第二節　與三角形有關的角

學習目標

1. 理解三角形的內角、外角的概念.

2. 掌握三角形的內角和及外角的性質，并能運用性質進行簡單的推理和計算.

知識精講

1. 三角形內角和定理.

（1）定理：三角形內角和為180°.

（2）推論：直角三角形兩銳角互余.

注：應用三角形內角和定理可以解決以下幾類問題.

① 在三角形中，已知任意兩個角的度數，可以求出第三個角的度數.

② 已知三角形三個內角的關系，可以求出其各內角的度數.

③ 求一個三角形中各角之間的關系.

④ 判斷三角形的形狀.

2. 三角形的外角.

（1）定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫作三角形的外角. 如圖11-2-1所示，∠ACD是△ABC的一個外角.

注：① 外角的特征：頂點在三角形的一個頂點上；一條邊是三角形的一邊；另一條是三角形某條邊的延長線.

② 三角形每個頂點處有兩個外角，它們是對頂角，所以三角形共有6個外角. 通常每個頂點處取一個外角，因此常說三角形有3個外角.

（2）性質.

① 三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

② 三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內角.

注：三角形內角和定理和三角形外角的性質是求角度及與角有關的推理論證時經常使用的理論依據. 應用三角形外角的性質可以解決以下幾類問題.

① 已知外角和與它不相鄰兩個內角中的一個，可求“另一個”.

② 可證一個角等于另外兩個角的和.

③ 利用它作為中間關系式證明兩個角相等.

④ 利用它證明角的不等關系.

3. 三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.

方法提煉

1. 證明角的不等關系的方法：三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的內角.

2. 在三角形里出現高，并且沒有給出具體圖形，一般需要分類討論.

3. 基本的幾何圖形如表11-2-1所示.

注：上述結論在應用時必須證明，不能直接用.

典例精析

例題1. 如圖11-2-2所示，已知DE分別交△ABC的邊AB、AC于點D、E，延長DE交BC的延長線于點F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度數.

【思路點撥】要求∠BDF的度數，應從三角形內角和與三角形的外角出發，若將∠BDF看成△BDF的內角，只需求∠F的度數即可；或者把∠BDF看成△ADE的一個外角，只要求∠A的度數即可.

【解法一】∵∠CEF＝∠AED＝48°，∠ACB＝∠CEF+∠F，

∴∠F＝∠BCA-∠CEF＝74°-48°＝26°，

∴∠BDF＝180°-∠B-∠F＝180°-67°-26°＝87°.

【解法二】∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠B＝67°，∠ACB＝74°，

∴∠A=180°-∠B-∠ACB=180°-67°-74°=39°.

∵∠BDF=∠A+∠AED，∴∠BDF=39°+48°=87°.

例題2. 在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC邊上的高，∠ABD＝30°，求∠C的度數.

【思路點撥】在三角形里出現高，又沒有給出具體圖形，一般需要分類討論，此題△ABC按銳角三角形和鈍角三角形兩種情況，分類討論.

【解】分兩種情況討論.

（1）當△ABC為銳角三角形時，如圖11-2-3所示.

∵BD是AC邊上的高，∴∠ADB＝90°.

又∵∠ABD＝30°，∴∠A＝ADB-∠ABD＝90°-30°＝60°.

又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC+∠C＝120°.

又∵∠ABC＝∠C，∴∠C＝60°.

（2）當△ABC為鈍角三角形時，如圖11-2-4所示.

∵∠ABD＝30°，∴∠BAD＝60°，∠BAC＝120°.

又∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，∴∠ABC+∠C＝60°.

∵∠ABC=∠C，∴∠C＝30°.

綜上所述，∠C的度數為60°或30°.

典題精練

1. 已知在△ABC中有兩個角的大小分別為40°和70°，則這個三角形是（　）.

A. 直角三角形

B. 等邊三角形

C. 鈍角三角形

D. 等腰三角形

2. 在△ABC中，∠A＝60°，且∠B：∠C＝2：1，那么∠B的度數為（?。?

A. 40°

B. 80°

C. 60°

D. 120°

3. 若一個三角形三個內角度數的比為2：3：4，那么這個三角形是（　）.

A. 直角三角形

B. 銳角三角形

C. 鈍角三角形

D. 等邊三角形

4. 一次數學活動課上，小聰將一副三角板按圖11-2-5中的方式疊放，則∠α等于（?。?

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 75°

5. 如圖11-2-6所示，AD⊥BC，垂足是點D，若∠A＝32°，∠B＝40°，則∠C＝________，∠BFD＝________，∠AEF＝________.

6. 在△ABC中，

（1）若∠A＝∠B+∠C，則此三角形為________三角形；

（2）若∠A>∠B+∠C，則此三角形為________三角形.

7. 如圖11-2-7所示，在△ABC中，∠A＝70°，BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，則∠BOC的度數為________.

8. 如圖11-2-8所示，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC邊上的高，則∠DBC=________.

9. 如圖11-2-9所示是李師傅設計的一塊模板，設計要求BA與CD相交成20°角，DA與CB相交成40°角，現測得∠B＝75°，∠C＝85°，∠D＝55°. 判定模板是否合格，為什么?

10. 如圖11-2-10所示，已知在△ABC中，P為內角平分線AD、BE、CF的交點，過點P作PG⊥BC于點G，試說明∠BPD與∠CPG的大小關系，并說明理由.

中考真題

真題1. （寧夏）如圖11-2-11所示，在△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折疊△CBD，使點B恰好落在AC邊上的點E處. 若∠A=22°，則∠BDC等于（?。?

A. 44°

B. 60°

C. 67°

D. 77°

真題2. （上海）當三角形中一個內角α是另一個內角β的兩倍時，稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”. 如果一個特征三角形的特征角為100°，那么這個特征三角形的最小內角的度數為________.