第十一章　三角形

第一節　與三角形有關的線段

學習目標

1. 會用三角形的三邊關系判斷已知的三條線段能否圍成三角形，會用三邊關系解決簡單的問題.

2. 理解三角形的高線、中線、角平分線的概念，能夠靈活運用它們進行有關的論證和計算.

知識精講

1. 三角形的概念及基本元素.

（1）定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫作三角形.

（2）三角形的基本元素：三條邊、三個頂點、三個內角.

（3）三角形的表示：三角形用符號“△”表示，頂點為A、B、C的三角形記作“△ABC”，讀作“三角形ABC”. △ABC的三邊可以用大寫字母AB、BC、AC來表示，也可以用小寫字母a、b、c來表示，如圖11-1-1所示.

注：單獨的△沒有意義.

2. 三角形的分類.

（1）按角分類.

注：①銳角三角形——三個內角都是銳角的三角形.

②鈍角三角形——有一個內角為鈍角的三角形.

（2）按邊分類.

注：① 不等邊三角形——三邊都不相等的三角形.

② 等腰三角形——有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形. 相等的兩邊叫作腰，另外一邊叫作底邊，兩腰的夾角叫作頂角，腰與底邊的夾角叫作底角.

③ 等邊三角形：三邊都相等的三角形.

3. 三角形的三邊關系.

（1）定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊.

（2）推論：三角形任意兩邊之差小于第三邊.

注：① 理論依據是兩點之間線段最短.

② 三邊關系的應用. 判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長度之和大于最長線段的長度，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形.

③ 已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍.

④ 證明線段之間的不等關系.

⑤ 化簡代數式.

4. 三角形的主要線段.

（1）三角形的角平分線.

① 定義：三角形中，一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫作三角形的角平分線.

② 幾何語言表述：如圖11-1-2所示，∵AD是△ABC的角平分線，∴∠1=∠2（或，或∠BAC=2∠1=2∠2）.

注：一個三角形有三條角平分線，三角形的三條角平分線交于一點，不論銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形，這個交點都在三角形內部. 三角形三條角平分線的交點叫作三角形的內心.

（2）三角形的中線.

① 定義：三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段叫作三角形的中線.

② 幾何語言表述：如圖11-1-3所示，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD（或）.

注：一個三角形有三條中線，每條邊上各有一條，三角形的三條中線交于一點. 不論銳角三角形、直角三角形，或鈍角三角形，這個交點都在三角形的內部. 三角形三條中線的交點叫作三角形的重心.

（3）三角形的高線.

① 定義：從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫作三角形的高.

② 幾何語言表述：如圖11-1-4所示，∵AD是BC邊上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.

注：“三角形的三條高（所在直線）交于一點”，當是銳角三角形時，交點在三角形內部；當是直角三角形時，交點在三角形直角頂點上；當是鈍角三角形時，交點在三角形外部，如圖11-1-5所示.

方法提煉

1. 利用三角形的三邊關系，可以證明線段的不等關系. 解題的關鍵是怎樣把相關的線段放在同一個三角形中.

2. 在等腰三角形中討論與邊長有關的問題時，如果沒有強調是腰長還是底邊時，一般需要分類討論.

典例精析

例題1. 若三角形的三邊長分別為3、a+1、5，求a的取值范圍.

【思路點撥】運用三角形三邊關系定理及不等式的性質，可求出a的取值范圍.

【解】∵5-3<a+1<5+3，即2<a+1<8，∴1<a<7.

例題2. 下列說法正確的是（　）.

① 平分三角形內角的射線叫作三角形的角平分線.

② 三角形的中線、角平分線都是線段，而高是直線.

③ 每個三角形都有三條中線、高和角平分線.

④ 三角形的中線是經過頂點和對邊中點的直線.

A. ③④

B. ③

C. ②③

D. ①④

【思路點撥】任何一個三角形都有三條高、中線和角平分線，并且它們都是線段，不是射線或直線，因此只有③正確，故選B.

典題精練

1. 已知下列四組線段的長度，以各組線段為邊，能組成三角形的是（　）.

A. 1，2，3

B. 2，5，8

C. 3，4，5

D. 4，5，10

2. 三角形的三條高的交點一定在（　）.

A. 三角形內部

B. 三角形的外部

C. 三角形的內部或外部

D. 以上答案都不對

3. 如圖11-1-6所示，若∠1=∠2，∠3=∠4，下列結論中錯誤的是（　）.

A. AD是△ABC的角平分線

B. CE是△ACD的角平分線

C.

D. CE是△ABC的角平分線

4. 如圖11-1-7所示，BD=DC，，則AD是△ABC的________線，BN是△ABC的________，ND是△BNC的________線.

5. 如圖11-1-8所示，在△ABC中，邊BC上的高畫得正確的有________.

6. 三角形三邊的比是3：4：5，周長是96cm，那么三邊分別是________.

7. 已知等腰三角形的兩邊長分別為4cm和7cm，且它的周長大于16cm，則第三邊長為________cm.

8. 如圖11-1-9所示，以此類推第四個圖形中三角形的個數為________個.

9. 如圖11-1-10所示，已知AD、AE分別是△ABC的中線、高線，且AB＝5cm，AC＝3cm，則△ABD與△ACD的周長之差為________，△ABD與△ACD的面積關系為________.

10. 已知等腰三角形一腰上的中線將這個三角形的周長分為9和15兩部分，求這個三角形的腰長和底邊的長.

中考真題

真題1. （湖南長沙）如果一個三角形的兩邊長分別為2和4，則第三邊長可能是（　）.

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

真題2. （四川涼山州）已知實數x，y滿足，則以x，y的值為兩邊長的等腰三角形的周長是________.