流的正方向，若正方向與回路循行方向相同，則該支路上的電壓降取正號，相反時(shí)取負(fù)號。

若將電動勢（電位升）改用電壓降來表示，即將式（1-23）中的∑E移到和∑U在等號的同一側(cè)，成為∑（-E），其中各項(xiàng)（-E）都成為電壓降，便可合并到∑U中去，故式（1-23）也可表達(dá)為

即，基爾霍夫電壓定律也可表述為沿回路循行一周，電壓降的代數(shù)和等于零。

在應(yīng)用式（1-24）列方程時(shí)，上述符號規(guī)則的第2）條應(yīng)改述如下：若電動勢的正方向與回路循行方向相同，就是該電壓降（U=-E）的正方向與循行方向相反，故該電壓降應(yīng)取負(fù)號；反之，則該電壓降取正號。

基爾霍夫電壓定律實(shí)質(zhì)上是說明電位的單值性：在穩(wěn)恒電路中，參考點(diǎn)確定之后，每一點(diǎn)都具有確定不變的電位值。換言之，單位正電荷沿任一閉合回路繞行一周又回到原出發(fā)點(diǎn)時(shí)，它所獲得的電位能（電位升）應(yīng)該等于它失去的電位能（電位降），只有這樣，繞行前、后單位正電荷在出發(fā)點(diǎn)具有的電位能（即該出發(fā)點(diǎn)的電位）才能保持一定值。

【專業(yè)指導(dǎo)】 基爾霍夫電流定律和電壓定律是電工電子學(xué)仿真測量中的基礎(chǔ)定律，比如Multisim和ISIS Professional兩個電工電子仿真軟件。

例1-5 在圖1-28的電路中，已知R₁=20Ω，R₂=5Ω，R₃=6Ω，E₁=140V，E₂=90V。求各支路電流I₁、I₂、I₃，并驗(yàn)證電源輸出的電功率等于各電阻上消耗的電功率之和。

解 圖1-28電路中有三條支路和兩個節(jié)點(diǎn)。

（1）先假定各支路電流的正方向如圖所示。

（2）根據(jù)KCL列出節(jié)點(diǎn)電流方程，由節(jié)點(diǎn)C得

I₁+I₂-I₃=0

（3）根據(jù)KVL可列出兩個回路的電壓方程，沿回路ACDBA得出

140=20I₁+6I₃

沿回路GCDFG得

90=5I₂+6I₃

（4）解方程組得

I₁=4A,I₂=6A,I₃=10A

（5）為了驗(yàn)證結(jié)果正確與否，可根據(jù)KVL列出以前尚未列過的回路方程，將計(jì)算結(jié)果代入這個新的回路方程。若方程式滿足，則說明計(jì)算結(jié)果無誤?，F(xiàn)本例題中取新回路ACGFDBA，得

E₁-E₂=20I₁-5I₂

將計(jì)算結(jié)果代入，即

140V-90V=20×4V-5×6V

50V=50V

驗(yàn)證結(jié)果無誤。

（6）驗(yàn)證功率平衡：

電源E₁輸出的功率為

P₁=E₁I₁=140×4W=560W

電源E₂輸出的功率為

P₂=E₂I₂=90×6W=540W

電源輸出的總功率為

P_S=P₁+P₂=560W+540W=1100W

R₁消耗的功率為

R₂消耗的功率為

R₃消耗的功率為

三個電阻消耗的總功率為

P=P_R1+P_R2+P_R3=320W+180W+600W=1100W

計(jì)算結(jié)果表明，電源輸出的總功率等于所有電阻上消耗的總功率。

例1-6 將例1-5中的數(shù)據(jù)改為R₁=5Ω,R₂=10Ω,R₃=15Ω,E₁=180V,E₂=80V。再計(jì)算該題。

解 仿前題列出方程組

I₁+I₂-I₃=0

180=5I₁+15I₃

80=10I₂+15I₃

解之得

I₁=12A,I₂=-4A,I₃=8A

I₂為負(fù)值說明I₂的實(shí)際方向與圖1-28中標(biāo)定的正方向相反。

驗(yàn)證功率平衡：

E₁的輸出功率為

P₁=E₁I₁=180×12W=2160W

E₂的輸出功率為

P₂=E₂I₂=80×（-4）W=-320W

P₂為負(fù)值表明I₂與E₂實(shí)際方向相反，這時(shí)“電源”E₂實(shí)際上是在吸取電功率，因而它實(shí)質(zhì)上是負(fù)載。或從參考正方向上看：在圖1-28中，E₂與I₂的正方向已選為一致，現(xiàn)P₂=E₂I₂＜0，表示該電源從電路中吸取電功率。

E₁與E₂輸出的總功率為

P_S=P₁+P₂=2160W+（-320）W=1840W

三個電阻上消耗的總功率為

任何復(fù)雜電路都可應(yīng)用基爾霍夫定律求解。一般辦法是，先指定若干個獨(dú)立變量并列出足夠數(shù)目（與獨(dú)立變量的個數(shù)相同）的獨(dú)立方程，然后解方程組即可。

前兩例的求解，都是指定各支路電流為獨(dú)立變量，這種方法叫作支路電流法。現(xiàn)將支路電流法的方法與步驟總結(jié)如下：

1）指定各支路電流為獨(dú)立變量，在電路圖中標(biāo)定它們的正方向，同時(shí)標(biāo)定各電動勢的正方向。

2）根據(jù)KCL列出節(jié)點(diǎn)電流方程。若節(jié)點(diǎn)數(shù)為n個，則可列出（n-1）個獨(dú)立方程（因?yàn)榈?i>n個節(jié)點(diǎn)的電流方程可由已列出的方程推導(dǎo)出來，不具有獨(dú)立性）。如前例中有兩個節(jié)點(diǎn)，只能列出2-1=1個獨(dú)立的電流方程。

3）根據(jù)KVL列出其余不足的方程。列回路電壓方程時(shí)應(yīng)注意方程的獨(dú)立性，即每列一個回路方程，回路中至少應(yīng)包含一條新的支路（即以前列出的回路方程均未包含過的支路），則所得回路方程必然具有獨(dú)立性。

4）解方程組，求出未知的支路電流或其他未知量。

5）驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果時(shí)，可選取未列過的回路方程，然后將計(jì)算結(jié)果代入方程，若方程滿足，則證明結(jié)果正確，否則必有錯誤。